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1、目 录第一章 绪 论1第二章 图像处理概述42.1图像处理概念42.2图像处理技术4第三章 小波变换的基本理论63.1 从傅立叶变换到小波变换63.1.1 傅里叶变换63.1.2 短时傅里叶变换63.1.3小波变换73.2连续小波变换73.2.1一维连续小波变换73.2.3高维连续小波变换93.3离散小波变换103.4小波包分析113.4.1小波包的定义113.4.2小波包的性质123.4.3小波包的空间分解133.4.4小波包算法14第四章 基于小波变换的图像平滑技术154.1基于小波变换的图像平滑154.2传统的图像平滑技术184.2.1邻域平均法194.2.2中值滤波法204.3 小波变
2、换用于图像平滑的优势21第五章 基于小波变换的图像增强技术235.1基于小波变换的图像增强235.1.1 二维小波分解235.1.2 分解系数增强245.1.3 小波重构255.2传统的图像增强技术265.2.1基于空间域的图像增强275.2.2 基于频率域的图像增强285.3 小波变换用于图像增强的优势29第六章 基于小波变换的图像去噪技术316.1图像去噪的原理316.1.1利用小波包图像去噪原理316.1.2新型阈值量化方法316.2基于小波变换的图像去噪346.3小波变换用于图像去噪优越性38第七章 基于小波变换的图像压缩技术397.1图像压缩的原理397.1.1实现图像压缩的一般步骤
3、397.1.2图像压缩的基本方法397.1.3图像压缩的基本过程407.2基于小波变换的图像压缩417.3小波变换用于图像压缩的优势43结 论45致 谢46主要参考文献47第一章 绪 论图像处理广义上包含图像处理、图像分析和图像理解等内容。图像处理是对图像本身进行“加工”，以改善其视觉效果或表现形式。图像处理的处理方法大致可分为:空间(时间)域处理方法和变换域处理方法。前者指利用图像在空域中的特点直接对图像进行各种运算。后者则首先通过某种变换将图像从空间域转换到对应的某变换域中，然后利用图像在该变换域中表现出的特性，对变换过的图像进行处理；如需要，再经过的逆变换转换回到空域中。图像处理中常用变
4、换通常是正交变换，如傅立叶变换、离散余弦变换(DCT)、K一L变换、小波变换等。本论文讲的是小波变换。小波变换(Wavelet Transform)是八十年代后期发展起来的应用数学分支，它属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础之上的，由于傅里叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、时频分析、小波变换等。其中，短时傅里叶变换和小波变换也是应传统的傅里叶变换
5、不能够满足信号处理的要求而产生的。从本质上说，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用的是一个固定的短时窗函数。因而它在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波分析的特点：(1) 具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗略到精细的逐步观察信号。(2) 选择适当的小波函数，可使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态或奇异点。小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。小波
6、分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。本论文运用MATLAB软件进行仿真，下面简单介绍MATLAB软件:MATLAB 软件是美国The MathWorks 公司的产品,它的字面含matrix laboratory (矩阵研究室) ,它在美国以及其它发达国家的大学、科研机构、军事工业、制造业、金融业中广为应用。它的主要功能是进行数学运算和系统分析,在后一方面, MATLAB是世界范
7、围内同类产品的佼佼者。系统分析是当前自然科学中最重要的研究手段之一,在社会科学的经济学、管理学中也很受重视,MATLAB 为系统分析提供了相当完备的算法和工具。MATLAB 在大学理工科的教学中也极有价值,它可以方便地进行矩阵、函数、积分、重积分、概率、统计、模糊逻辑、最优化等运算,可以方便地求解高次方程、多元线性方程、常微、偏微方程,可以方便地对静力学、动力学、电磁学中的许多问题进行模拟,可以把复杂的数学解析式、方程式方便地用图形直观地表现出来。所有这些,在理科的基础课，专业课教学中都占有重要地位。 MATLAB 由如下几个方面组成:(1)MATLAB 语言:这是一种适合于矩阵运算的高级语言
8、,它具有函数、数据结构、输入/ 输出、面向对象(OOP) 等特点。它可以通过交互式即时输入片段小程序、数学公式、函数进行即时输出的运算,也可以编制完整的大型程序进行复杂的运算。(2)MATLAB 工作环境:为用户提供各种分析、模拟、计算的工具,用户也可以用MATLAB 设计自己的专用工具,为此MATLAB 提供了编写程序的控制、调试、扩充工具。处理图形:MATLAB 可以处理复杂的二维、三维图像、动画,可以实现数学运算的可视化,可以在MATLAB 平台上建立自己的GUI(图形用户界面) 。(3)MATLAB 数学函数库:MATLAB 拥有庞大的函数库,这些函数都是由诸如加法、三角函数、复数算法
9、等MATLAB 的基本函数或命令所组成,其中有矩阵求逆、特征值、贝塞尔(Bessel) 函数、快速傅里叶(Fourier) 变换等较为复杂的运算函数。(4)MATLAB 应用程序接口(API) :充许用户在MATLAB 平台上编写C、FORTRAN 程序,同时也可以把MATLAB 作为引 擎调用和运行这些程序。图像处理的应用以及发展动向：从六十年代起，随着电子计算机技术的发展，数字图像处理获得了飞跃的发展。1964年，美国加州理工学院的喷气推进实验室首次使用计算机对徘徊者7号太空船发回的月球照片进行了处理，得到前所未有的清晰图像。此后，随着计算机的使用和空间技术的发展，图像处理技术得到迅速地发
10、展和完善，并成功地应用在许多领域。(1) 在航空、航天遥感方面，计算机对卫星或飞机的遥感图片进行畸变校正、复原和增强，进而统计地球资源信息，进行环境监测等。(2) 在生物医学领域中，应用数字图像处理技术对心电、脑电、超声波及各种放射性图像进行自动分析，对细胞、染色体等显微图像进行自动检测。最突出的例子是己经广泛应用的计算机层析技术CT。(3) 在工业方面，先进的工业机器人的应用，就是建立在图象处理、模式识别和人工智能基础上。同时，工业自动检测和无损探伤也都依赖于图像处理技术。(4) 图像处理技术在军事、政法等方面也有广泛的应用。如利用遥感图像分析地形地貌，判断军事设施以及伪装，分析指纹等。随着
11、计算机的广泛使用，各种专用或通用的图像处理系统已经开始普及。图像处理技术已为越来越多的科学工作者和工程技术人员所掌握，应用的领域也越来越广泛。图像处理技术未来发展大致可归纳为如下四点:(1) 图像处理的发展将向着高速、高分辨率、立体化、多媒体化、智能化和标准化方向发展。(2) 图像、图形相结合朝着三维成像或多维成像的方向发展。(3) 硬件芯片研究，将图像处理的众多功能固化在芯片上将会有更加广阔的应用领域。(4) 新理论和新方法研究。随着科技进步以及人类需求的多样化的发展，多学科的交叉、融合已是现代科学发展的突出特点和必然途径，而图像处理科学又是一门与国计民生紧密相连的一门应用科学，它的发展与应
12、用与我国的现代化建设联系密切，影响深远。图像处理科学无论是在理论上还是在实践上都存在着巨大的潜力。总而言之，随着计算机技术的日益发展，图像处理技术将日益完善，图像处理的应用范围将越加深入和广泛。第二章 图像处理概述2.1图像处理概念图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼而产生视觉的实体。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有75%来自于视觉系统，也就是说人类的大部分信息都是从图像中获得的。图像是人们从出生以来体验到的最重要、最丰富、信息量最大的部分。图像处理(Image Processing)是将图像转换为一个数字矩阵存放在计算机中，并采用一定
13、的算法对其进行处理。就图像的本质来说可以分为模拟图像和数字图像两大类。本论文涉及到的图像处理都是指数字图像的处理。数字图像是对图像进行数字化处理之后的一种数字表示。数字图像处理是将一幅图像变为另一幅经过修改(改进)的图像的表示。其最早可以追溯到20世纪60年代初，美国喷气推进实验室(JPL)用计算机对航空器发回的数千张月球照片进行处理，成功地绘制出了月球的地形图和彩色图，从而开辟了人类历史上数字图像处理的先河。数字图像处理是一门较年轻的学科，尽管其发展历史不长，但它己受到广泛的关注。视觉是人类最重要的感知手段，而图像是视觉的基础。因此图像成为心理学、生理学、计算机科学等诸多领域研究视觉的有效工
14、具，同时图像处理成为一门多学科交叉的综合性学科。进入20世纪60年代，伴随计算机技术的快速发展，数字图像处理进入高速发展时期，广泛应用到航天遥感、生物医学、工业生产、军事安全等领域，并取得丰硕成果。数字图像处理从一幅或是一批图像的最简单的处理，如特征增强、去噪、平滑等基本的图像处理技术，到图像的特征分析和提取，进而产生对图像的正确理解或者遥感图像的解译，最后的步骤可以是通过专家的视觉解译，也可以是在图像处理系统中通过一些知识库而产生的对图像的理解。数字图像处理技术起源比较早，但真正发展是在八十年代后，随着计算机技术的高速发展而迅猛发展起来的。到目前为止，图像处理在图像通讯、办公自动化系统、地理
15、信息系统、医疗设备、卫星照片传输及分析和工业自动化领域的应用越来越多。但就国内的情况而言，应用还是很不普遍，人们主要忙于从事理论研究，诸如探索图像压缩编码等，而对于将成熟技术转化为生产力方面的认识还远远不够。2.2图像处理技术图像处理的基础是数学，最主要的任务就是各种算法的设计和实现。目前的图像处理技术已经在许多不同的应用邻域中得到了巨大的成就。根据应用邻域的不同要求，可以将图像处理技术划分为许多分支，其中比较重要的分支有：(1)图像数字化：通过取样与量化过程将图像变换成便于计算机处理的数字形式。通常，图像在计算机内用一个数字矩阵表示，矩阵中的每一个元素称为像素。将图像数字化的设备有各种扫描仪
16、与数字化仪。 (2)图像编码：对图像信息进行编码，可以压缩图像的信息量，以便满足传输与存储的要求。(3)图像增强：使图像清晰或将其转换为更适合人或机器分析的形式。图像增强并不要求真实地反映原始图像。(4)图像平滑：可以减小噪声，且对图像恰当平滑，能使图像特征得到较好保护，使其更加明显。(5)图像复原：消除或减少在获取图像过程中所产生的某些退化，尽量反映原始图像的真实面貌。(6)图像分割：将图像划分为一些互不重叠的区域。通常用于将分割的对象从背景中分离出来。上述图像处理的内容往往是互相有联系的。一个实用的图像处理系统往往需要结合应用几种图像处理技术才能得到所需要的结果。图像数字化是将一个图像和变
17、换为适合计算机处理的形式的第一步；图像编码技术可用于传输和存储图像；图像增强复原是图像处理的最后目的，也可以为进一步的处理作准备；通过图像分割得到的图像特征可以作为最后结果，也可以作为下一步图像分析的基础。如图2.1粗略说明数字图像处理的主要内容及步骤图2.1数字图像处理的主要内容和步骤数字图像处理方法大致可分为两大类，空域法和变换域法:空域算法是指在空间域内直接对数字图像进行处理，在处理时，即可以直接对图像中象素点进行灰度上的变换处理，也可以对图像进行小区域模板的空域滤波处理，以充分考虑象素邻域内的象素点对其的影响.变换域处理方法主要是通过傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换或是比较新的小波
18、变换等变换算法，将图像从空域信号变换到相应的变换域信号.然后在变换域中对信号进行处理.处理完后再将信号从变换域反变换到空间域。由于变换域的作用空间比较特殊，不同于以往的空域处理方法.因此可以实现许多在空间域中无法完成或是很难实现的处理，广泛应用于滤波、压缩编码等方面。第三章 小波变换的基本理论3.1 从傅立叶变换到小波变换3.1.1 傅里叶变换在信号处理中重要方法之是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。但是,傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多
19、信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，
20、尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。3.1.2 短时傅里叶变换由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 (3.1)其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，起着频限的
21、作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，是f（t）“逐渐”进行分析。因此，g（t）往往被称之为窗口函数， 大致反映了f（t）在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森堡测不准原理指出和是互相制约的，两者不可能同时都任意小（事实上，且仅当为高斯函数时，等号成立） 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺
22、陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。3.1.3小波变换小波变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。小波变
23、换用的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。3.2连续小波变换3.2.1一维连续小波变换定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件） (3.2)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得 (3.3)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为 (3.4)其重构公式（逆变换）为 (3.5)由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件 (3.6)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式
24、，在原点必须等于0，即 (3.7)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： (3.8)式中0AB从稳定性条件可以引出一个重要的概念。定义（对偶小波） 若小波满足稳定性条件（3.8）式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出： (3.9)注意，稳定性条件（3.8）式实际上是对（3.9）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有
25、以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和（2）平移不变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为（3）伸缩共变性：若f（t）的小波变换为，则f（t）的小波变换为，（4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：（1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能
26、的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。3.2.3高维连续小波变换对，公式 (3.10)存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称， (3.11)并且其相容性条件变为 (3.12)对所有的。 (3.13)这里，=，其中且，公式（3.6）也可以写为 (3.14)如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义 (3.15)这里，相容条件变为
27、 (3.16)该等式对应的重构公式为 (3.17)对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。3.3离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数：这里，且，是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为 (3.18)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定（由于m可取正也可取
28、负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数即可写作 (3.19)而离散化小波变换系数则可表示为 (3.20)其重构公式为 (3.21)C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换(DwT)。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是sMallat于1988年发展的快小波算法(又称塔
29、式算法)。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分称为近似部分)和离散部分(称为细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已经改变。依次进行到所需要的尺度。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT)，还有小波包（Wavelet Packet）和多维小波。3.4小波包分析短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q结构）。小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析
30、方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图3.1SD1A1DD2AD2DA2AA2DDA3AAD3ADD3DDD3ADA3DDA3AAA3ADA3图3.1 小波包分解树图3.1中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树（也即尺度数）。分解具有关系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。3.4.1小波包的
31、定义在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空间分解为所有子空间的正交和的。其中， 为小波函数的闭包（小波子空间）。现在，我们希望几拟议部对小波子空间按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度空间和小波子空间用一个新的子空间统一起来表征，若令 则Hilbert空间的正交分解即可用的分解统一为 (3.22)定义子空间是函数是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间，并令满足下面的双尺度方程： (3.23)式中，即两系数也具有正交关系。当n=0时，以上两式直接给出 (3.24)与在多分辨分析中，满足双尺度方程： (3.25)相比较，
32、和分别退化为尺度函数和小波基函数。式（3.24）是式（3.22）的等价表示。把这种等价表示推广到（非负整数）的情况，即得到（3.23）的等价表示为 ； (3.26)定义（小波包） 由式（3.23）构造的序列（其中）称为由基函数=确定的正交小波包。当n=0时，即为（3.24）式的情况。由于由唯一确定，所以又称为关于序列的正交小波包。3.4.2小波包的性质定理1 设非负整数n的二进制表示为 ，=0或1则小波包的傅立叶变换由下式给出： (3.27)式中：定理2 设是正交尺度函数的正交小波包，则，即构成的规范正交基。3.4.3小波包的空间分解令是关于的小波包族，考虑用下列方式生成子空间族。现在令n=1
33、，2，；j=1，2，并对（3.22）式作迭代分解，则有因此，我们很容易得到小波子空间的各种分解如下：空间分解的子空间序列可写作，m=0，1，-1；l=1，2，。子空间序列的标准正交基为。容易看出，当l=0和m=0时，子空间序列简化为=，相应的正交基简化为，它恰好是标准正交小波族。 若n是一个倍频程细划的参数，即令n=+m，则我们有小波包的简略记号，其中，。我们把称为既有尺度指标j、位置指标k和频率指标n的小波包。将它与前面的小波作一比较知，小波只有离散尺度j和离散平移k两个参数，而小波包除了这两个离散参数外，还增加了一个频率参数n=+m。正是这个频率新参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率
34、高时频率分辨率低的缺陷，于是，参数n表示函数的零交叉数目， 也就是其波形的震荡次数。定义（小波库） 由生成的函数族（其中；j，）称为由尺度函数构造的小波库。推论3.1 对于每个j=0，1，2，= (3.28)这时，族|j=，-1，0；n=2，3，且 (3.29)是的一个正交基。随着尺度j的增大，相应正交小波基函数的空间分辨率越高，而其频率分辨率越低，这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的不足。小波包可以对进一步分解，从而提高频率分辨率，是一种比多分辨分析更加精细的分解方法，具有更好的时频特性。3.4.4小波包算法下
35、面给出小波包的分解算法和重构算法。设，则可表示为 (3.30)小波包分解算法 由求与 (3.31)小波包重构算法 由与求 第四章 基于小波变换的图像平滑技术图像处理技术主要是对图像进行增强、改善或修改，为图像分析做准备。通常，在实际应用中，我们的系统获取的原始图像不是完美的，例如对于系统获取的原始图像，由于噪声、光照等原因，图像的质量不高，所以需要做的工作就是对视频图像进行相关预处理，图像的预处理不但能有效地消除噪声，改善图像质量，使图像清晰化，还对后续处理工作比如目标识别的正确性，目标跟踪的及时性提供了一定的保证。在预处理中，输入和输出都是图像，只是经过预处理后，输出图像的质量得到一定程度的
36、改善，可达到改善图像的视觉效果或者更便于计算机对图像分析、处理、理解和识别等处理的目的。我们这里所用到的图像预处理技术主要包括灰度变换、图像增强、平滑滤波、锐化等处理技术。图像的预处理既可以在空间域实现，也可以在频域内实现，我们主要介绍在空间域内对图像进行点运算，下面我们开始介绍有关图像平滑的一些基础知识。4.1基于小波变换的图像平滑小波变换作为一种有效的时间频率分析方法，近年来受到广泛的注，其应用已遍及信号和图像分析处理的多个研究领域。小波变换应用于图像平滑是人们十分感兴趣的课题之一。小波变换为信号和图像的表示提供了一种多分辨率(多尺度) 的方法，它能够同时给出信号和图像的时(空) 域和频域
37、的信息。因此，在小波变换域中进行噪声平滑具有空间和频率的双重选择性，克服了傅里叶方法和其它分析方法的不足。另一方面, 理论和实验证明，白噪声小波变换的性态与信号的奇异性态相比具有显著不同的特点，充分利用这些特点，在小波变换域中能十分有效地进行图像边缘的检测和定位，十分有效地把信号和噪声区别开来。因此，在小波变换域中图像平滑技术在兼容平滑噪声和保留图像边缘方面具有十分诱人的应用前景。下面就小波变换应用于图像噪声平滑问题进行分析和讨论。利用二维小波分析和图像的中值滤波进行图像的平滑处理，其流程图如图4.1：图4.1基于小波的图像平滑流程图运用MATLAB仿真程序如下：load woman;subp
38、lot(131);image(X);colormap(map);title(原始图像);axis square init=2788605826;rand(seed,init);x=X+18*(rand(size(X);subplot(132);imshow(x,map);title(含噪图象);axis squarec,s=wavedec2(x,2,db7);h2=detcoef2(h,c,s,2);v2=detcoef2(v,c,s,2);d2=detcoef2(d,c,s,2);for i=2:1:42for j=2:1:42temp=0;for m=1:3for n=1:3temp=te
39、mp+h2(i+m-2,j+n-2);endendtemp=temp/9;h2(i,j)=temp;endendfor i=2:1:42for j=2:1:42temp=0;for m=1:3for n=1:3temp=temp+v2(i+m-2,j+n-2);endendtemp=temp/9;v2(i,j)=temp;endendfor i=2:1:42for j=2:1:42temp=0;for m=1:3for n=1:3temp=temp+d2(i+m-2,j+n-2);endendtemp=temp/9;d2(i,j)=temp;endenda2=appcoef2(c,s,db7,
40、2);a2=0.5*a2;y=idwt2(a2,h2,v2,d2,db7);subplot(133);imshow(y,map);title(平滑图像);axis square;运行结果如图4.2： 图4.2图像平滑处理其中，(a)为原始图像；(b)为含噪图像；(c)为平滑图像。由图4.2(c)可明显看出平滑后的图像视觉效果很好。本次实验实现了去除高斯噪声的目的，并且都能较好的解决边缘模糊的问题，有效的保留了必要的图像边缘细节，视觉效果较好，层次感较为丰富，为图像的进一步处理提供了良好的基础。4.2传统的图像平滑技术图像噪声的来源有三个方面:一是在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声;二为CCD
41、摄像机采集图像的不稳定性;三为自然起伏性噪声，有物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。新采集的图像必定包含一些干扰和噪声，使图像质量下降，为了消除采集图像的噪声和干扰，加强有用信息，使图像更易于辨识，图像识别前的重要处理步骤是对图像进行平滑去噪处理。一般地，对噪声的描述采用统计意义上的均值与方差:设图像信号的二维灰度分布为f(x，v)，则噪声可看作是对亮度的干扰，以n(x，y)来表示。均值表明图像中的噪声的总体强度 (4.1)方差表明图像中噪声分布的强弱差异 (4.2)其中M，N分别为图像的行数和列数。由于噪声源众多(如光栅扫描、底片颗粒、机械元件、信道传输等)，
42、噪声种类复杂(如加性噪声、乘性噪声、量化噪声等)，所以滤波方法也多种多样。图像噪声滤波器有多种分类方法。对静态图像或视频图像，以数学形式可以划分为线性滤波器和非线性滤波器，对受到噪声污染的退化图像的复原可以采用线性滤波的方法来处理，在许多情况下是很有效的。但是多数线性滤波具有低通性，在去除噪声的同时也使图像的边缘变得模糊了。中值滤波方法在某种条件下可以做到去除噪声又保护图像边缘的较满意的复原。中值滤波是一种去除噪声的非线性处理方法，它由Turky在 1971年提出，在去噪复原中得到了较好的效果，本章中介绍常用的邻域平均、中值滤波方法。4.2.1邻域平均法邻域平均法是一种简单的空域平滑技术。设有
43、一幅NxN的原始图像f(x，y),经过邻域平均法处理后的图像为g(x，y)，则 (4.3)式中，M为集合S内的坐标点的总数。邻域的选取分为矩形邻域和圆形邻域，其计算公式如下: 33模块的邻域平均计算法 55模块的邻域平均计算法邻域半径可以随意选取。但是，邻域平均法在去除噪声的同时，也使图像的边缘和细节模糊，特别是半径增大，这种模糊效应更大。为了达到在消除图像噪声的同时保证边界不变模糊的目的，根据局部区域内图像状态的不同，对其邻近的像素进行选择，然后进行局部均值化处理。图4.3为加入椒盐噪声和均值滤波的结果。图4.3加入椒盐噪声的图像和均值滤波的图像图4.3中，(a)为原始图像；(b)为加入椒盐
44、噪声的图像；(c)为33的均值滤波处理结果。由图4.3可看出，均值滤波法比较简单，去噪效果比较明显。但均值平滑有时处理图像的效果并不很好，它虽然去除了一定的噪声，但同时使图像中的边缘变的模糊，这主要和所选取的窗口大小有关。4.2.2中值滤波法中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中的一个点的值用该点的一个邻域中各点的值的中值代替(若窗口中有偶数个象素，则取两个中间值的平均)。中值的定义如下:一组数把n个数按值的大小顺序排列于下:y称为序列的中值。 (4.4)中值滤波一般采用一个含有奇数个点的滑动窗口。具体方法为首先确定一个奇数象素的窗口W，窗口内各象素按灰度大小排队后，用其中间位置的灰度值代替原f(x,y)灰度值成为增强图像g(x,y)，即
