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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 凯里学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对城市表层土壤重金属污染的研究摘要土壤地质环境对一个城市的经济发展起着决定作用，直接影响着城市生态环境的质量和人体健康，本文是从城市表层土壤重金属污染
3、来进行分析和研究的。根据附件中提供的相关数据，筛选出与每个区相对应的数值。然后从海拔对污染物浓度的影响、每个区重金属污染物浓度的直方图去进行分析。采用MATLAB软件绘制出八种重金属元素在五个区的分布图，通过定量分析建立相应的数学模型。根据相关数据评估城市表层土壤重金属污染程度，结合生活实际，明确重金属污染的主要原因包括农药的施用、污水灌溉、含有重金属的化肥、工矿业活动、交通运输、生活垃圾、不合格畜禽粪便肥料的施用等。不同因素对城市表层土壤重金属污染有不同的影响，从而分析出重金属污染的缘由。结合该城区的地形情况以及土壤环境质量标准，采用层次分析法找出污染源的准确位置。本文用定量分析法来处理城市
4、土层重金属污染的相关数据，同时进行细致分析，操作简单，结果明确。关键词： 内污染源 空间分布 层次分析法 一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方
5、公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的
6、传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、模型假设1.假设各个采样点都是在同一时间进行取样、且没有受到其他外在因素的影响。2.假设在一定时间内，重金属元素对当地污染程度变化可以忽略不计。三、符号设定i表示城区第i区(i=1，2，3，4，5)。j表示重金属元素(j=1，2，3,8)。w1土壤单项污染指数 wij土壤污染物实测值 w土壤污染物质量标准 w2土壤污染累积指数 w6污染物背景值 w3土壤污染物分担率w4土壤污染超标倍数 w5土壤污染超标倍数 PN内梅罗污染指数
7、四、问题分析随着我国工业化和城市化进程的加快,工业、交通、生活等所产生的大量污染物进入土壤,使得城市土壤的各种性质发生了变化 。重金属作为一种持久性有毒污染物,进入城市土壤环境后不能被生物降解,并能通过扬尘和手口直接接触等途径进入人体 ,在人体内积累,危害人体健康。土壤中的重金属还可通过淋洗和径流等作用污染地表水和地下水,对水环境造成潜在危害。因此,近年来城市土壤重金属污染已成为一个研究热点。问题一要求给出八种重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。为此我们建立了模型，主要是通过对附件数据进行筛选和处理之后，得到8种金属的平均浓度值，绘制各元素在整个城区的浓度图形
8、来反映出重金属在该城区的分布情况，同时还研究了海拔（等高线）对重金属污染物浓度的影响。然后把数据分类，利用土壤质量标准值计算出土壤单项污染指数、土壤污染累积指数和土壤污染物分担率，并算出内梅罗指数，可以反映各重金属污染物对土壤的作用，同时突出了高浓度污染物对土壤环境质量的影响，再根据土壤内梅罗污染指数评价标准分析该城区内不同区域重金属的污染程度。在第二问时，我们充分利用在第一问中计算出来的一些数据，画出8种元素对各个区域的污染平均值来进行比较分析，根据重金属污染物的主要由来，具体判断重金属污染的主要原因。五、模型的建立与求解5.1 问题一 8种主要重金属元素在该城区的空间分布及该城区内不同区域
9、重金属的污染程度。5.1.1 8种重金属元素在该城区的空间分布问题对附录上的数据进行筛选和处理，运用数学软件绘制出每种金属元素在该城区的分布图。从空间上看,人类活动较为密集的城市中心（生活区）土壤重金属含量相对较高,一般高于交通区和公园绿地区。在城市不同的功能区,重金属分布呈现出一定的规律性。图一 金属As二维等高线分布图图二 金属Cd二维等高线分布图图三 金属Cr二维等高线分布图图四 金属Cu二维等高线分布图图五 金属Hg二维等高线分布图图六 金属Ni二维等高线分布图图七 金属Pb二维等高线分布图图八 金属Zn二维等高线分布图图九 三维图立体（颜色条表示分类）图一至图八分别为八种元素在该城区
10、的几何分布，利用MATLAB软件绘制八种元素在五个区的分布，其中5种不同的符号代表不同的区域。5.1.2 8种重金属污染物在该城区的污染程度问题海拔对浓度的影响海拔As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)生活区24.8186.27289.96169.01849.40393.0418.34269.106237.008工业区15.8887.251393.11153.409127.535642.355 19.81193.04277.927山区97.564.044152.31938.95917.31740.95
11、615.45336.55573.294交通区31.0795.708360.01458.05362.214446.82217.61763.534242.854公园绿地区32.9426.263280.54243.63630.191114.99115.28960.708154.24表一 各个区域内各元素的浓度平均值以及海拔的平均值根据平均值表，可利用EXCEL绘制直方图：图十 各元素在各区域海拔的影响此图体现了各元素对各区域海拔的影响，其中Cd、Zn等元素对各个区域的影响都相对比较大，Cu、Pb元素在工业区的影响较大，Hg元素在交通区比较明显。利用MATLAB软件作出海拔对重金属污染物浓度的影响图形
12、：图十二 海拔对各种重金属污染物浓度的影响红色表示各区域As的浓度平均值曲线；蓝色表示各区域对Cd的浓度平均值曲线；绿色表示各区域对Cr的浓度平均值曲线；+表示各区域对Cu的浓度平均值曲线；黄色表示各区域对Hg的浓度平均值曲线；*表示各区域对Ni的浓度平均值曲线；-表示各区域对Pb的浓度平均值曲线；表示各区域对Zn的浓度平均值曲线。由此可以看出，工业区重金属污染最为严重，而在这八种重金属元素中，Cd、Zn等元素对各个区域的影响比较明显。计算内梅罗污染指数 土壤环境质量评价一般以单项污染指数为主，指数小污染轻，指数大污染则重。土壤由于地区背景差异较大，用土壤污染累积指数更能反映土壤的人为污染程度
13、。土壤污染物分担率可评价确定土壤的主要污染项目，污染物分担率由大到小排序，污染物主次也同此序。除此之外，土壤污染超标倍数、样本超标率等统计量也能反映土壤的环境状况。污染指数和超标率等计算公式如下：土壤单项污染指数（w1）=土壤污染物实测值（wij）/土壤污染物质量标准（w）。土壤污染累积指数（w2）=土壤污染物实测值（wij）/污染物背景值（w6）。土壤污染物分担率（w3）（%）=（土壤某项污染指数/各项污染指数之和）100%。土壤污染超标倍数(w4)=（土壤某污染物实测值某污染物质量标准）/某污染物质量标准。土壤污染样本超标率(w5)（%）=（土壤样本超标总数/监测样本总数）100%。内梅罗
14、污染指数（PN）= （PI均2）+ （PI最大2/21/2。等级内梅罗污染指数污染等级PN0.7清洁（安全）0.7PN1.0尚清洁（警戒限）1.0PN2.0轻度污染2.0PN3.0中度污染PN3.0重污染表二 内梅罗指数土壤污染评价标准在各种重金属污染物的平均值的基础上，计算出各种重金属元素污染物对各个区域的污染浓度：元素生活区工业区山区交通区公园绿地区As (g/g)6.27045454557.25138888894.04409090915.70804347836.2637142857Cd (g/g)0.289961363640.393111111110.152319696970.36001
15、4492750.28054285714Cr (g/g)69.01840909153.40916666738.9596969758.05391304343.636Cu (g/g)49.403181818127.5358333317.31727272762.21492753630.191714286Hg (g/g)0.0930406818180.642355277780.0409560606060.446822536230.11499171429Ni (g/g)18.34227272719.81166666715.45378787917.61710144915.289714286Pb (g/g)6
16、9.10636363693.04083333336.55590909163.53420289960.708571429Zn (g/g)237.00863636277.927573.294242424242.85485507154.24228571表三 各种重金属元素污染物对各个区域的污染浓度平均值（wij） 利用土壤单项污染指数公式计算出各个区的重金属元素污染物的土壤单项污染指数（w1）及平均值：元素生活区工业区山区交通区公园绿地区As(各个区都是1级)0.418030303030.483425925930.269606060610.380536231890.41758095238Cd(山区1
17、级其他2级)0.457857829840.620734424620.761598484850.56847385560.44298572105Cr（各个区都是1级）0.766871212120.593435185190.432885521890.645043478260.48484444444Cu(山区、公园绿地是1级其他2级)0.592840553181.53043612170.494779220770.746582116760.86262040817Hg(工业和交通区是2级其他1级)0.620271212121.07059212960.273040404040.744704227050.76
18、66114286Ni(都是1级)0.458556818180.495291666680.386344696980.440427536230.38224285715Pb(都是2级)0.230354545450.310136111110.12185303030.211780676330.20236190476Zn(山区是1级其他都是2级)0.948034545441.111710.732942424240.971419420280.61696914284污染均值（Pi均）0.561602127420.776970195610.434131230460.58862094280.52202710742
19、污染最值（Pi大）0.948034545441.53043612170.761598484850.971419420280.86262040817表四 各个区的重金属元素污染物的土壤单项污染指数（w1）及平均值综合上面的数据，就可以算出内梅罗污染指数了：区域内梅罗污染指数（PN）生活区0.77915545588工业区1.2136551008山区0.6198798986交通区0.80315948117公园绿地区0.71296082272表五 各个区域的内梅罗污染指数根据内梅罗指数土壤污染评价标准（表二），可以看出,工业区重金属污染最为严重,已经达到轻度污染，其次为交通区和生活区（尚清洁），而公园
20、绿地区和山区的重金属含量一般较低,污染也相对较轻。研究发现,不同功能区土壤重金属污染指数表现为工业区交通区生活区公园绿地区山区。5.2 问题二 分析重金属污染的主要原因通过第一问的数据及图表显示，工业区是该城区污染最严重的区域，而在工业区Cd、Zn、Cu和Pb的污染都比较严重，这些元素在农产品的生产比如说制造农用化肥、喂养牲畜的伺料等过程中，又是必不可少的，这样自然就会产生工业“三废”，这些含有重金属元素污染物的物质在河水、湖泊、空气等中就会形成污染，有些被动植物吸收，一些会感染人类，这些都会直接或者间接的影响人类的健康，而且工业活动所排放的重金属一方面赋存在烟尘上,以气溶胶的形式进入大气,经
21、过干湿沉降进入土壤;另一方面,工业活动所产生的废渣是重金属的重要载体,尤其是一些金属冶炼厂,废渣中的重金属含量极高 ,无处理堆放或直接混入土壤,对土壤环境造成潜在危害。因此,在城市土壤中,工矿业周围土壤重金属污染一般较为显著。此外,随着城市化发展和旧城区改造,大量的污染企业搬出城区,原有的土地使用性质发生改变。城市中已搬迁的污染企业用地成为城市土壤重金属污染的突出问题,如一些冶金行业、电镀行业及大型企业中的电镀工艺等,可以造成较为严重的土壤重金属污染。由此可以知道，工业“三废”成为重金属元素污染物产生的最主要原因。5.3 问题三 分析重金属污染物的传播特征，确定污染源的位置利用层次分析法如图下
22、图为比例标度法打分的形式构造判断矩阵：标度 相对比较( 就某一准则而言)1 一因素与另一因素同样重要3 一因素比另一因素稍微重要5 一因素比另一因素明显重要7 一因素比另一因素重要得多9 一因素比另一因素绝对重要2，4，6，8 需在上述相邻两标度之间折中上述各数倒数 另一因素对原因素的反比表 3-1根据上面这个比例和网上收集的数据、第一问中个元素在各个区的比例可确定各层的成对比较矩阵。ABCDEB1232C1/211/31/4D1/31/212E1/241/21表3-2表3-2 表示第一层的成对比较矩阵；通过附录中的MATLAB代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=4.1533、一致性比率C
23、R =0.0568和对应的权向量：w1=(0.4570 0.1109 0.1866 0.2455)BAsCrCuNiZnAs121/311/2Cr1/211/211/3Cu32121Ni111/212Zn2311/21表3-3表3-3表示第二层元素(B)对八种重金属中主要元素的成对比较矩阵；通过附录中的MATLAB代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.3917、一致性比率CR = 0.0874和对应的权向量： w2 =(0.1514 0.1148 0.3101 0.1887 0.2350)CAsCdCrHgAs121/21Cd1/2121/2Cr21/211/3Hg121/31表3-4表
24、3-4 表示第二层元素(C)对八种重金属中主要元素的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=4.1438、一致性比率CR =0.0533和对应的权向量：w3=(0.2854 0.2400 0.2168 0.257)DAsCrCuNiZnAs121/31/23Cr1/211/31/21/2Cu33123Ni1/221/211/2Zn1/321/321表3-5表3-5 表示第二层元素(D)对八种重金属中主要元素的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.1524、一致性比率CR =0.034和对应的权向量：w4=(0.1
25、866 0.0988 0.4144 0.1414 0.1587)ENiPbZnNi11/41/3Pb411/2Zn321表3-6表3-6 表示第二层元素(E)对八种重金属中主要元素的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=3.1078、一致性比率CR =0.0930和对应的权向量：w5=(0.1243 0.3586 0.5171)AsF1F2F3F4F5F111/4432F241442F31/41/411/21/3F41/31/4212F51/21/231/21表3-7表3-7 表示第三层元素（As）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可
26、以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.4307、一致性比率CR =0.0961和对应的权向量:H1=(0.2347 0.4329 0.0658 0.1317 0.1348)CdF1F2F3F4F5F111/321/32F231322F31/21/311/31/2F431/2312F51/21/221/21表3-8表3-8表示第三层元素（Cd）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.2233、一致性比率CR =0.0498和对应的权向量:H2=(0.1493 0.3595 0.0857 0.2724 0.1331)CrF1F2F3F4F5F1
27、12323F21/2131/22F31/31/311/41/2F41/22412F51/31/221/21表3-9表3-9表示第三层元素（Cr）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.1339、一致性比率CR =0.0299和对应的权向量:H3=(0.3548 0.1879 0.0737 0.2626 0.1211)CuF1F2F3F4F5F111/431/22F241432F31/31/411/41/2F421/3413F51/21/221/31表3-10表3-10表示第三层元素（Cu）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代
28、码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.2993、一致性比率CR =0.0668和对应的权向量:H4=(0.1560 0.4117 0.0663 0.2505 0.1155)HgF1F2F3F4F5F111/431/31/2F241423F31/31/411/41/2F431/2413F521/321/31表3-11表3-11表示第三层元素（Hg）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.2116、一致性比率CR =0.0472和对应的权向量：H5=(0.1067 0.4028 0.0649 0.2882 0.1375)NiF1F2F3F4
29、F5F111/2222F221232F31/21/211/22F41/21/3212F51/21/21/21/21表3-12表3-12表示第三层元素（Ni）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.2384、一致性比率CR =0.0532和对应的权向量:H6=(0.2416 0.3457 0.1388 0.1688 0.1052)P bF1F2F3F4F5F111/2222F221232F31/21/211/22F41/21/3212F51/21/21/21/21表3-13表3-13表示第三层元素（Pb）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的
30、matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值=5.2384、一致性比率CR =0.0532和对应的权向量:H7=(0.2416 0.3457 0.1388 0.1688 0.1052)ZnF1F2F3F4F5F11/341/22F231423F31/41/411/31/2F421/2312F51/21/321/21表3-14表3-14表示第三层元素（Zn）对五个地区的成对比较矩阵；通过附录中的matlab代码可以求出该成对比较矩阵的最大特征值 =5.1506、一致性比率CR =0.0336和对应的权向量:H8=(0.1782 0.3958 0.0675 0.2408 0.1176)整理上
31、面的数据可得：第一层的计算结果:w1= 0.4570 0.1109 0.1866 0.2455第二层的计算结果:As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)CRB0.151400.11480.310100.188700.23505.39170.0874C0.28540.24000.216800.25700004.14380.0533D0.186600.09880.414400.141400.15875.15240.034E000000.12430.35860.51713.10780.0930第一层和第二层的
32、组合权向量:k1 = 0.1357 0.0266 0.0949 0.2190 0.0285 0.1431 0.0880 0.2640第三层的计算结果:F1F2F3F4F5CRAs0.23470.43290.06580.13170.13485.43070.0961Cd0.14930.35950.08570.27240.13315.22330.0498Cr0.35480.18790.07370.26260.12115.13390.0299Cu0.15600.41170.06630.25050.11555.29930.0668Hg0.10670.40280.06490.28820.13755.211
33、60.0472Ni0.24160.34570.13880.16880.10525.23840.0532Pb0.24160.34570.13880.16880.10525.23840.0532Zn0.17820.39580.06750.24080.11765.15060.0336最后的组合权向量为 k2 =(0.2096 0.3722 0.0845 0.2157 0.1179)。由运算结果得知：根据重金属的传播特征，得出污染源的来源是生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地的权向量(0.2096 0.3722 0.0845 0.2157 0.1179)，说明根据重金属的传播特征，污染源来自工业
34、区的概率最大，其次是主干道路区，后面依次是生活区，公园绿地，山区。城市土壤是人类扰动最为严重的土壤,人为产生的废弃物严重破坏了土壤结构,土壤层次凌乱,基本上没有发生相学上的联系,从而使重金属含量在垂直剖面方向分布变异较大,不同功能区重金属元素在土壤中各层的聚集状况也不相同,没有一致的规律性。5.4 问题 4 对于问题四，我们仔细分析了模型的优缺。为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以级每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应该考虑进去。有了这些数据以后建立因子分析，回归分析，曲线按拟合等模型解决问题。六. 模型评价 1
35、、本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。2、运用MATLAB 软件和EXCEL软件巧妙地进行运算和处理数据，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性，且所得数据较为合理可靠。3、运用因子分析模型解题，全面可靠。4、但在实际运用本方案中还应考虑后来污染因素对模型的影响，在应用的过程中根据实际情况进行灵活改变。八. 参考资料【1】【2】【3】【4】【5】【6】1郭平,谢忠雷,李军,等. 长春市土壤重金属污染特征及其潜在生态风险评价J . 地理科学, 2005 , 25 (1) :108 - 3 官东生,陈玉娟,阮国标. 广州城市及近郊土壤重金属含量特征及人类活动的影响J . 中山
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