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1、二次型的几个应用Some applications of quadratic form专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二 摘 要本文在对二次型性质研究的基础上, 介绍了半正定矩阵的性质, 并对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用.关键词: 二次型; 正定二次型; 正交矩阵; 不等式; 特征方程; 极值; 因式分解AbstractIn this paper, on the basis of the nature of the quadratic form, we describe the property of positive semi-definite matrix
2、quadratic and promote the theory of quadratic and then discuss the application of it.Keywords: quadratic form；positive semi-definite quadratic；orthogonal matrix；inequality；characteristic equation；principal minor；factorization.目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 二次型及其有关定义11.1 定义11.2 定理及其证明22.二次型的应用32.1 一般的元二次式的最
3、值的判定与求法32.2 元二次型的特征方程的求法72.3 应用举例82.4 利用半正定二次型的性质证明不等式92.5 二次型在因式分解中的应用13参考文献160 引言在数学中, 二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支及物理, 力学, 工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而下面将利用二次型的性质来求函数的最值. 并给出了半正定矩阵的性质及其证明, 最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题不等式的证明.关于二次型的一般理论,
4、可参看文献1-3，5-6, 一些专题研究可参看文献7-9. 1 二次型及其有关定义 在这一节, 我们首先回顾高等代数中关于二次型的一般理论. 设是一个数域, , 个文字的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次型, 简称二次型. 当为实数时, 称为实二次型. 当为复数时, 称为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即称为标准型. 在高等代数的教材中, 还有以下关于二次型理论的结果,1.1 定义定义1.1 二次型可唯一的表示成其中, , 为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称的秩为二次型的秩.定义1.2 设是一个数域, , 两组文字;的关系式称为由到
5、的一个线性替换. 用矩阵形式可写为,其中, 当时称线性替换是非退化的(或可逆的, 或满秩的).定义1.3 设是是数域上的矩阵, 如果存在数域上的可逆矩阵. 使, 则称与合同.定义1.4 设是元实二次型. 如果对中所有的都有, 就称是正定的, 如果中所有的都有, 就称是负定的, 如果对中所有的都有, 就称是半正定的, 如果对中所有的都有就称是半负定的.1.2 定理及其证明定理1.1 元实二次型是实对称矩阵, 可以经过变量的正交变换为正交阵), 化为, 这里是矩阵的全部特征值.定理1.2 设元实二次型, 则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.定理1.3 设为阶正定矩阵, 与是实向量,
6、 为实数, 则实函数当时, 取得最小值.证明 , 因正定, 所以存在(对称); 而, ,因此 = = =其中, 因正定, 故当且仅当时, 取最小值0, 从而当且仅当, 取得最小值.2.二次型的应用2.1 一般的元二次式的最值的判定与求法 一般的元二次多项式的形式为 (2.1.1)而（2.1.1）存在最值的充要条件为 (2.1.2)存在最值(上式中), 故只需要对(2.1.2)进行讨论.定理2.1 实元多项式(2.1.2), 它的矩阵为, 秩为, 对(2.1.2)作非退化的线性替换, , 其中,那么, (i) 当半正定时; 1 若, 则(2.1.2)存在最小值; 2 若, 一次项所含新变数均在平
7、方项中出现, 则(2.1.2)有最小值; 3 若, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现, 则(2.1.2)不存在最值. (ii) 当半负定时: 1 若, 则(2.1.2)存在最大值; 2 若, 一次项所含新变数均在平方项中出现, 则(2.1.2)有最大值; 3 若, 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现, 则(2.1.2)不存在最值.(iii)不定, 则(2.1.2)不存在最值.证明 (i) 令 , 则(2.1.2)改写为: (2.1.3)因半正定, 故存在可逆矩阵, 使, 对(3)作非退化线性替换, 变为 (2.1.4)其中, 而, 其中.(1) 若, , 这时(2.1.4)变成,
8、 .等号成立当且仅当时取得, 此时将代入得唯一一组的解, 此即取最值的点.(2) 若, 因正定, 故的秩等于它的正惯性指数, 即存在可逆矩阵, 使, 在非退化线性替换下, (2.1.4)式变为, . (2.1.5)若一次项所含新字母均在平方项中出现, 即至少有,(2.1.5)可变为个数的完全平方加一个常数, 故存在最小值.(3)一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现, 即中至少一个不为零, 不妨设, 此时(2.1.5)变为,. 令, 取绝对值很大的负值, 则上式的值会很小, 故不存在最小值; 又若取绝对值很大的正值, 则上式的值将会很大, 故不存在最大值. 因此不存在最值.(ii)半负定,
9、则半正定, 利用(i)可得(ii)的结论成立.(iii)不定, 则存在可逆矩阵, 使, 其中均不为零. 否则, 则半正定; 则半负定, 则都与不定矛盾. 这时(2.1.5)式变为,令, 而取任意的数, 可以知道上式的值大于任何给的正数, 故不存在最大值. 令, 而取任意大的数, 则上式的值小于任何预先给定的负数, 故不存在最小值.例 1 讨论是否有最值.解 将上式的矩阵写出, 对作合同变换得到, 它使主对角线上有一零, 故知, 而对角线上其余的非零数全是正的, 故知半正定矩阵, 是否存在极值还应看替换后的情形才能定. 作线性替换, 原多项式的二次齐次项部分变为, , 一次项部分为.所含字母均在
10、平方中出现, 属于定理(2.1.1)中的情况, 存在最小值. 对变换后的多项式配方, 得 故当时, 上式有最小值.将代入中, 当(为任意常数)时, 原式有最小值.例2 已知实数满足, 求的最大值和最小值.解 的矩阵为.,因此,特征值. 于是, 由定理可知, 在下的最大值为, 最小值为.2.2 元二次型的特征方程的求法定义2.11) 矩阵的阶子式: 在一个矩阵中任意选定行列, 位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的阶行列式, 称为的一个阶子式; 2) 矩阵的阶主子式: 就是指行指标和列指标相同的阶子式.定理2.2 设元二次型为 （2.2.1)则元二次型的特征方程是,其中是元二次
11、型的矩阵的一切阶主子式之和. 证明 根据行列式的性质, 将行列式拆成个行列式之和, 将其中的一个行列式设为B, 其余个行列式可依次有行列式的第列乘以-1代换的第列,行列式的第列和第列分别乘以代换B的第列和第列, 行列式的第、列分别乘以代换B的、列, 依次类推. 即+=,其中是元二次型(2.2.1)的矩阵的一切阶主子式之和. 定理证毕.2.3 应用举例例3 求三元二次型的特征方程.解 三元二次型的矩阵为, 根据上述定理可知, .例4 求四元二次型的特征方程.解 四元二次型的矩阵为,根据上述定理可知 ,.所以, 四元二次型的特征方程为.2.4 利用半正定二次型的性质证明不等式定理2.3 二次型半正
12、定的充分必要条件是它的标准型的所有系数都是非负的.证明 充分性 设. 若,则, 即二次型是半正定的. 必要性 若二次型是半正定的, 而对于某个有, 则令这时可以找到变量的一组适当值,使得则与此假设矛盾,所以.定理2.4 设实二次型, 若为实可逆方阵则半正定等价于半正定; 换句话说, 经过非退化线性变换后, 半正定的二次型仍然是半正定的.证明 由有, 并且易知, 于是, 对任意的, 则, 因此则半正定.反之, , 因此, .则半正定.定义2.2 形如子式的级子式称为矩阵的级主子式, 其中.定理2.5 实二次型=半正定的充要条件是矩阵的一切级主子式非负.证明 必要性 设二次型是半正定的, 则存在对
13、角矩阵. 其中是变二次型的标准型的变量变换矩阵, . 再由定理1知, . 因此, . 又已知其中, 同时, 若二次型是半正定的, 则所有二次型都是半正定的, 因此所有级主子式非负.充分性 已知的一切级主子式非负, 设为的级顺序主子式, 则对于任意正实数, 有 (2.4.1) = ()其中.由(2.4.1)式知, , 又, 所以矩阵的一切顺序主子式全都大于零, 所以矩阵是正定矩阵.设为的特征值, 则, 所以,所以, 是矩阵的特征值, 因为矩阵是正定矩阵, 所以, , 取为任意小的正数, 则, 再根据定理: 矩阵是半正定的充要条件是的特征值非负. 所以, 为半正定矩阵.2.4.1 利用二次型半正定
14、性证明不等式.其证明思路是: 首先构造二次型, 然后利用二次型半正定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为半正定, 从而得到不等式.例 5（不等式）设为任意实数, 则.证明 记因为对于任意, 都有, 故关于的二次型是半正定的.因而定理1知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即. 故得.例6 证明 证明 记, 其中将矩阵的第2,3,列分别加到第一列,再将第2,3, 行减去第1行,得, 于是的特征值为0, 由定理可知, 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得, 即结论得证.例7 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有.证明 记，其中对做初等行变换得: , 于是的特征值为0
15、, 1, , 从而得二次型是半正定的, 即对于任意实数, 得证.例8 设为阶半正定矩阵, 且, 证明.证明 设的全部特征值为, 则的全部特征值为. 因为为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵, 使得 由于为半正定矩阵, 且, 则是半正定的, 且其中至少有一个, 同时至少有一个等于零. 故, 结论得证. 以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型, 从而证明不等式. 使用这种方法简单, 方便.2.5 二次型在因式分解中的应用定理2.6 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是: 它的秩为2和符号差为0, 或秩等于1.证明 必要性 设1) 若两个一次多项式的系数成比例,
16、 即 不妨设, 令则, 即二次型的秩为1.2)若两个一次多项式的系数不成比例, 不妨设, 令则. 再令则, 故二次型的秩为2, 符号差为0.充分性1) 若的秩为1, 则经非退化线性替换使，其中. 故2) 若的秩为2, 符号差为零, 则可经非退化线性替换使其中, 均为的一次齐次多项式, 即故可表示成两个一次齐次多项式的乘积. 例9 多因式在上能否分解, 若能, 将其分解. 解 考虑二次型, 则的矩阵为,对施行合同变换, 求得可逆矩阵, 且.显然, 的秩为2且符号差为0, 由定理2.6知, 可以分解.经非退化线性替换, 化为. 由, 得, . 于是.故.例10 多项式在上能否分解? 如果能,将其分
17、解解 考虑二次型, 其矩阵为则秩, 由定理2.6知, 能在上分解, 则也能在上分解. 易得.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周教授表示衷心的感谢!参考文献1 北京大学数学系. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社, 1988.2 蒋尔雄等.线性代数M. 人民教育出版社, 1989.3 屠伯埙, 徐诚浩, 王芬. 高等代数M. 上海: 上海科技出版社, 1987. 351 352.4 刘诗雄. 高中数学竞赛辅导M. 西安: 陕西师范大学出版社, 2006.5 徐仲，陆全，张凯院. 高等代数M. 西安: 西北工业大学出版社, 2004. 3.6 张禾瑞、郝鈵新高等代数(第四版)M.
18、北京: 高等教育出版社，19997 吕风等编.高等数学在中学数学中的应用1000例M. 东北大学出版社.8 孙学波.基于正定二次型的一个不等式及其证明J. 鞍山科技大学学报. 2004. (4): 27.9 杨家骐, 王卿文. 高等代数在初等数学中的应用M. 济南:山东教育出版社, 1992. 12.10 Grafakos L, Lin L, Yang D Vector-valued singular integrals and maximal functions on spaces of homogeneous type.Math Scand.in press.11 Mayer Y.Coifmanr.wavelets: Calderon-zygmunal and Multilinear operators. Cambridge : Cambridge University Press. 1997.
