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1、学位论文点态凸性模的若干问题硕士研究生：导师：申请学位级别：学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2005年3月授予学位单位：点态凸性模的若干问题 摘要凸性是空间中最基本的性质，对于这个性质的研究有助于揭示空间的自身结构。目前，有关空间各种凸性的讨论已趋于完善。1936年，J.Clarkson首先引入了一致凸Banach空间的概念，开创了从Banach空间单位球的几何结构出发来研究Banach空间性质的方法，开始了Banach空间凸性理论的研究。同年，J.Clarkson在研究一致凸时引入了凸性模的定义，而后，人们从多侧面得出了凸性模的取值与相关几何性质之间的关系。凸性模刻划了空
2、间单位球面的总体凸性程度，但是每一点的凸性程度都有很大的不同，这将会对空间的整体性质产生很大影响。因此，点态凸性的研究有重要的意义。空间中许多几何性质可以点态化，点态几何性质是空间几何性质的局部化、精细化。为研究点态几何性质，1999年，计东海等引入了点态几何常数开始了点态几何常数方向的最初研究，并给出一些很好的结果。本文主要是给出点态凸性模的定义，并讨论了点态凸性模与一些几何性质之间的关系。首先，本文详细叙述了Banach空间凸性理论与空间几何性质的发展背景和进程，及空间几何常数与点态几何常数的研究意义，并给出了本文各部分所讨论的内容。在本文第二部分引入了点态凸性模的定义，并讨论了点态凸性模
3、的取值与相关几何性质之间的关系，研究了点态凸性模取值特点。在本文第三部分给出了点态凸性模在一些经典空间的表示与估计，同时在一些具体空间进行了精确计算，并对以后的研究内容给予了展望。关键词一致凸；凸性模；点态凸性模Some Problems of the pointwise convex modulus AbstractConvexity is one of the most fundamental properties for normed spaces. Researching this property contributes to revealing the structure of t
4、he normed spaces themselve. At present, the discussions of various convexity properties in spaces have already been perfected. In 1936, J.Clarkson first introduced the concept of uniformly convex Banach spaces ,initiated from geometric structure of the unit sphere of Banach spaces to research the pr
5、operties of Banach spaces, began to research convex theory of Banach spaces. The same year, J.Clarkson introduced the concept of convex modulus while researching uniformly convex spaces, later the relations between numbers of convex modulus and relevant geometric properties had been drawn.Convex mod
6、ulus depicted overall degree of convexity of the unit sphere of spaces. It was very different for degree of convexity of each point that it would produce very great influence on the whole feature of the spaces. Therefore, the research of pointwise properties showed the great significance.Many geomet
7、ric properties of spaces may be pointwise, pointwise geometric properties were the localization and meticulous of properties of spaces. For the research of pointwise geometric properties, in 1999, Ji donghai first introduced pointwise geometric constants, began to research direction of pointwise geo
8、metric contants firstly, and provided some good results. In the paper, we give the notion of the pointwise convex modulus, the relation between the pointwise convex modulus and some geometric propertries are discussed.First of all, we present the development background and process of covex theories
9、and geometric properties of Banach spaces, the significance of pointwise geometric constants and geometric constants of spaces, and we provide discu-ssion of content of each part of the paper.In the second chapter, we introduce the definition of pointwise convex modulus. The relation between numbers
10、 of pointwise convex modulus and relevant geometric properties will be discussed. we research the characteristics of numbers of pointwise convex modulus .In the third chapter, in some classical spaces, the estimations and calculatio-ns of pointwise convex modulus are given. The same time, the approx
11、imate calculation of pointwise convex modulus in some concrete spaces are given, and we prospect the research contents in the future.Keywordsuniformly convex; convex modulus; pointwise convex modulus目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.1.1 拓扑学的形成和发展11.1.2 Banach空间凸性理论的发展概况21.1.3 Banach 空间几何结构理论与几何性质的建立与
12、研究31.1.4 空间几何常数的研究41.1.5 点态几何性质建立的重要意义51.1.6 点态几何常数的创立51.2 课题来源61.3 本文研究的主要内容6第2章 点态凸性模及其与有关点态性质的关系72.1 引言72.2 预备知识72.3 点态凸性模及其与点态性质的关系112.4 关于点态凸性模的一点注记142.5 本章小结18第3章 点态凸性模在具体空间的计算203.1 引言203.2 预备知识203.3 具体空间的计算223.4 举例应用283.5 本章小结31结论32参考文献34攻读学位期间发表的学术论文38致谢39千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后
13、“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行第1章 绪论1.1 课题背景凸性是空间最基本的性质之一，目前为止人们已引入了各种凸性，一致凸和严格凸是最基本的凸性。1936年，J. Clarkson首先引入了一致凸Banach空间的概念，开创了从Banach空间单位球的几何结构出发来研究Banach空间性质的方法。J. Clarkson在研究一致凸空间时引入了凸性模的定义，并得出了一些结果1。空间几何常数只是对单位球面“几何形状”的宏观状态的研究，空间中许多几何性质可以点态化，点态几何性质是空间几何性质的局部化、精细化。因此，点态几何性质的研究可以使我们从微观上更深
14、刻，更细致的了解空间自身的结构23。1.1.1 拓扑学的形成和发展系统的拓扑学研究始于Jules Henri Poincare，他的Analysis,situs是拓扑学的经典。按照20世纪的理解，拓扑分为点集拓扑和组合拓扑（包括代数拓扑和微分拓扑）两部分，前者把几何图形看作点的集合，再把集合看作一个用某规律连接其中元素的空间。后者把几何图形看作由一些基本结构所组成，用代数工具组合这些构件，并研究图形在微分同胚变换下的不变的性质。标志点集拓扑学正式形成是由Hausdorff在集合论纲要中建立的抽象空间的完整理论。他第一次抽象的使用了点集的邻域的概念，在此基础上建立起连续、连通和维数等一系列概念。
15、20世纪组合拓扑可溯源于Jules Henri Poincare在1895-1904年期间发表的一系列论文。流形、单形、复形、边缘、链、贝蒂数、挠系数和示性数等概念都在这些论文中提出。组合拓扑早期的重要的人物有Luiten Egbertus Jan Brouwer，他以倡导直觉主义著名，在组合不变量和不动点定理方面做出了基本的贡献。拓扑学在20世纪20-30年代获得了重大的进展。首先是出现复形的同调群，它是由Pavel Sergeevich Aleksandrow和Leopold Vietoris以及Eduard Cech所完成。1931年,瑞士的Georges William de Rham
16、发现多维流行的微分形式和流形上的同调性质有关系。1932年,Henri Paul Cartan将拓扑学方法用于解决多元复变函数论的基本问题。1934年，美国的Harold Marston Morse创建大范围变分理论。1935年，波兰的Witold Hurewicz引入同伦群，Samuel Eilengerg引入阻碍类概念。1937年，美国的Hassler Whirney证明了微分流形的嵌入定理，正式创立微分拓扑学。至此,拓扑学成为最丰富多彩的一个数学分支。1.1.2 Banach空间凸性理论的发展概况S. Banach的名著Theories of operations linearness在
17、1932年问世以后，人们便开始了对Banach空间理论的系统研究，但发现Banach空间的研究远比Hilbert空间困难的多。后来，人们发现许多古典分析的定理只能在这些空间中成立,并且凸性具有非常鲜明的直观几何意义。因此，凸性的研究吸引了无数的数学家，人们详细地讨论了各种凸性的性质和他们在最佳逼近以及不动点理论中的应用。经过接近六十年的发展，Banach空间的凸性理论已经发展成Banach空间几何理论的主要内容之一。1936年，J. A. Clarkson首先引入了一致凸Banach空间的概念，开创了从Banach空间单位球的几何结构出发来研究Banach空间性质的方法，这就开始了Banach
18、空间凸性理论的研究。在J. A. Clarkson证明一致凸Banach空间中Radon-Nikodym定理成立后不久，P. P. Milman和B. J. Pettis分别独立的证明了一致凸空间是自反的。J. A. Clarkson和M. Gkrein分别独立的引进了严格凸的概念，并给出了这类Banach空间一些很有意思的性质。随后，许多数学家都对严格凸的性质进行了讨论。为了研究一致凸空间和严格凸空间之间的Banach空间的性质,也为了对Banach空间进行凸性分类，人们对一致凸Banach空间进行了许多推广，V. L. Smulian引进了弱一致凸和弱*一致凸，V. Zizler证得了弱一
19、致凸和弱*一致凸的许多等价条件。A. R. Lovagia研究了局部一致凸Banach空间和弱局部一致凸空间的性质，V. Zizler证明了弱局部一致凸空间具有正规结构4。K. W. Anderson在他的博士论文中，引进并讨论了中点局部一致凸空间的性质。在具体Banach空间类的凸性方面，以Orlicz空间的结果最为完善。Orlicz空间是波兰数学家W.Orlicz利用N函数引进，后来以他的名字命名的空间。这是一类比空间更为广泛的一类Banach空间。Orlicz空间的各种性质及判据都是一般Banach空间的直观材料，刻画Orlicz空间凸性的方法和证明技巧也为一般Banach空间几何学提供
20、的一定的参考和借鉴。因此，Orlicz空间的凸性理论得到了迅速发展567。1.1.3 Banach 空间几何结构理论与几何性质的建立与研究60年代以来，Banach空间的理论取得了迅速的发展。首先，许多著名的古典问题得到了解决，其中最重要之一是1973年P. Enflo给出例子来表明可分Banach空间未必具有Schauder基，从而对Banach的古典问题作出了否定的回答。其次，许多学者证明了有关Banach空间的重要定理，例如，A. C. James花费了20年的时间于1972年以较简单的方法证明了自反Banach空间的特征化定理，即Banach空间是自反的充要条件为每个连续线性泛函达到它
21、的范数，还有著名的可达范数泛函是稠密的Bishop-Phelps定理，端点表示的Choquet定理等等。此外，人们根据其他数学学科的需要，从各个不同的角度出发对Banach空间进行深入的研究，促使Banach空间的理论(包括它的几何理论)的面貌发生了日新月异的变化，各种凸性和光滑性的研究与最佳逼近密切的联系在一起8。1967年，J. J. Scbaffer考虑Banach空间单位球的内度量性质，引起了单位球的Girth曲线概念，研究Banach空间之间等距性质，讨论了平坦空间(flat空间)。1968年，E. Asplund从凸函数的可微性角度引入强(和弱)可微空间，后来人们称之为Asplun
22、d空间(和w-Asplund空间)。特别地，1937年，M. A. Rieffel将向量测度Radon-Nikodym定理与Banach空间中有界集的“可凹性”联系起来，使得人们进一步研究这种称之为的空间，将Banach空间的理论(包括它的几何理论)的研究推向了一个新的高潮，J. Diestel和J. J. Uhl.jr等数学家进一步用向量测度方法证明了许多Banach空间的定理。1977年，J. Diestel和J. J. Uhl.jr写了Vector measure一书，总结了这方面的许多成就，书中也列举了若干悬而未决的问题，随后的年月里，许多问题相继得到了解决。1953年，E. Mour
23、ier发表了第一篇Banach空间的概率论的论文，他证明了取值于Banach空间的随机变量的第一强大数定律仍然成立。从此，人们开始了Banach空间中概率论的研究，人们发现随机过程可表示为某个函数空间上的随机变量，并且许多基本概率定理在Banach空间中是否成立很大程度上取决于空间的几何结构。现在,取值于Banach空间中的鞅已经成为研究Banach空间的重要工具之一。由于无限维规划论的需要，人们经常使用的是Hahn-Banach定理的几何形式分离定理，现在已得到许多与凸分析有关的Hahn-Banach定理的等价形式9。例如，Krein-Rutuman定理、Hurwicz鞍点定理和次微分定理等
24、，这些都在很大程度上推动了Banach空间理论，特别是它的几何理论的发展。在方程论中，人们不满足于应用Banach压缩映象定理，在实际问题中，出现了一类更广泛的映象，例如，非扩张映象等。1965年，W. A. Kirk证明了非扩张映象的不动点存在与空间的一种叫做正规结构的几何性质有关。随之，人们又进一步探讨使非扩张映象的不动点存在的各种有关的空间几何结构，引入具有各种性质的Banach空间。同时，各种具体的古典Banach空间，例如，,的性质研究1011，促使抽象Banach空间理论进一步发展。J. Lindenstrauss和I. Singer等对Banach空间基的理论进行了深入的探讨，取
25、得了丰硕的成果。J. Lindenstrauss和L. Tzafriri及I. Singer分别写了这方面的著作(前者涉及许多其他方面的内容)12。总之，由于与其他学科的联系，使Banach空间理论，包括它的几何理论越来越丰富。正因为Banach空间理论在其他许多学科中得到广泛应用，使它显示出强大的生命力。1.1.4 空间几何常数的研究空间几何常数是空间几何性质的量化和深入，从几何性质的研究到几何常数的计算是从定性到定量的推进。空间几何常数的取值范围直接决定了某些几何性质的有无。到目前为止，我们已经获得了一些几何常数1314。1935年，Jordan. P和Von. Neumann. J15定
26、义了Jordan-Neumann常数，给出了空间是Hilbert空间的等价条件是=1，开始了对几何性质进行量化的研究。对于凸性模定义为1970年,K. Goebel16证明了蕴含空间具有一致正规结构。1973年，M. M. Day17证明等价于空间是一致凸，一致凸的Banach空间又具有一致正规结构。1977年,Sullivan引进了-一致凸空间的同时引进了-凸性模，后来，人们在Hilbert空间与空间证明了-凸性模的不等式1819。根据凸性模又引入与凸性模类似的系数，同时也得出一些相应的结果20，等价于空间是一致凸，等价于空间是一致非方，蕴含着空间具有一致正规结构。早在1965年，W. A.
27、 Kirk21证明了一致正规结构蕴含空间具有不动点性质。1982年，Baillon,Turett22证明了蕴含着空间具有一致正规结构。1991年，Cao. Ji和Lau. K. S引进了James意义下和Schaffer意义下的非方常数，证明了等价于空间是一致非方的。J. Gao和K. S. Lau23给出了James意义下非方常数和凸性模的关系是当且仅当。2000年，Cao. Ji24引进了常数,证明了，Banach空间具有一致正规结构。1.1.5 点态几何性质建立的重要意义点态性质是空间性质的局部化，有些点态几何性质直接描述空间的几何特点。首先，得到点态的某些几何性质的判据，就很容易推出空
28、间几何性质的判据。例如，空间单位球面上每一点是端点就意味着空间是严格凸的，单位球面上每一点是强端点等价于空间是中点局部一致凸的。另外，对某些问题的解决只需知道具有一定性质的一定点即可，并不需要知道别的点的相关性质。例如，在自反的严格凸Banach空间中，一点的最佳逼近算子的连续，只须该点是H点，并不需要知道全空间是否具有该性质25。同时，在某些经典空间得到了一些点充要条件的判据，如：端点、光滑点、非常光滑点、强光滑点、暴露点、非方点和一致非方点等262728293031。通过对点相关性质的研究就可以更精确的了解空间的几何性质。因此，对点态几何性质的研究具有重要意义。1.1.6 点态几何常数的创
29、立点态几何常数的表示、估计和计算是点态几何性质的量化，是空间几何常数表示的局部化，具有重要的理论价值。点态几何常数能加强对空间内容自身的认识，使空间性质进一步完善。为此，计东海等引入了点态非方常数的定义，开始了点态几何常数方向最初的研究，并得出一些好的结果5，如1.2 课题来源本课题来源于国家自然科学基金项目(10001010)及黑龙江教育厅自然科学基金。1.3 本文研究的主要内容点态性质是对空间几何性质从宏观到微观的深化，因为微观判据决定宏观判据。例如，空间单位球面上每一点是端点就意味着空间是严格凸。有些宏观性质不具备，但局部可能具有一些非常重要的性质能更有效的研究问题。点态几何常数是对点态
30、几何性质的量化和对空间几何常数的细化。点态几何常数的表示、估计和计算能加强对空间内容自身的认识，使空间性质进一步完善。本文主要引入点态凸性模的定义。具体研究工作如下1 根据几何性质可点态化的具体情况建立点态凸性模的概念。2 点态凸性模与某些凸性的关系，在某种条件下（如一致凸）点态凸性模的取值与相关几何性质的关系。3 在有限维空间和某些经典空间上研究点态凸性模的表示与估计。 第2章 点态凸性模及其与有关点态性质的关系2.1 引言凸性在现代矢量空间理论中起着日益重要的作用，有必要对其进行细致的研究。Banach空间的单位球面的凸性研究，最早是由J. Clarkson在1936年讨论向量测度的Rad
31、on-Nikodym定理开始的。而后，人们又讨论了各种凸性，它们在最佳逼近及不动点理论中有着重要的应用。为了研究一致凸J. Clarkson引入了凸性模的定义。给出空间是一致凸的充要条件是，空间是严格凸的充要条件是。空间中许多几何性质可以点态化，点态性质是空间几何性质的局部化、精细化。讨论点态几何性质具有独立的意义。一方面，获得了点态几何性质的判据，相应空间的几何性质就很容易推出。另一方面，许多问题的解决只需了解是否一定的点具有一定的性质，并不必要了解全空间是否具有这样的性质。但是，一般来说，找出空间点态几何性质的判据要比得到空间相应的几何性质难的多，也复杂的多。为更有效的研究点态几何性质，计
32、东海等引入点态非方常数的定义并给出其等价表达式，开始了点态几何常数方向的最初研究。本章将空间概念进行局部化、精细化，引进了点态凸性模的定义，并讨论了点态凸性模的取值与相关几何性质之间的关系。凸性模只是刻画了空间单位球面的总体凸性程度，不论是二维空间还是一些经典的Banach空间，每一点的凸性程度都有很大的不同，这将会对空间的整体性质产生很大影响。因此，对点态凸性模的研究具有重要的理论价值。为了研究点态凸性模，我们引入支撑函数作为一种工具。即由Hahn-Banach定理，对每个，至少存在一个使。2.2 预备知识定义2.1 设是一个Banach空间，定义的凸性模为定义2.2 是上的单调递增函数。定
33、义2.3 赋范线性空间称为一致凸的，是指，只要有=1 以及，则必有定义2.4 Banach空间称为中点局部一致凸的，如果对任意,，存在，使得，当时，有定义2.5 Banach空间称为局部一致凸,是指，蕴含定义2.6 Banach空间称为严格凸，是指对,蕴含定义2.7 赋范线性空间称为平性凸的，是指在的单位球面上，有两个点 使得定义2.8 称为一致凸是指对任何，蕴含 定义2.9 赋范线性空间上的一切有界线性泛函的全体，定义其上的加法，数乘及范数为其构成一个Banach空间，称为的共轭空间，记为定义2.10 Banach空间称为一致圆形的,如果对于任意的，存在，使得当，时，有其中大括号内表示行列式
34、。定义2.11 被称为是Banach空间的光滑模。定义2.12 被称为是Banach空间的James意义下的非方常数。定义2.13 被称为是Banach空间的Schaffer意义下的非方常数。定义2.14 Banach空间称为James一致非方的，是指对于，存在常数，满足或定义2.15 Banach空间称为Schaffer一致非方的，是指对于,存在常数，满足定义2.16 Banach空间具有一致正规结构，是指存在常数，使得对于的每个有界闭凸集，存在，使得定义2.17 设曲面的方程是，曲面上任意点的切平面方程为定义2.18 是的有内点的凸集，的边界上点称为支撑点，乃指存在。这样的称为支撑泛函。定
35、义2.19 求函数在满足函数方程组的所有点的极值，就是条件极值。引理2.18 局部一致凸空间是中点局部一致凸。引理2.28 中点局部一致凸空间是严格凸的。引理2.38 是一致凸的充要条件是是一致光滑的。引理2.432 为了空间是严格凸的，必须且只须的单位球面是“严格凸”的。即只要，则均有引理2.533 设函数与，的所有偏导数在点的某邻域连续，且的秩为2。若点是函数在满足联系方程组 的极值点，则存在常数与，而与和点的四个坐标必同时满足下列方程组为了使定理的结果便于记忆，引入辅助函数令函数关于的偏导数为零，即这里将求函数 ，在满足联系方程组条件下取极值的问题转化为求辅助函数的普通极值，称为拉格朗日
36、乘数法。2.3 点态凸性模及其与点态性质的关系本文中是一个赋范空间，分别表示的单位球与单位球面，表示的共轭空间。对于，记定义2.1 对于 ，定义称为空间在点处的凸性模。定理2.1 是一致凸点的充要条件是证明 必要性是显然的。下证充分性。假设是一致凸点，若命题不真，则存在且，及，使得 即 ，故不趋于0，与是一致凸点矛盾。注1：我们容易证明不是严格凸点，则,使恒有定理2.2 是非端点的充要条件是对于当时，为某一个正数。定理2.3 是定义于0，1，取值于0，2上的非减连续函数。证明 设，有故从而定理2.4 设是Banach空间，则对，有证明 因，有 对于，有故同理，有即 2.4 关于点态凸性模的一点
37、注记定义2.2 是实赋范空间，是包含原点的有界闭凸集，是的边界曲面，定义称为曲面上点关于曲面的凸性模。定理2.5 和分别表示曲面上点关于曲面的凸性模和单位球面上点的凸性模，当曲面为单位球面时两者的值是相等的。定理2.6 为二维欧氏空间，,则当时证明 任意得切片方程可知支撑泛函为若，满足 (2-1) (2-2)由公式(2-1)，得代入公式(2-2)，得 则当时定理2.7 为三维欧氏空间，则当时 其中，证明 对任意，可知支撑泛函为，若点，满足 (2-3) (2-4)只需求根据拉格朗日乘数法，作辅助函数 (2-5) (2-6) (2-7)将式(2-5)，式(2-6)和式(2-7)分别乘再相加得 由已
38、知式(2-3)和式(2-4)，有即将代入式(2-5)，式(2-6)和式(2-7)得 （2-8） （2-9） （2-10）其中将式（2-8），式（2-9）和式（2-10）代入式(2-3)得=整理得 显然存在最大值其中，于是 即定理2.8 若是Banach空间，则是凸点的充分条件是定理2.9 若是有限维空间，是端点的充分必要条件是2.5 本章小结本章给出了点态凸性模的定义，并研究了点态凸性模与一些凸性的关系，得出了相应的结果。点态凸性模的引入，将为凸性性质及相关几何性质的研究提供有效的量化依据。点态凸性模从局部上更精细的描绘空间单位球的几何性质。因此，对点态凸性模的研究具有特殊意义。本章只对点态凸
39、性模和一些凸性之间的关系作了研究，对于点态凸性模与非方常数的关系还没有进行研究，我们将把它作为以后的研究内容。第3章 点态凸性模在具体空间的计算3.1 引言空间几何常数只是对单位球面“几何形状”的宏观状态的研究，为了空间几何理论在深度上的继续发展，应该深入到微观几何性质即点态几何性质的研究中去。空间中许多几何性质可以点态化，点态性质是空间几何性质的局部化、精细化。因此，讨论点态几何性质具有独立的意义。一方面，获得了点态几何性质的判句，相应的空间的几何性质就很容易推出。另一方面，许多问题的解决只需了解是否一定的点具有一定的性质，并不必要了解全空间是否具有这样的性质。但是，一般来说，找出空间点态几
40、何性质的判据要比得到空间相应的几何性质难的多，也复杂的多。为更有效的研究点态几何性质，计东海等引入点态非方常数的定义并给出其等价表达式，开始了点态几何常数方向的最初研究。点态几何常数的表示、估计和计算是点态几何性质的量化，是空间几何常数的局部化，为点态几何性质的研究提供了量化依据。它的表示、估计和计算不仅能更精细对公开问题进行研究，而且能加强对空间内容自身的认识，使空间性质进一步完善。同时，它也是点态几何性质的量化，对点态几何性质的研究直接提供了便利条件。本章根据引入的点态凸性模的定义，对一些有限维空间和具体空间进行计算。3.2 预备知识定义3.1 设是赋范空间，记，称是的共轭空间。即的共轭空
41、间是上所有有界线性泛函构成的赋范空间。定义3.2 由上一个非零线性泛函所定义的集（为一固定常数）称为中的超平面。定义3.3 设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足（1）当且仅当（2）（3）（4）称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。完备的内积空间称为Hilbert空间。定义3.4 Banach空间的空间是指其范数由给出。表示中的范数。是一个Banach空间，且它的共轭空间为，其中为的共轭空间，定义3.5 设上一切可积可测函数组成的集合为，定义其中定义3.6 构成一赋范空间，其中单位球面为椭圆 引理3.132 设为赋（拟）范线性空间上的(拟)范数。那么， ，使得，
42、引理3.232 赋范线性空间上的非零有界线性泛函的范数，即为中零元(可视为坐标原点)到（闭）超平面的距离的“倒数”。引理3.31 对任意两个数有 引理3.434 设是内积空间，则对任意有3.3 具体空间的计算定理3.1 是Hilbert空间，则有证明 由于是Hilbert空间，有 得 推论3.1 若是Hilbert空间，则有当时，定理3.2 设，则当时，证明 对于，且 则当时，下面分别讨论单位球面为椭圆的实二维赋范线性空间和单位球面为椭球面的实三维赋范线性空间及空间中某些特殊点处点态凸性模的表示问题。定理3.3 已知, 表示单位球面为椭圆的实二维赋范线性空间。，则当时，证明 对，定义如下 下面
43、证，只需证事实上显然有且，有 故有易知 若满足则有 当时，得定理3.4已知，表示单位球面为椭球面的实三维赋范线性空间，则当时证明 对，定义如下 下面证，只需证事实上显然有且，有 故有易知 若满足则有当时，得 定理3.5 设，则当时证明 对于易知是中唯一元。另一方面 若满足则有于是有当时有故有注1 关于经典空间点态凸性模的计算问题，我们的工作还只是起步阶段，即使对有限维空间我们也还没有给出一般结论。我们有如下猜想：对任意的，当时，有3.4 举例应用例3.1 为二维欧氏空间，分别求点的凸性模的值。解 (1)对于点的支撑泛函为设可知 代入曲面，得则(2)对于点的支撑泛函为设可知 代入曲面，得则(3)对于点若满足 整理得即支撑泛函设可知 代入曲面，得则 注2 由具体算例可以看出曲面为椭圆上的点关于椭圆的点态凸性模的值在长轴最小，短轴达到最大，沿曲面从长轴到短轴点态凸性模的值是递增的。 同时也说明点态凸性模的值越小该点的凸性程度越强。例3.2 ,，则点，的凸性模的值。解 对于易知是中唯一元。另一方面
