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1、2010年度本科生毕业论文（设计）利用F-EXP方法求对称正则长波方程的精确解院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006级 学生姓名： 学 号： 200605050217 导师及职称： 2010年5月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate F-Exp Method for Solving Exact Solutions of Symmetric Regularized Long Wave EquationDepartment: College of MathematicsMa
2、jor: Mathematics and Applied of Mathematics Grade: 2006 Students Name: Duan XueniStudent No.: 200605050217Tutor: Ding Yumin （Professor）May, 2010毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（
3、设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 段雪妮毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注数学学院主席（组长）数学学院 数学学院 数学学院数学学院摘要利用方法并借助数学软件,获得了对称正则长波方程的许多行波解, 包括孤立波解及三角函数周期解.并用软件获得几
4、种典型的波形图.本文用的方法还可以用到其他的非线性发展方程中去.关键词: 对称正则长波方程; -展开法; -函数法; 方法; 行波解; 齐次平衡原则ABSTRACTIn this paper, with the aids of the symbolic mathematical software-Maple, we obtained traveling wave solutions of symmetric regularized long wave equation. These traveling wave solutions include solitary wave solutions
5、 and trigonometric functions periodic solution. Some typical waveforms of these traveling wave solutions are obtained by Maple software. Obviously, the method which has been used in this paper is also can be used to other nonlinear evolution equations.Keywords: Symmetric regularized long wave equati
6、on; F- expansion method; The exp-function method; F-Exp method; Traveling wave solution;Homogeneous balance principle目 录第一章 引言11.1 方程介绍11.2 方法简述2第二章 对称正则长波方程的精确解32.1 对称正则长波方程的一般解32.2利用Exp-方法求方程Riccati方程的精确解42.3 对称正则长波方程的精确解122.4 几种典型的波形图16第三章 结论18参考文献19致谢21 第一章 引言随着科学技术的飞速发展,现代科学研究的核心已经逐步从线性转向非线性,而且
7、许多非线性科学问题的研究,最终可用非线性常微分方程或非线性偏微分方程来描述.非线性方程的发展被广泛应用于物理、工程技术和数学的众多分支当中,如非线性光学、量子论、流体力学、弹性理论和凝聚态物理等.由于非线性科学的飞速发展,对非线性方程求解方法的研究,在数学、物理、化学、生物等众多领域发挥着越来越重要的作用,因此如何求解这些非线性方程成为广大数学和物理工作者致力于研究的重要课题.因为只有首先求得了描述系统的解,才能谈得上对系统的性态和行为进行比较具体的分析,也才能谈得上对系统有了比较准确的了解和把握.1.1 方程介绍对称正则长波方程 （1-1-1）出自文献13, 在文献4中数值考察表明其孤立波的
8、相互作用是非弹性的; 文献5研究了广义对称正则长波方程孤立波解的轨道稳定性及不稳定性; 文献6研究了一类广义对称正则长波方程整体解的存在性, 唯一性及正则性, 并得到了谱近似解的误差估计; 程洁在文献7中考虑了带有耗散项的广义对称正则长波方程, 用谱分解方法证明了指数吸引子的存在性, 并得到指数吸引子的分形维数的上界估计; 文献8考虑了带有非齐次边值的对称正则长波方程的初边值问题; 文献9运用常微分方程定性理论中的相平面分析方法讨论了带有耗散项的广义对称正则长波方程, 与文献6不同的是, 它不但得到了有界行波解的存在性, 同时也得到了它的单调性及震荡性的若干结果, 并求出了一类扭状精确孤波解和
9、震荡解的近似解.在本文中, 所研究的对称正则长波方程1011如下: (1-1-2)对此方程, 黄正洪在文献12中利用齐次平衡原则1314导出了该方程的一个非线性函数变换, 利用这个变换求得了该方程精确孤立波解.1.2 方法简述方法15是把-展开法1617和-函数法1819有机结合起来. 即: 考虑非线性偏微分方程 （1-2-1）（1）令 （1-2-2）其中为待定常数, 将（1-2-2）代入到（1-2-1）中, 可将其化为的常微分方程: （1-2-3）其中分别表示对求一阶，二阶，三阶导数.（2）设 （1-2-4）其中为待定常数, 非负整数由（1-2-3）式中具有支配地位的非线性项与最高阶导数项之
10、间通过齐次平衡原则来确定, 且, 满足下列方程: （） (1-2-5)其中为待定常数. 将（1-2-4）代入（1-2-3）并利用（1-2-5）可将（1-2-5）的左边化为关于的多项式. 令的各次幂的系数为零, 得到关于, ,的代数方程组, 解此代数方程组, 并将结果代入（1-2-4）式中, 就得到方程（1-1-2）的用表示的行波解的一般形式.（3）用-函数法求出方程（1-2-5）的指数函数解, 代入第（2）步中所得到的一般解中，从而得到方程（1-1-2）的指数函数解或孤立波解. 第二章 对称正则长波方程的精确解2.1 对称正则长波方程的一般解将(1-2-2)代入方程(1-1-2)得到关于的常微
11、分方程: （2-1-1）其中 分别表示对求一阶、二阶、四阶导数. 由方程（2-1-1）中和齐次平衡, 得. 由此可表示为, （2-1-2）其中为待定常数, 且, 满足方程（1-2-5）.将（2-1-2）代入（2-1-1）中并利用（1-2-5）可将(2-1-1) 的左边化为关于的多项式, 令的各次幂的系数为零, 得到关于,的代数方程组: : ; : ; : ; : ;: ;: ;: .解上述代数方程组得到: （2-1-3）将（2-1-3）代入（2-1-2）中得到: （2-1-4）2.2 利用Exp-方法求方程Riccati方程的精确解根据-函数法，设 （2-2-1）其中为待定常数, 将（2-2-
12、1）代入（1-2-5）中, 有 （2-2-2）其中为各次项系数, 令（2-2-2）中的系数为零, 有 （2-2-3）解关于的代数方程组（2-2-3）得到如下多组参数值, 相应就得到方程（1-2-5）的多组解如下（表一）: （表一）: 广义方程的解序号参数值方程的解1 2，当时，可化为3,当时,可化为4,5,当时, 可化为6, 当时,可化为7,8, 91011, 12, 1314, 15, 16当时, 可化成17当时, 可化成18 19,当时, 可化成20,21 22 ,23, 24,25 ,26 ,27 ,28 ,29,30,31, 当时, 可化为32, 33,当时, 可化为34,当时,可为3
13、5,当时,可化为36，当时,可化为37, 当时,可化为38,当时, 可化为39,当时, 可化为40, 当时, 可化为41,当时,可化为42,2.3 对称正则长波方程的精确解2.3.1对称正则长波方程的第一组精确解将表一中的代入（2-1-2）式中, 得到方程（1-1）的二十八个精确解: . 例如：;, (其中),.令,且 , 上述孤立波解分别成为如下的三角函数周期解:, ,.2.3.2 对称正则长波方程的第二组精确解将表一中的代入（2-1-4）式中, 得到方程（1-1）的二十二个精确解:, 如下所示:, ,.令, 且 则上述孤立波解分别成为如下的三角函数周期解: , , , ,.2.4 几种典型
14、的波形图利用软件, 我们绘出了几种孤立子解和周期波解的三维空间波形图, 如图所示: (a) 奇异周期波 (b)孤立波 (c) 周期波 (d) 光滑孤立波 (e) 扭子波 (f) 周期波(a) 奇异周期波(b) 孤立波(c) 周期波 (d) 光滑孤立波(e) 扭子波 : ;(f) 周期波: 第三章 结论本文利用一种新的求解精确解的方法:方法, 即将展开法和函数法有机结合, 并用此方法求得了对称正则长波方程的许多行波解, 包括孤立波解及三角函数周期解. 所得的这些解都是不同于文献12的新解, 值得一提的是此方法同样可用到求其他的一些非线性偏微分方程的精确解行波解中去.参考文献1 SEYL ER E
15、 C, FANSTERMACL ER D C. A symmetric regularized long wave equation J .Phys Fluids.1984, 27(1):4 -7.2 ALBERT J. On the decay of solutions of the generalized BBM equationJ. J Math AnalAppl.1989, 141:527-537.3 AMICK C J ,BONA J L , SCHONBEK M E. Decay of solutions of some nonlinear wave equationsJ.J Di
16、ff Eqn,1989,81:1-49.4 BOGOLUBSKYJ L. Some examples of inelastic solution interactionJ. Compute Phys Comm, 1977, 13:149-155.5 Lin Chen. Stability and instability of solitary wave for generalized symmetric regularized long wave equations.J . Physical D ,1998 ,118 (1-2) :53-68.6 Boling Guo. The spectra
17、l method for symmetric regularized wave equationsJ .J Comp Math ,1987, 5 (4) :297-306.7 程洁,戴正德.耗散广义对称正则长波方程的指数吸引子J. 云南大学学报(自然科学版). 2004, 26(1): 15-19.8 Chenxia Miao. The initial boundary value problem for symmetric long wave equations with non-homogeneous boundary valueJ. Northeastern Math J,1994,10
18、 (4):463-472.9 张卫国,任迎春,刘刚. 具有散项的对称正则长波方程的定性分析及显式解J.上海理工大学学报. 2008,30(1),1-6.10 C E Seyler. Phys FluidsJ.1984(27):4.11 范恩贵.可积系统与计算机代数M. 科学出版社. 2004. 144-145.12 黄正洪. 对称正则长波方程的非线性函数变换和孤立波解J.西南师范大学学报(自然科学版). 2000, 25(6) ,633-636.13 Mingliang Wang. Solitary Wave Solutions for Variant Boussinesq Equations
19、J. Physics Letters A .1995, 199: 167-172.14 Mingliang Wang . Exact Solutions for a Compound Kdv - Burgers Equation J. Physics Letters A, 1996, 213: 279-287. 15 Yumin Ding .Exp-function Method Combined with F-expansion Method for obtainin New Exact Solutions of 2+1-Dimen-sional Boussinesq EquationJ.
20、Math. Sci. Res. J. 2009, 13(6).16 Wu X.-H.,He J.-H. Solitary solution, periodic solutions and compacton-like solutionsusing the Exp-function methodJ. Appl.Math.Comput 2007,54:966-986.17 He J.-H., Wu X.-H. Exp-function method for nonlinear wave equationsJ. Chaos,Solitons & Fractals 2006, 30:700-708.1
21、8 丁玉敏、冀小明. 利用EXP-函数展开法求解Modified Equal Width的精确解J. 西南民族大学学报, 2008,34(1): 20-26.19 赵云梅、芮伟国. 用EXP函数法求Equal Width波方程的精确解J. 河南科技大学报.2008,29(2):94-98.致谢经过半年忙碌的学习和工作, 本次毕业设计已经接近尾声, 作为一个本科生的毕业设计, 由于经验的匮乏, 难免有许多考虑不周全的地方, 如果没有导师的督促指导, 一起工作的同学们的支持和帮助, 要完成这个毕业设计是完全不可能的.在这里首先要感谢我的父母, 是他们不辞劳苦的给我们创造这样读书的机会, 衷心的希望
22、他们身体健康. 其次我要感谢我的导师丁老师. 丁老师平日里工作繁忙, 但在我做毕业设计的每个阶段, 从查阅资料, 到设计草案的确定和修改, 中期检查, 后期详细设计, 装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导. 我的设计较为复杂烦琐, 但是丁老师仍然细心地纠正论文中的错误. 除了敬佩丁老师的专业水平外, 他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样, 并将积极影响我今后的学习和工作. 再次还要感谢大学四年来所有的老师, 为我们打下数学专业知识的基础; 同时还要感谢所有的同学们, 正是因为有了你们的支持和鼓励., 此次毕业设计才会顺利完成.最后由衷的感谢数学学院和我的母校红河学院四年来对我的大力栽培.
