天津科技大学李伟版高等数学习题解答（线、面积分） .doc

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1、习题101（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对弧长的曲线积分是一个和式的极限，该和式的每一项都是定义在曲线弧上的函数值与小弧段长的乘积；（2）计算对弧长的曲线积分时，要通过“三代替”将它转化为定积分：曲线积分用定积分代替，积分中的变量用曲线方程代替，弧长元素用弧微分代替计算的关键是选好“参数”，写好曲线方程在化为定积分时将起点对应的参数作积分下限，终点对应的参数作为积分上限；（3）用对弧长的曲线积分可以解决曲线弧长，曲线型构件的质量、质心、转动惯量、引力等几何量与物理量的计算答：（1）正确，这是对弧长曲线积分的定义（其中是小弧段上任一点）决定的 （2）前两者正确，这就是对弧长的曲

2、线积分的计算公式；后者不正确，在化为定积分时永远是下限小、上限大，而不是起点对应的参数作积分下限，终点对应的参数作为积分上限 （3）正确，曲线弧长；其余物理量的计算公式类似于重积分相应量的计算公式，如，等2计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是折线上对应的一段；（2），抛物线上从到的一段；（3），其中是位于第一象限的圆；（4），其中椭圆的一周；（5），其中圆周，直线及轴围成的第一象限内扇形的整个边界；（6），其中是从点到点的直线段；（7），其中为位于第一卦限平面的边界；（8），其中是圆上对应于从 到的一段弧解：（1）设，其中（），；（），所以 （2）()，所以 （3）（方法1）利用直角坐标方

3、程计算，（），则 （方法2）利用参数方程计算， （），则 （方法3）利用极坐标方程计算（参见习题10-1（B）2），（），则 （4）（）， （5）设，其中（），； （），； （），所以 在上也可以如下计算：（6）（），则 （7）设，其中（），；（），；（），则 在（及）上可如下计算 （8）（），则习题101（B）1用对弧长的曲线积分计算摆线，（）的第一拱的弧长解：，（），则2如果平面曲线的方程是（），其中有连续的导数，证明： 证明：将曲线方程改写为参数方程，则 ，所以3计算曲线积分，其中是圆（）的一周解：（方法1）利用直角坐标方程，（），则， （方法2）利用参数方程计算，（），则， （方法3）

4、利用极坐标方程，（），则， 4计算曲线积分，其中是椭圆的一周，周长为解：由于椭圆关于轴对称，是关于变量的奇函数，则，于是5计算曲线积分，其中为正方形的一周解：设（），则由于正方形既关于轴对称也关于轴对称，而既是变量也是变量的偶函数，所以6求线密度为的均匀细圆环对于轴的转动惯量解：7若在曲线上函数，证明证明：将曲线任意分成小段（即代表第小段也表示第小段的弧长），在上任取一点，记，则习题102（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）在对坐标的曲线积分的定义中，表示轴上的小线段的长；（2）对坐标的曲线积分的计算类似于对弧长的曲线积分的计算，也是通过“三代替”化为定积分：曲线积分用定积分代替，

5、积分中的变量用曲线方程代替，不同的是（或）要用其微分代替同样，计算的关键是选好“参数”，写好曲线方程在化为定积分时也一定是下限小、上限大；（3）对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分是意义完全不同的两个概念，对相同的函数和相同的曲线，与是不能相等的答：（1）不正确，是当前分点与前一分点横坐标的增量（或向量在轴上的投影），它可正可负（2）前两者正确，这就是对坐标曲线积分计算的方法，如：若（起点对应参数，终点对应参数），则 ；后者不正确在化为定积分时起点对应的参数为下限，终点对应的参数为上限（3）正确，除碰巧相等外，一般是不会相等的，如：（起点，终点），则，而2计算对坐标的曲线积分：（1），其中是直线

6、上从点到点的一段；（2），其中是抛物线上从点到点的一段；（3），其中是由，及轴围成区域的逆时针边界；（4），其中是圆周（）按逆时针方向绕行一周；（5），其中是从点到点的有向直线段；（6），其中是椭圆沿增加方向的一周解：（1）以作参数，（起点，终点），则 （2）以作参数，（起点，终点），则 （3）如图，设，其中 （起点，终点）； （起点，终点）；（起点，终点），则 （4）利用参数方程，（起点，终点），则 （5）将直线写为参数方程，（起点，终点），则 （6）（起点，终点），则3沿曲线从点到点计算对坐标的曲线积分，其中为： （1）直线； （2）正弦曲线； （3）抛物线解：（1）（起点，终点），则 （

7、2）（起点，终点），则 （3）（起点，终点），则4沿曲线从点到点计算对坐标的曲线积分，其中为：（1）直线； （2）圆； （3）折线（是原点）解：（1）（起点，终点），则 （2）利用参数方程，（起点，终点），则 （3），其中（起点，终点）； （起点，终点），则习题102（B）1质量为的某质点受到一个指向原点、大小为的弹性力的作用，现将质点从点沿螺旋线（）盘旋一周，求克服弹性力与重力所做的功解：根据题目已知，质点所受弹性力可设为（其中），由，得，于是质点所受弹性力与重力之和为，所以 2计算对坐标的曲线积分，其中是从原点起沿摆线， 的第一拱到的一段有向弧解：，（起点，终点），则 3计算对坐标的曲线积

8、分，其中是圆逆时针方向一周解：利用直角坐标方程，以为参数，其中（起点，终点）； （起点，终点），则4计算对坐标的曲线积分，其中是曲线（）的一周，从轴正向看去取逆时针方向解：利用参数方程，（起点，终点），（其中）5将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中是：（1）从点到点的一段有向直线；（2）沿上半圆周从点到点的一段有向弧解：（1），则，所以 （2），在点的切向量为，对应于从点到点的一段有向弧，切向量与轴夹角的余弦，而这段曲线上，所以有向曲线的切向量为，于是，所以 6将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中是：（1）曲线，从到的一段有向弧；（2）椭圆的一周，从轴正向看去取逆时针方向解：（

9、1），在任一点处的切向量， 由有向曲线的正向为增加方向，于是有向曲线的切向量，则，所以 （2）椭圆在任一点处的切向量，对于椭圆的逆时针方向，切向量与轴夹角的余弦与变量的符号相反，于是有向曲线的切向量，则，所以习题103（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）格林公式所要求的条件主要有两条：区域是有界闭区域（可以是单连通的，也可以是多连通的），函数有一阶连续偏导数；（2）曲线积分与积分路径无关等价于沿闭曲线积分为零在格林公式的条件中再附加条件就是曲线积分与积分路径无关的条件，或说沿闭曲线积分为零的条件；（3）当区域与函数都满足了曲线积分与积分路径无关的条件时， 就一定是某个二元函数的全微

10、分若要求出，可以选择特殊的路径，比如说平行于坐标轴的路径作为积分路径来计算相应的曲线积分；（4）若是某个二元函数的全微分，那么计算曲线积分就可以转化为求的原函数的增量，即答：（1）不正确，必须是由分段光滑曲线围成的有界闭区域（否则曲线积分可能不存在），并且要取正向 （2）前者正确，这就是：若是单连通区域，则在内积分与路径无关的充分必要条件是，其中是内任意分段光滑闭曲线；后者不正确，格林公式中允许是多连通区域，而积分与路径无关的条件中要求是单连通区域，例如对于区域，其边界曲线，其中（逆时针方向），（顺时针方向），则积分满足格林公式条件，并且也满足，但是该积分在区域内积分与路径有关（从到沿上半圆计

11、算其值为，沿下半圆计算其值为） （3）正确，这就是，既然该积分与路径无关，当然一般取最简单的路径（平行于坐标轴的折线）计算，但是要注意：积分路径的终点为动点，并且路径不能超出区域 （4）正确，事实上：由，得 2利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中是由折线与围成三角形区域的正向边界曲线；（2），其中是圆逆时针一周；（3），其中由抛物线上从点到点的一段有向弧；（4），其中是余弦曲线上从点到点的一段有向弧解：（1）题目满足格林公式的所有条件，直接应用格林公式，得 （2）题目满足格林公式的所有条件，直接应用格林公式，得 （3）曲线不封闭，为用格林公式，补有向直线， （4）曲线不封闭，为用格林公式

12、，补有向直线，及， ，则 3利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）椭圆； （2）星形线（）解：（1） （2）将星形线改写为参数方程，（起点，终点）则 4证明下列各曲线积分在整个坐标平面内与路径无关，并计算积分值： （1），其中的起、终点分别为； （2），其中的起、终点分别为解：（1），在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则 （2），在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则5计算曲线积分，其中是椭圆 上从到的一段有向弧解：，在整个坐标平面内且连续，所以在整个坐标平面内积分与路径无关，沿折线计算，则 6若是任意不过

13、原点，且不包围原点的简单分段光滑闭曲线，证明证明：，除原点外且连续，所以对任意不过原点，且不包围原点的简单分段光滑闭曲线，都有 7若函数有连续导数，且，求使曲线积分在 面内与路径无关并求曲线积分解：，要使曲线积分在面内与路径无关，必须在面内恒有，得，则，由，得，所以所求函数为 8验证下列各表达式在面内是某个二元函数的全微分，并求一个这样的函数： （1）； （2）解：（1），在整个坐标平面内且连续，所以表达式在面内是某个二元函数的全微分下面用三种方法求： （方法1）用曲线积分求， ， 更一般可取为（其中为任意常数） （方法2）用不定积分求， 由，有，于是，而由题目知，于是，得，所以（其中为任意常

14、数） （方法3）用“凑微分”方法求， 由 ，所以 （其中为任意常数） （2），在整个坐标平面内且连续，所以表达式在面内是某个二元函数的全微分（求仍有三种方法，此处只用曲线积分求） ，一般取为（其中为任意常数）习题103（B）1设一变力，它在轴上的投影分别为 ，其中有一阶连续导数，当时，证明该变力沿光滑路径移动质点所做的功与路径无关并计算此力将质点从移动到所做的功解：，在时，并且它们连续，所以该变力沿光滑路径移动质点所做的功与路径无关此力将质点从移动到所做的功为 或者，设的原函数为由，所以，于是 2计算曲线积分，其中是摆线 上从到一段有向弧解：，并且在全平面上连续，所以积分与路径无关沿如图折线计

15、算该积分， 3计算曲线积分，其中是正方形正向边界解：先用约束性，然后再用格林公式，则 4计算曲线积分，其中是圆周按逆时针方向一周解：，除原点外，且连续，而原点恰在积分曲线所围的区域内，为此作一个小圆（按逆时针方向）将原点挖掉，则在外、内确定的区域内连续，可以用格林公式 5已知函数满足，其中是面上任何简单光滑闭曲面，且，求可微函数 解：， 根据题目条件知道积分与路径无关，则有，即，令，前式化简为，这是一阶线性微分方程，通解为，将其写作，由，得，所以所求函数为6证明表达式在的上半平面内是某个二元函数的全微分，求出这个二元函数解：，则，在的上半平面内且它们连续，所以表达式在的上半平面内是某个二元函数

16、的全微分 ，一般取（其中为任意常数）7下列方程是否为全微分方程？如果是全微分方程，求通解： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1），则，在全平面上且它们连续，所以方程是全微分方程分项凑微分，左式 ， 由，有，所以，于是方程的通解是 （2），则，因为，所以方程不是全微分方程 （3），则，因为，所以方程不是全微分方程 （4），则，在全平面上且它们连续，所以方程是全微分方程用曲线积分求， ，所以方程是，即 8如果不是全微分方程，而是全微分方程，则称函数是微分方程的一个积分因子， 证明函数是微分方程的一个积分因子，并求该方程的通解解：对原方程，显然，所以方程不是全微分方程 方程两边同乘，则原方程

17、化为，对新方程，则，所以方程（）是全微分方程，于是函数是微分方程的一个积分因子用不定积分求解，由，有，则，而，所以，为方便取，于是，当时方程的通解是，即，可以写作，当然它也是原方程在时的通解，同时当时也是方程的解，所以微分方程的通解是习题104（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由： （1）对面积的曲面积分像对弧长的曲线积分、重积分那样，积分和式的每一项都是函数在某点的值与几何体度量（曲面面积、曲线段弧长、区域的面积或体积）的乘积因此，积分的线性运算性质，可加性甚至积分的保序性等性质依然成立； （2）由于在曲面上只能有两个量自由变化，因此计算对面积的曲面积分时要将其化为二重积分，其方法也是“

18、三代替”：曲面积分用二重积分代替，被积函数中的变量用曲面方程代替，曲面面积元素用等代替 （3）无论曲面形状如何，计算对面积的曲面积分都是化为对的二重积分，即向投影，因此曲面方程必须写为的形式答：（1）正确，些性质都可以由这几类积分的定义证得 （2）正确，比如曲面方程可以写为时，投影区域为，且在上有连续偏导数，则计算的关键是选好投影面，写好曲面方程，求出投影区域 （3）不正确，化为对哪两个变量的二重积分，要由积分曲面来决定尽量要使曲面方程为单值函数，如计算，其中旋转抛物面（）时不宜向面投影，应选择向面投影，将其化为对变量的二重积分；特别如果曲面是平行于轴的柱面时，绝对不能化为对的二重积分，如计算

19、，其中是介于之间的圆柱面时就是如此，它只能向或面投影2计算下列对面积的曲面积分：（1），其中是位于第一卦限的平面；（2），其中是含在柱面内的平面；（3），其中是由与所围成立体的表面曲面；（4），其中是上半球面；（5），其中是圆柱体的表面解：（1）向面投影，为此，所以 （2）向面投影，为此，所以 （3）向面投影，曲面，其中；，它们在面上的投影都是，于是，而显然有，所以 （4）向面投影，为此，所以 （5）曲面，其中，它们在面上投影为，（） 在上：；在上：；在上：向面投影，为此，它们在面的投影区域为，则，于是所以，3求均匀上半球壳（）的质心解：由对称性，质心落在轴上，于是，（其中是面密度）， ，在面

20、上投影区域，于是， ，所以半球壳的质心在4求底半径为，高为的均匀（密度为）圆锥面对于中心轴的转动惯量解：如图取坐标，圆锥的顶点在原点，开口向上，且轴为圆锥的轴，则圆锥面方程是（看作由平面上直线（）绕轴旋转得到） 在面上投影区域为， 习题104（B）1一个半径为的球壳，为球壳上一定点，球壳上任一点的面密度与这点到点距离的平方成正比，若是一条直径，且点的密度为，求该球壳的质量解：如图取坐标，点取为坐标原点，点在轴上处，则球壳方程将分成上、下两片，它们在面上投影区域都是，且都有 面密度（是比例系数），由点的密度为，有，得，所以面密度 2一个密度均匀曲面型构件，其方程为，求此构件的质心解：由对称性，知

21、心落在轴上，于是，在面上投影区域， ， 于是，所以质心位于3计算曲面积分，其中是球面解：（方法1）设上半球面为，它在面上投影区域是，且 根据对称性与奇偶性，则 （方法2）由轮换性及约束性，4计算曲面积分，其中是陀螺体的表面解：设，其中，它们在面上投影区域都是对，于是 对，于是 所以， 5计算曲面积分，其中是圆锥面介于平面与之间的部分 解：设是位于第一卦限部分，则 ，它在面上的投影区域是，且 6求面密度为的均匀半球壳，对位于原点的单位质量的质点的引力解：设所求引力为，由对称性有， ，它在面上的投影区域是，且于是 所以半球壳对质点的引力（其中为引力系数）习题105（A）1判断下列论述是否正确，并说

22、明理由：（1）曲面在坐标面上的投影与有向曲面在坐标面上的投影是不相同的，有向曲面在坐标面上的投影与曲面在坐标面上投影面积之间仅差别在一个符号上，而该符号由有向曲面的侧来决定；（2）计算对坐标的曲面积分类似于计算对面积的曲面积分，用“三代替”化为二重积分：曲面积分用二重积分代替，被积函数中的变量用曲面方程代替，（或）用有向投影（或）代替，其中“正”、“负”号由曲面的侧决定；（3）一般说来，计算对坐标的曲面积分时，要向面投影，将曲面方程写为但是，也可向其他坐标面投影，即用所谓的“换坐标公式”，如将坐标换为坐标有，将坐标换为坐标有等等答：（1）正确，这就是有向曲面在坐标面上投影的定义，如当有向曲面满

23、足：点在上变化时其法向量与轴夹角的余弦不变号，且在上投影区域的面积为，记有向曲面在上投影为，则当时，；当时，；当时， （2）正确，这就是对坐标曲面积分的计算方法，如：（）则（其中当是前侧时，积分前面取“正”号；当是后侧时，积分前面取“负”号）要注意在计算中对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分最大不同的是：投影面不能随意选择，由积分本身决定，比如计算（必须向面投影（如果要向其它坐标面投影，应当用“换坐标公式”） （3）正确“换坐标公式”可以由两类曲面积分的关系得到2计算下列对坐标的曲面积分： （1），其中是含在柱面内的平面的上侧； （2），其中是球面的上侧； （3），其中是介于，之间圆锥面的下侧；

24、 （4），其中是介于，之间圆柱面的外侧； （5），其中是由及围成区域的表面外侧； （6），其中是由及三个坐标面围成区域的表面外侧解：（1）（上侧），它在面上投影区域 （2）（上侧），它在面上投影区域 （3）（下侧），它在面上投影区域 （4）对，由于在面上的投影仅仅是一条线（即，或），所以对，要向面投影，为此将分成，其中 （前侧），（后侧），它们在面上投影区域，于是 所以，（5）设，其中（下侧），（上侧），它们在面上的投影区域 (方法1) 对，将分成（右侧），（左侧），它们在面上投影区域，则 所以（方法2）在上用“换坐标公式”，则 （6）设，其中 （后侧），在面上投影区域为； （左侧），在面上投

25、影区域为； （下侧），在面上投影区域为； ，在、面上投影区域分别为上述显然在上，在上， 或者在上用换坐标公式，有 所以3稳定不可压缩流体以速度由下向上流过位于圆柱面内的平面，求其流量解：（上侧），它在面上投影区域是，在面上投影是一条线，在面上投影区域是（这时曲面取左侧）所求流量 （其中用到） 或者利用换坐标公式，有 习题105（B）1稳定不可压缩流体以速度流向曲面的外侧，求其流量解：， 将曲面，分成上、下两片，（上侧）及（下侧），它们在面上投影区域是所以 2把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分，其中曲面是：（1）平面位于第一卦限内部分的下侧；（2）上半球面的上侧解：（1）平面上任一点处的法向

26、量，由于取下侧，有，于是平面下侧法向量为，由此得，所以， （2）球面上任一点处的法向量，由曲面取上侧，且，于是有向球面的法向量可以取为，由此，同样，所以 3计算曲面积分，其中是球面（）位于圆柱面外面部分的上侧解：（上侧），它在面上投影区域为： 4计算曲面积分，其中是下半球面的上侧（）解：（上侧），它在面上投影区域为：用“约束性”及“换坐标公式”有 5计算曲面积分，其中是面上曲线 （）绕轴旋转一周所得的旋转面的下侧 解：（下侧），它在面上投影区域为： 习题106（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）高斯公式刻画了在空间有界闭区域上的三重积分与沿该区域的边界曲面上的曲面积分之间的联系，由

27、其证明来看，该公式可以看作由三个公式合并而得到的它要求两个条件：一是围成有界闭区域的曲面是分片光滑的，二是函数在曲面上有一阶连续偏导数；（2）用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的积分时，是将其转化为曲面积分计算，对弧长的曲线积分要转化为对面积的曲面积分，对坐标的曲线积分要转化为对坐标的曲面积分无论任何，曲面可以随意取，只有以该曲线为边界就可行；改（3）高斯公式要求的区域是空间中的有界闭区域，曲面是该立体的表面如果所给曲面不是封闭的，必须补充曲面从而变成封闭曲面才能用高斯公式改（2，3换位）答：（1）前者正确，这由高斯公式本身，或直接看到证明方法是，逐一证明；后者不正确函数要在有界闭区域上有一阶连续

28、偏导数，而不是在曲面另外使用高斯公式时要注意两点：一是曲面要封闭（若曲面非闭，要通过添加辅助面将其封闭），二是曲面取外侧 （2）不正确，斯托克斯公式确实起到了将空间闭曲线上的积分转化为曲面积分的作用，但是具体是哪一类积分之间的转化，它们是随意的，因为在满足斯托克斯公式条件时下列等式永远是成立的：（其中是有向曲线的切向量的方向余弦；是有向曲面法向量的方向余弦）尽管曲面可以随意取，但是除了要求以为边界之外，还要求要分片光滑，在上函数要有连续偏导数，曲线的绕行方向与有向曲面的法向量之间要符合右手螺旋法则 （3）正确，首先要注意空间中的有界闭区域的边界曲面是分片光滑的，如果要计算的曲面积分中的不封闭，

29、若要用高斯公式计算该积分，首先要添加辅助面将其封闭，然后再使用高斯公式，同时要注意封闭后的曲面是哪一侧2用高斯公式计算下列各曲面积分：（1），其中是由平面和三个坐标面围成立体的表面外侧；（2），其中是由旋转抛物面与平面 围成立体的表面外侧；（3），其中是介于平面，之间圆锥面的下侧；（4），其中是上半球面 ，是上的点处外法向量的方向余弦解：（1）完全满足高斯公式条件，直接使用高斯公式（），得 （2），直接使用高斯公式，得 （3）添加辅助面：（下侧），； ：（上侧），； （4）添加辅助面（下侧），则(注：对应于的积分中，是上的点处下法向量的方向余弦，此时)3用斯托克斯公式计算下列各曲线积分： （1

30、），其中是圆周从轴正向看去取逆时针方向； （2），其中是椭圆 从轴正向看去取逆时针方向解：（1）取（上侧），则 （2）取（上侧），则 或者，的法向量，则习题106（B）1利用高斯公式证明阿基米德浮力原理：沉没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于这个物体所排开的液体的重量证明：如图取坐标（面为液体表面，表示液体深度），在物体表面上任取一小片，该小片上取一点，设该点所受液体的压力为，根据物理学知道该点压力的大小是（其中是液体的密度），因此（其中 是物体表面在点处的外法向量方向方向余弦）则该小片所受液体压力的微元是为，于是 （其中是物体体积），所以浮力的方向铅直向上

31、，其大小等于这个物体所排开的液体的重量2计算曲面积分，其中是圆柱面 （）的外侧 解：作辅助曲面（下侧），（上侧），则（用奇偶性、对称性）3计算曲面积分，其中是： （1）球面的外侧； （2）椭球面的外侧解：（1） （2）由变量的对称性，于是 在曲面内作一个球面（外侧），则，其中椭球面内部，球面外部的公共部分4计算曲面积分，其中可微，是由圆锥面与球面及围成的立体表面外侧 解：用球面坐标系，则 5若函数有二阶连续偏导数，且满足，证明，其中是由闭曲面所围成的空间区域，是的外法线向量证明：设外法向量的方向余弦为，则 总习题十1填空题： （1）若为圆周，则曲线积分 ； （2）若是平行于轴的一段有向直线段，

32、则曲线积分 ； （3）在面内，若积分与路径无关，则 ； （4）若是由及三个坐标面围成区域的边界曲面，则积分 ； （5）若是介于，之间的抛物柱面的右侧，则对坐标的曲面积分 ， 解：（1），填： （2）设（起点，终点），则，所以 ，填： 或者由曲线积分定义，由是常数，则 ，所以 （3），由在面内积分与路径无关，则在面内恒有，即，得，填： （4），其中 ，在面上投影区域为； ，在面上投影区域为； ，在面上投影区域为； ，在面上投影区域为 根据曲面积分的性质，是曲面的面积，而的面积都是，而的面积为，所以，填： （5）将分成，其中（前侧），它们在面上的投影区域都为： ，所以 ； 而在面上的投影是一条曲线

33、，所以，填：，或者，对，则根据“换坐标公式”，得 2单项选择题： （1）设是上半圆从到（）的一段，则将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分是（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）（2）下列各曲线积分中，在面内沿任意闭路积分为零的是（ ）（A）； （B）； （C）； （D） （3）若在面内，表达式是某一个二元函数的全微分，且，则可微函数（ ）；（A）； （B）； （C）； （D） （4）设是上半球面，而是位于第一卦限部分，则与曲面积分不相等的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D） （5）若所涉及的偏导数都连续，则对坐标的曲面积分（ ） （A）； （B）； （C）； （D）解：（1

34、）选D，事实上：，曲线在任一点处的切向量，由于切向量与轴夹角的余弦，而曲线上，于是切向量，则，所以 （2）选B，事实上：要使面内沿任意闭路积分为零，必须满足在面内连续且相等而选项C、D中的本身不连续，当然偏导数也不连续，所以C、D都不正确；在选项A中，选项A也不正确；在选项D中，且它们在面内连续，所以选项B正确 （3）选B，事实上：，由，有，即，得，于是，根据，得，所以 （4）选A，事实上：根据奇偶性、对称性；再根据轮换性，所以，由此可见B、C、D选项都与相等，都不能选，只剩下选项A，而，所以选A （5）选C，事实上：设曲面，法向量，其方向余弦，于是，由两类积分的关系 3计算下列曲线积分：（1

35、），其中是以为顶点的三角形周界；（2），其中是星形线的一周； （3），其中是圆周（）； （4），其中是上从到的一段； （5），其中是有向闭折线，这里点依次为、 （6），其中是闭折线沿逆时针方向绕行一周 （7），其中是椭圆周按逆时针方向一周 （8），其中是平面 与柱面的交线，从周正向看去取逆时针方向解：（1）设，其中（），（），（），所以 （2）， （3）（方法1）将圆周改写为参数方程（），则，则（方法2），（由平面过球面的球心，所以圆周的半径为） （4） （5）（方法1），其中，起点，终点；，起点，终点；，起点，终点，所以 （方法2）应用斯托克斯公式，取为位于第一卦限的平面（上侧），则，于是

36、（6） （7），除原点外且连续，而原点恰在积分曲线所围的区域内，为此作一个小椭圆（按逆时针方向）将原点挖掉，则在外、内确定的区域内连续，可以用格林公式 （8）应用斯托克斯公式，取为位于柱面内的平面（上侧），则，所以4求值，使曲线积分的值最小，并求该最小值，其中是正弦曲线 上从到一段有向弧解：由，得唯一驻点（舍去），于是是极小值点，也是最小值点，所以当时积分值最小，且最小值为5证明在面内是某个二元函数的全微分，求出这个二元函数，并计算解：，在面内且它们连续，所以表达式在面内是某个二元函数的全微分 一般（其中为任意常数） 6设在平面上具有一阶连续偏导数，又曲线积分与路径无关，如果对任意实数有，求函

37、数解：，由，有，于是又， 由，有，该式两边同时对求导，得，即，所以7设函数在闭区域上有二阶连续偏导数，且分段光滑曲线是的边界，证明：，其中是沿的外法向上的方向导数，证明：设的切向量的单位向量为，则的外法向的单位向量为 ，于是 ， 所以8已知平面区域，为的正向边界，试证： 证明：（方法1）两边分别化为定积分， 左式 ， 右式 ， 所以，左式右式，即 （方法2）两边分别用格林公式， 左式， 右式，由区域关于直线对称，则，所以，9设是逆时针方向的圆周，函数在需要范围内连续且，证明不等式证明：由格林公式，由区域关于直线对称，则，所以10计算下列曲面积分： （1），其中是圆锥面被圆柱面所截得的有限部分

38、（2），其中是球面； （3），其中是圆锥面的上侧； （4），其中是由曲面及两平面，（）所围成立体的表面外侧； （5），其中函数连续，是平面位于第四卦限部分的上侧； （6），其中是的下侧解：（1），它在面上的投影区域为，且 由于曲面关于面对称及关于是奇函数，于是 （2）曲面，其中，它们在面上的投影区域都为，且都有， （3）（方法1）对，将曲面分为，其中（取前侧），（取后侧），它们在面上的投影区域都是，于是 对，将曲面分为，其中（右侧），（左侧），它们在面上的投影区域都是，于是 ，所以（方法2）作辅助面（下侧），则 （4）（方法1）设，其中（下侧），（上侧），它们在面上投影区域为：，它在面上投影是一条线，在面上投影区域为，于是 ， 为计算，将分成，其中（前侧），（后侧），于是 所以 （注：本题不满足高斯公式条件）（5）（上侧），它在面上投影区域为，利用“换坐标公式”，得（注：本题也不满足高斯公式条件，另外如果直接计算，抽象函数不好处理）（6）（方法1）利用高斯公式，补辅助面（上侧，），则 （方法2）利用“换坐标公式”，则11设是椭球面的上半部分，点在上，是在点的切平面，为原点到平面的距离，计算曲面积分解：椭球面在的切平面方程是，改写为原点到平面的距离 积分曲面，它在面上投影区域为，且，所以