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1、MATLAB 在实际问题中的分析与应用自20世纪80年代以来，出现了多种科学计算语言，亦称数学软件，比较流行的有MATLAB、Mathematical、Maple等。因为他们具有功能强、效率高、简单易学等特点，在在许多领域等到广泛应用。MATLAB便是一种影响大、流行广的科学计算语言。MATLAB的语法规则简单，更加贴近人的思维方式。MATLAB是英文Matrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写。自1984年由美国Math Works公司推向市场以来，得到了广泛的应用和发展。在欧美各高等院校MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理
2、等诸多课程的基本教学工具，成为大学生、硕士生以及博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB已被广泛的应用于研究和解决各种具体的工程问题。近年来，MATLAB在我国也开始流行，应用MATLAB的单位和个人急剧增加。可以预见，MATLAB将在我国科学研究和工程应用中发挥越来越大的作用。Mat lab 是当前数值计算方面应用地非常广泛的一种计算机软件，特别是在工程应用求解中发挥了重要作用。其所具有的浅显易懂的编程语言、强大的绘图功能、大量的内部函数等都深深地吸引了我认真地去学习它。同时在上过程装备力学基础时，其中涉及有很多的问题是超越方程、微积分的问题，难以用普通的线性方法求解
3、，而Mat lab 在此方面有强大的功能，特别是超越方程的精确求解以及图形的绘制方面。数学当中的绘制函数图象、绘制立体图形的交线（如绘制两个等直径圆柱体的交线）、求多项式的根等问题，这些问题如果依靠我们人工进行操作，则需要很多的时间和精力，当我们掌握了基本原理后，借助于MATLAB进行解决则会大大提高效率和精确度。仅举一些运用MATLAB的例子。常用控制命令：click：%清屏； clear：%清变量； save：%保存变量； load：%导入变量一、利用公式直接进行赋值计算本金P以每年n次，每次i%的增值率（n与i的乘积为每年增值额的百分比）增加，当增加到rP时所花费的时间T为：（利用复利计
4、息公式可得到下式）（）MATLAB 的表达形式及结果如下： r=2;i=0.5;n=12; %变量赋值 T=log(r)/(n*log(1+0.01*i)计算结果显示为：T = 11.5813即所花费的时间为T=11.5813 年。分析：上面的问题是一个利用公式直接进行赋值计算问题，实际中若变量在某个范围变化取很多值时，使用MATLAB，将倍感方便，轻松得到结果，其绘图功能还能将结果轻松的显示出来，变量之间的变化规律将一目了然。若r在1,9变化，i在0.5,3.5变化；我们将MATLAB的表达式作如下改动，结果如图1。r=1:0.5:9;i=0.5:0.5:3.5;n=12;p=1./(n*l
5、og(1+0.01*i);T=log(r)*p;Plot (r, T)Label(r) %给x轴加标题label(T) %给y轴加标题q=ones (1,length (i);text(7*q-0.2,T(14,1:5)+0.5,T(14,6)-0.1,T(14,7)-0.9,num2str(i)图1从图1中既可以看到T随r的变化规律，而且还能看到i的不同取值对Tr曲线的影响（图中的六条曲线分别代表i的不同取值）。二、已知多项式求根已知多项式为，求其根。分析：对多项式求根问题，我们常用roots()函数。MATLAB 的表达形式及结果如下： h=roots(1 -10 31 -10 -116
6、200 -96) %中括号内为多项式系数由高阶到常数。计算结果显示为（其中i为虚数单位）：h = -2.0000 4.0000 3.0000 2.0000 + 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 1.0000 如果已知多项式的根，求多项式，用poly()函数。对上面得到的h的值求多项式，其MATLAB的表达形式及结果如下：h=-2.0000 4.0000 3.0000 2.0000+0.0000i 2.0000-0.0000i 1.0000;c=poly (h)计算结果显示为：c = 1 -10 31 -10 -116 200 -96三、方程组的求解求解下面的方程组： 分析：对于
7、线性方程组求解，常用线性代数的方法，把方程组转化为矩阵进行计算。 MATLAB 的表达形式及结果如下： a=8 1 6;3 5 7;4 9 2; %建立系数矩阵 b=7.5;4;12; %建立常数项矩阵 x=ab %求方程组的解计算结果显示为：x = 1.2931 0.8972 -0.6236四、数据拟合与二维绘图在数学建模竞赛中，我们常会遇到这种数据表格问题，如果我们仅凭眼睛观察，很难看到其中的规律，也就更难写出有效的数学表达式从而建立数学模型。因此可以利用MATLAB的拟合函数， 即prolific() 函数，并结合MATLAB的绘图功能（利用plot()函数），得到直观的表示。例：在化学
8、反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如下表：T（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 y 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 T（分） 9 10 11 12 13 14 15 16 y 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 分析： MATLAB 的表达形式如下：t=1:16; %数据输入y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;plot(t,y,o) %画散点图p=politic(t,y,2)
9、%二次多项式拟合Hold onxi=lenspiece(0,16,160); %在0,16等间距取160 个点y I =polygala(p, xi); %由拟合得到的多项式及xi，确定y iplot(xi, y I ) %画拟合曲线图执行程序得到图2； 图2显示的结果为p=-0.0445 1.0711 4.3252p的值表示二阶拟合得到的多项式为：y= -0.0445t2+1.0711t+ 4.3252下面是用lsqcurvefit()函数，即最小二乘拟合方法的Mat lab表达：t= 1:16;y= 4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 1
10、0.42 10.5 10.55 10.58 10.6;x 0=0.1,0.1,0.1;min=inline (x(1)*t.2+x(2)*tax(3),x,t);x=lsqcurvefit(zuixiao,x0,t,y) %利用最小二乘拟合其显示的结果为：x = -0.0445 1.0711 4.3252可以看出其得到的结果与politic函数的结果相同。这说明在多项式拟合问题上这两个函数的效果是相同的。下面的一个例子将体现lsqcurvefit()函数的优势。例2: 在物理学中，为研究某种材料应力与应变的关系，测得一组数据如下表：应力925 1125 1625 2125 2625 3125
11、3625 应变0.11 0.16 0.35 0.48 0.61 0.71 0.85 如果假定应力与应变有如下关系（为应力值，为应变值）： 试计算a 、b 的值。MATLAB 的表达形式如下：x= 925, 1125, 1625, 2125, 2625, 3125, 3625;y= 0.11, 0.16, 0.35, 0.48, 0.61, 0.71,0.85 ;Plot (t,y,o)p,resid1=politic(x, y, 2)Hold onXi=lenspiece (700, 3700, 3000);Yi =polygala (pox);Plot ( xi, y I )X0= 0.1,
12、 0.1;Fife =inline (a (1)+a(2)*log(x),a , x);a,resid2=lsqcurvefit (ff f , x0,x,y)plot( xi, ff f a, xi),r)执行程序得到图3，图中蓝色曲线为利用prolific()函数得到的曲线，红色曲线为利用lsqcurvefit()函数得到的曲线；其显示的结果为：p = -0.0000 0.0004 -0.2266resid1 = R: 3x3 double D f: 4 Norms: 0.0331a = -3.5810 0.5344resid2 = 0.0064其中a的值代表利用lsqcurvefit()
13、函数得到的关系为：=-3.5810+0.5344+resid1、resid2 分别代表运用politic()函数、lsqcurvefit()函数得到的残差。可以看出利用lsqcurvefit()函数残差更小，即得到了更好的拟合效果。在数学建模的实际问题中，如果问题的机理不明，我们只能采用politic()函数，即多项式拟合的方法，以获得近似的数据描述函数；但如果通过分析，可以得到一些机理，那么采用最小二乘的方法将得到更好的效果，而且得到的拟合函数也更有意义。五、隐函数的图形绘制plot()只能绘制显函数图形，对于形如的复杂隐函数，很难转化为显函数并利用plot()函数绘制图形，这时就可以用em
14、ploy()函数直接绘制其曲线。MATLAB的表达形式如下： e z plot (1/y-log(y)+log(-1+y)+x-sin(x) 执行程序得到图5 图5 图6如果是形如下面的参数方程,同样可以利用e z plot()函数绘制其曲线。MATLAB的表达形式如下： e z plot(sin(3*t)* cost (t),sin(3*t)*sin(t),0,pi)执行程序得到图6。六、三维图形绘制假设有一个时间向量t，对该向量进行下列运算则可以构成三个坐标值向量对于上面的方程可以利用ezplot3()函数或plot3()函数绘制三维曲线。这里仅列举ezplot3()函数的使用。MATLA
15、B 的表达形式如下： ezplot3 (sin (t),cost (t),t,0,6*pi)执行程序得到图7：绘制下述曲面：MATLAB 的表达形式如下： N r=12; nth=50;r= inscape (0, 1, nr);Theta = inscape (0, 2* pi, nth);R, T=mesh grid (retreat)x=cost (theta)*r;y=sin (theta)*r;Surf(x, y, R. 3.*cos (3*T)执行程序得到图8。 图7 图8除了surf()函数还有 surf ()、surf()、mesh()、waterfall()函数也用于曲面的绘
16、制，具体效果如图9所示，可以针对自己的需要选取适合的曲面绘制函数。 图9MATLAB作图之三维绘图示例山体绘制%三维绘图示例山体绘制%mesh函数演示x=1.0:0.1:2.0;y=2.0:0.1:3.0;X,Y=mesh grid(x, y );z=5.11 5.13 5.14 5.13 5.09 5.04 4.98 4.93 4.89 4.85 4. 85 5.39 5.49 5.51 5.46 5.32 5.14 4.94 4.74 4.59 4.49 4.48 5.61 5.77 5.81 5.71 5.51 5.23 4.90 4.59 4.36 4.21 4.19 5.73 5.9
17、2 5.97 5.86 5.62 5.27 4.88 4.51 4.23 4.05 4.03 5.74 5.92 5.97 5.86 7.62 5.27 4.88 4.51 4.21 4.04 4.02 5.63 5.79 5.84 6.74 10.53 9.23 8.91 4.59 4.33 4.18 4.16 5.42 5.53 5.56 5.49 7.35 5.16 4.93 4.73 4.55 4.45 4.44 5.14 5.18 5.19 5.17 11.12 5.05 4.97 4.90 4.84 4.81 4.80 4.48 4.80 4.79 4.82 4.87 4.94 5
18、.02 5.10 5.16 5.19 5.20 4.56 4.45 4.43 4.49 4.64 4.84 5.06 5.28 5.45 5.55 5.56 4.36 4.19 4.16 4.25 4.47 4.76 5.09 5.41 5.66 5.81 5.83;figure(1)%画网格图mesh(X,Y, z );color map(0 1 0);label(x轴);label(y轴);label(z轴);%画表面图figure(2)surf(X,Y,z);color map(1 0 0)x label(x轴);y label(y轴);z label(z轴); 七、二项分布的使用飞机成
19、功起飞的概率问题：由16 架飞机组成的空军飞行中队要求做好立即起飞的准备，其中一架飞机不能立即起飞的概率为20%，重新起飞需几分钟的时间，因此一架飞机立刻起飞的概率为0.80。12 架飞机能够成功起飞的概率为多少？分析：这是一个概率中的二项分布问题，常用bipods()函数。h=bipods(12,16,0.80) %二项分布函数的概率值计算结果为h=0.2001另一方面，至少有14架飞机立刻成功起飞的概率为：h=1-binocdf(13,16,0.80) % 或 h=sum(binned(14:16,16,0.80)，其中binned()为二项分布的累积概率值，计算结果为h=0.3518。在
20、实际的数学建模竞赛中，仅罗列一个一个的数据是枯燥而又不直观的，很难吸引人们的注意，也不容易打动评委们的心；因此，结合数值计算结果，并合理的利用MATLAB的绘图功能会起到事半功倍的效果。下面的程序为运行结果的绘图（图10）表示：n=1:16;h=bin opt (n, 16, 0.80);plot(nun,zeros(1,16);h,k) %二维绘图函数text(8-.7:16-.7,h(8:16)+.005,num2str(h(8:16),3) %在图中进行注释函数axis(0 17 0 0.27) %坐标轴取值范围函数x label(Number of aircraft launched
21、on time) %给x 轴加标题y label(probability) %给y 轴加标题Set (gca,XTick, 0:2:16)set(gca,XTickLabel,0 架,2 架,4 架,6 架,8 架,10 架,12 架,14 架,16 架) 图10 图11根据例5中的数据，用线性回归的方法画出95%的置信区间，见图11，程序如下：x=1:16; %数据输入y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;presid1=poly fit(x, y, 2) What, w=polyc
22、lone (p, x, resid1, 0.05);plot(x, yhat,k-,x,yhat-w,k-,x,yhat+w,k-,x,y,ks,x ;x,yeasty,k-)残差的进一步分析：首先计算残差值，然后用函数norm plot 将其画在图12中，以观察残差是否服从正态分布。程序为：x=1:16; %数据输入y= 4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;p ,resid1=politic(x, y, 2)Norm plot(y-ploy l(p, x)white(white) %设
23、置背景为白色 图12 图13由图12看出，这些残差点与直线非常接近，由此得出结论，这些残差值非常接近于正态分布，选择的模型是合适的。通过对Mat lab相关知识的运用，加强了Mat lab 软件的应用能力，加深了方程求根方法的理解，特别是对Mat lab 软件编程中的一些细节的把握中有了较大的提高。无疑这次论文的写作过程是一个不断学习、不断提高的过程，如果Mat lab 的考核只是一次简单的考试，可能我只学会了如何去解题，而对Mat lab 的理解还只是停留于表面，但是一次真正的实践，通过用Mat lab 中所学的去解决一个实际问题，这个锻炼无疑是更大的，其意义也更大。对于这次编程任务的完成，
24、我想一方面靠自己的努力，一方面依靠科技的对我们的帮助。同时我也意识到自己对MATLAB还不够了解，今后需要花更多时间在这门课上，以求更好的掌握MATLAB。在学习的过程中，我感受到了 MATLAB软件其功能的强大，不仅可以很方便地用C语言来进行编程，而且还具有超强大的处理矩阵的能力，这对于解决那些复杂的矩阵方程是有很大的帮助的。除此之外，就我这几天对MATLAB的接触，我还认识到它还可以直接画电路图来进行仿真处理问题。丰富的模块类别涵盖大量的元器件，使画起图来非常得方便，仿真的效果也不错，速度也较快。总之，这几天让我感觉到学会了MATLAB在以后的工作与学习中将会有很大的作用，帮助我们解题进步。当然，MATLAB还有很多强大的功能等待我们去探索，尤其是我们马上就要进入大二下半学期的学习当中，并且我想接下来一年，在大三的学习中，更多的专业课会接踵而至，能够掌握一款实用并且强大的软件是一件很必要的事情，现在，MATLAB就摆在我们面前，我会用心学习MATLAB的其他的功能，希望可以为以后的专业学习和将来的工作带来便利。 专业：统计 班级： 2012级统计一班 学号：20121050124 姓名：王欣妍
