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1、教育硕士专业学位论文基于高三数学习题教学有效性的研究林志展 闽 南 师 范 大 学二一三年六月学校代码：10402 学 号：2011021002分 类 号： 密 级：教育硕士专业学位论文基于高三数学习题教学有效性的研究学位申请人 : 林志展指 导 教 师: 林梦雷教授学 位 类 别: 教育硕士专业学位 学 科 专 业: 学科教学（数学）授 予 单 位: 闽南师范大学答 辩 日 期: 二一三年六月 CODE：10402 NO.：2011021002U.D.C.： Classified Index： A Dissertation for the Degree of EducationThe Res
2、earch on the Effectiveness of the Mathematics Exercises Teaching in Senior ThreeCandidate：Li n ZhizhanSupervisor：Prof.Meng Lei-linSpecialty：Subject teaching (Mathematics)Academic Degree Applied for：Master of EducationUniversity：Minnan Normal UniversityDate of Oral Examination：May，2013学位论文原创性声明和版权使用授
3、权书闽 南 师 范 大 学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担作者签名：日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权闽南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制
4、手段保存和汇编本学位论文本学位论文属于1、保密，在_年解密后适用本授权书2、不保密(请在以上相应方框内打“”)作者签名：日期： 年 月 日导师签名：日期： 年 月 日摘要本文首先指出高三数学习题教学中普遍存在的两个问题：选题随意、目的性不强；学生“懂而不会”其次，本文结合建构主义理论、认知心理学以及高中数学课程标准基本理念对上述存在的问题进行了分析，并提出了如下的一些建议：帮助学生建立良好的知识结构与问题表征；解法要追求自然；暴露师生解题时的思维过程；解题后要引导学生进行反思另外提出了习题选择应遵循的原则：典型性原则、新颖性原则、梯度性原则、过程性原则、关联性原则、发散性原则最后结合上述提出的
5、习题教学的有效性原则及选题原则给出了如何提高习题教学有效性的两个案例，供教师参考实践证明，本文提出的策略在一定程度上提高了习题教学的有效性，为广大教师的教学提供了具有操作性的建议关键词：有效性 习题教学 元认知 思维过程AbstractThis paper points out two ubiquitous problems in the mathematics exercises teaching in Senior Three at the beginning, that is, the randomness in selecting exercises and the inability
6、 to do the exercise while students understand the principles. Then, constructivism, cognitive psychology and curriculum standards of high school mathematics are combined together in this paper to analyse these two problems and to put forward the following suggestions: first, help students form a goo
7、d knowledge structure and problem representative; second, seek the solutions naturally; third, expose both teachers and students thinking process; fourth, lead students to reflect on what they have just finished. Besides, it also explains the rules for selecting exercises: typicality, novelty, diver
8、sity, procedure, relevance and divergence. Finally, based on what is mentioned above, this paper offers two examples for reference and it has been proved that the strategies proposed helps to improve the exercises teaching greatly, thus providing teachers with valuable suggestions.Key Words： effecti
9、veness, exercises teaching, metacognition, thinking process目录中文摘要IAbstract III第1章 引言 11.1 问题提出11.2 研究目的与意义11.3有效性概念的界定与判定标准21.4研究的主要问题31.5研究的理论基础 31.6研究的方法 6第2章提高解题教学有效性的一些措施与建议 72.1帮助学生建立良好的知识结构与表征 72.2解法要追求自然 82.3暴露师生解题的思维过程 92.4解题的“再回首” 12第3章 习题选择有效性应遵循的原则 173.1典型性原则173.2新颖性原则183.3梯度性原则193.4过程性原则
10、203.5关联性原则203.6发散性原则21第4章 基于高三习题教学有效性的实践 234.1课例1：一道不等式的证明 234.2课例2：直线与椭圆的位置关系 28第5章 结束语33参考文献 35致谢 37第1章 引言1.1 问题提出在高三习题教学中，一些教师在选题上随意，目的不强，凭自己的兴趣爱好，感觉这题不错就选择这一题，采用题海战术，过分地注重量而忽视质，不研究各类习题的功能和作用，虽然题做了很多，但收效不大另外，在习题教学中，常常存在着这样的困惑：课前精心的挑选题目，课堂上采用变式教学、一题多解，按照课前预设的环节对习题讲解，学生也听得入迷；可是课后经常会有一些学生对老师说：“老师我能听
11、懂你上课所讲的内容，也能看懂课本上的例题，可是自己独立解题时常感不知从何下手”，另外，我也碰到这样一部分学生，只要老师稍作提示，他们能很快找到解题思路，但离开老师的指导就不懂如何思考以至于我们老师经常对一些学生脱口而出：“我讲了N遍你怎么还不会”这使得我不得不去思考这样的一个问题，那就是出现这样的情况是学生的问题还是我们老师自身的解题教学缺少一些环节？实际上，我们当前的解题教学大都是这样一种模式：复习知识典型例题讲解总结方法变式练习。在这种模式下，不少老师在备课时花大量时间找资料、选习题、归类，然后把每类题对应的方法详细讲给学生听并要求学生“对号入座”地解题；另外就是，教师为引导而引导，有的老
12、师精心设计了很多问题，层层深入地引导学生一步一步地按照老师设计好的思路来解题.这些做法有利于增加学生的知识储备但不利于学生独立思考能力的形成，所以会有部分学生能听懂但不能独立解题从元认知的角度看，这种解题模式不能帮助学生认清自身认知结构的优点和缺点，学生不清楚自己具备哪些知识还缺哪些知识另外，也不能帮助学生认识解题的监控过程，不利于学生解题监控能力的培养笔者在平时的解题教学中也存在这样的缺陷与本课题相关的研究，中学数学界一直没有停止过，在近期逐渐趋热有的侧重于有效性教学的策略研究，有的侧重于有效学习方式的研究，特别是郑毓信的文章“数学教学的有效性与开放性”，从新课程实施以来数学教学有效性研究的
13、兴起，什么是有效的数学教学，数学教学有效性研究需注意的问题等角度，进行了阐述和剖析这些研究对本课题有着积极的指导意义从中数的杂志看，几乎每期的每种杂志都有一篇关于这方面的文章，其中作者大都是中学老师，但也有一些大学的老师等等大学老师的研究比较偏重于理论，而中学老师的研究更多侧重于教学实践，大部分是自己的经验总结，缺少理论依据至于怎么将理论与实践结合起来的文章比较少见1.2 研究目的与研究意义高三数学复习是高中数学教学的一个重要环节它是在学完中学数学的全部内容之后进行的一次系统地、全面地回顾与整理，以达到将各部分知识进行有机的整合、构建数学知识的结构体系形成整体性的数学认知框架，进一步完善学生的
14、数学认知结构，提高学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力而习题教学作为教学过程的重要组成部分，其重要性不言而喻所以如何提高高三数学复习中习题教学的有效性是值得我们深思的一个问题本文的研究对于提高当前的课堂的效率，达到“增效减负”，有着重要的现实意义1.3有效性概念的界定及判定标准考量学生有效学习的三个重要指标时间、结果和体验学习时间指学习特定内容所花费的时间，学习特定内容所花费的时间越少，效率就越高节约学习时间，提高学习效率，首先要求把时间用在学习上，不能把时间浪费在非学习上；其次要提高单位时间的学习质量学习结果，指学生经过学习产生的变化、获得的进步和取得的成绩，这是有效性的核心指标每节课都
15、应该让学生有实实在在的收获，它表现为从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会，从不能到能的变化上学习结果不仅表现在双基上，而且表现在智能上，特别是学习方法的掌握以及思维方式的发展学习体验指的是学生的学习感受，即伴随学习活动发生的心理体验这是被传统教学所忽视的考量有效性的一个向度教学过程应该成为学生的一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验，这是有效性的灵魂，学生越来越爱学习是学习有效性的内在保证这三个指标具有内在的统一性，是相互关联、相互制约的学习时间是前提，投入一定的时间并提高学习效率，这是增加学习结果和强化学习体验（积极）的基础；学习结果是关键，学生的学业进步和学力提升不仅能促进学习效率的提高，也能
16、增进学生学习的积极体验；学习体验是灵魂，积极的体验和态度会促使学生乐于学习，并提高学习的效率和结果实际上，学习体验本身也是重要的学习结果总之，考量学生学习的有效性必须综合考虑这三个要素-提高学习效率、增进学习结果、强化学习体验从教师的角度来讲，教学的有效性依赖于教师有效的“教”，并克服无效的“教”“有效的教”指的是促进学生“学”的“教”，它表现在以下两个方面：一是直接的促进，即通过教师的教，学生学得更多、更快、更好、更深；二是间接促进，即通过教师的教，学生学会了学习，掌握了学习方法，提升了学习能力，达到了不需要教直接促进是立竿见影的，间接促进是着眼于长远的相对而言，前者短效，后者长效，这两种效
17、果要同时兼顾“无效的教”指的是阻碍学生“学”的“教”，它也有两种表现：一是显性的，教师不得要领、冷漠无情、枯燥乏味地教，使学生失去“学”的兴趣和热情；二是隐性的，教师照本宣科地讲授学生自己通过阅读便能看懂的课本知识，这种教剥夺了学生独立学习的机会，从而阻碍学生学习能力的发展和学习积极性的提升从教育学专业角度说，有效性指通过课堂教学学生所获得的发展第一，着眼于人的发展的教学要根据各学科的特殊性和学生的原有基础有所侧重就教学而言，一方面要注重挖掘教材中蕴含的静态的知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等内容，另一方面要注重开发课堂教学中生成的知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等内容第二，只
18、有针对最近发展区的教学，才能促进学生的发展；停留在现有发展区的教学，只能阻碍学生的发展真正的发展过程就是不断把最近发展区转化为现有发展区的过程第三，新课程倡导内在发展，如在教学任务和目标的定位上，强调通过课程知识的学习培养学生的怀疑意识、批判意识和探究意识第四，新课程背景下的课堂教学有效性不仅仅要让学生学到有利于自己发展的知识与技能，获得影响今后发展的学习方法和价值观念，而且要注意让学生在课堂里拥有创造的主动权，能充分根据自己的个性、学生与社会发展的需求来发展自己，这是新课程背景下课堂教学有效性的新目标1.4研究的主要问题因此，本人选定高三数学习题教学有效性的研究作为研究课题，主要研究的主要有
19、以下三大问题：（1）如何提高解题教学有效性；（2）习题选择应遵循哪些原则；（3）习题教学有效性的实践研究1.4研究的理论基础141建构主义理论该理论对发展和完善我国的课程和教学理论、指导和促进我国的课堂教学改革具有重要的意义建构主义教学理论认为，人的知识不是被动地接受的，而是通过自己的经验主动地建构，指出教学应当力求使学生自己进行知识的建构，而不是要求他们复制知识强调以学生为中心，强调学生是学习活动不可替代的主体，在学习活动中，学生具有主动选择、发现、思考、探究、应答、质疑的需要与可能142认知心理学从认知心理学角度分析，数学问题的解答，是在问题空间中寻找一条由问题初始状态到目标状态的通路，即
20、一个数学问题由初始状态A，目标状态B和解题规划组成解决数学问题，就是从初始状态出发，按照某些规则，经过一系列的转化，最后达到目标状态的过程，即AA1A2An B，其中A1， A2 ，An称为中间状态，“”表示依据法则所进行的操作(称为算子)由于从目标状态A出发，依据某些法则所进行的操作所得到的中间状态可能不仅为A1，还可能得到其他中间状态A11，A12，同样，由这些状态又可能推出若干中间状态，因而就会形成一种复杂的网络体系认知心理学把在解决一个问题过程中所达到的全部中间状态以及全部算子统称为问题空间或状态空间问题解决就是对问题空间的搜索，以找到一条从问题初始状态到达目标状态的通路数学问题解决就
21、是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验解题的认知过程是在元认知调控下，解题者对问题进行表征，对问题进行模式识别，然后将解题图式提取、迁移，进而达到目标状态的信息加工行为解决数学问题分为理解问题、选择算子、应用算子、结果评价4个阶段与此对应，其中认知过程分别为问题表征、模式识别、知识迁移、思维监控（1）问题表征问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程问题表征是一种过程，即对问题的理解和内化，也是问题理解的一种结果，
22、即问题在头脑中的呈现方式问题表征的质量的高低将会直接影响到问题的解决面对问题时，个体最重要的是先理解外部呈现的材料，理解过程实际上就是个体用自己独特的方式重新组织这些材料的过程，目的是使材料中的重要信息以某种逻辑结构联系起来在良好的心理表征的基础上，个体才能够准确地筛选信息，并选择适当的策略组织信息以解决问题所以，正确的问题表征是解决问题的必要前提，错误的问题表征中是不可能求得问题的解决（2）模式识别任何解题策略的产生都离不开主体已有的数学概念、法则、定理、由基本题型形成的“知识块”及解题基本方法等，离不开主体的知识结构与同题情境的相互作用，一个没有地质知识的人看一块岩石必定看不出什么东西一个
23、没有适当数学知识基础的人，接触一个数学习题，当然不可能产生解题策略 主体接触到数学习题之后，首先辨别题目的类型，以便与已有经验知识发生联系，这种解题策略便是模式识别模式识别是解数学习题时广泛采用的策略，不同的数学习题与不同的模式相联系，同一个数学习题也可能与不同的模式相联系，模式可以理解为知识结构，是内化到头脑中的符号(表象、语言等)形式，也就是皮亚杰所说的狭义的认识图式“题组归类”，“突出基本图形”都是教学中强化模式识别策略训练的做法现代认知心理学的研究成果已经清楚地表明，某个专家他能很快地通过直觉找出在某一情景下解决问题的策略，是因为他具备迅速地把记忆中原有的知识、经验检索出来的能力，西蒙
24、认为，这种情形就好像在百科全书中，如果我们把索引找对的话，我们就能从索引找对那个内容因此专家把这一类的知识都存贮在百科全书中，即长时记忆中如果他很快认出来这个问题是属于哪一类的，那么他很快地就得出答案了拉金等人也认为专家解决问题是要依靠丰富的知识，但这些知识必须有大量的模式作为索引（3）元认知元认知，就是对认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对思维和学习活动的知识和控制波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本，良好的组织使得所提供的知识易于用上，这可能比知识广泛更为重要”波利亚强调了解题认知结构对解题的重要性而数学的解题认知结构由解题
25、知识结构、思维结构和解题元认知结构组成汤服成等研究者通过研究表明：元认知是影响数学问题解决的重要因素，具有修正数学解题目标、激活和重组数学解题策略、强化解题者在数学解题中的主体地位等作用郑雅允指出：元认知在数学解题过程中就像一双无形的手指点着学生每一步应该如何进行，是正确解决问题的向导，在整个解题过程中起着潜移默化的引导作用，影响着思维，元认知的监控决定着解题的过程，而解题中的每一步都提醒和反映着元认知监控作者认为，解题者要顺利解决一个数学问题，必须在解题过程中随时对自己的思维过程加以监控、评价和调整，数学的解题过程始终有数学元认知的参与，因此数学元认知，对解题的顺利进行具有重要的影响143高
26、中数学课程标准理念（1）构建共同基础，提供发展平台；（2）提供多样课程，适应个性选择；（3）倡导积极主动、勇于探索的学习方式；（4）注重提高学生的数学思维能力；（5）发展学生的数学应用意识；（6）与时俱进地认识“双基”；（7）强调本质，注意适度形式化；（8）体现数学的文化价值；（9）注重信息技术与数学课程的整合；（10）建立合理、科学的评价体系15研究的方法（1）查阅资料，收集材料，对习题的选择与教学有效性研究有关问题的国内现状进行调查与研究；（2）收集有关文献，对文献进行整理、研究；（3）在理论研究和构想的基础上，对教学资源进行开发，设计具体的教学案例；（4）在教学实践中，将构想及开发的案例
27、进行实施；（5）通过访谈，了解学生的学习情况第2章 提高解题教学的有效性的措施与建议下面结合第1章中的理论基础，对教学存在的问题进行分析，且对如何提高解题教学的有效性提出一些措施与建议2.1帮助学生建立良好的知识结构与表征按照认知理论的观点，问题解决的主要策略是模式识别，而模式识别的前提是知识的良好组织波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更重要至少在有些情况下，知识太多反而成了累赘，它可能会妨碍解题者去看出一条简单的途径，而良好的组织则有利无弊；把图书馆和工具箱里的工具布置得很实用对工作是会有帮助的，然而把
28、你记忆里的知识安放得更有条不紊，则对你更有帮助，因为更值得你去关心为此，我们应当把过去解过的具有相同类型未知量得问题和过去证明过的具有相同结论的定理设法“存储在一起”案例 在高三复习中，讲到直线的斜率这个概念时，做了如下的设计：T：直线的斜率是怎么定义的呢？S：直线倾斜角的正切值，叫做直线的斜率,即T：若已知直线上的两点、，那么该直线斜率的又可以怎么表示？S：，T：回答的很好，另外若该直线为函数图象在点处切线呢？S：，通过上面师生的一问一答，把必修和选修中有关斜率的问题串联起来，构成一个良好的知识结构后面我布置了如下的两道试题：若点在曲线上移动，求在点处切线的倾斜角的取值范围 设点是曲线上一动
29、点，求在点处切线的倾斜角的取值范围 学生基本上都能够顺利地做出这道题2.2解法要追求自然从教育学专业角度说，只有针对最近发展区的教学，才能促进学生的发展；停留在现有发展区的教学，只能阻碍学生的发展真正的发展过程就是不断把最近发展区转化为现有发展区的过程章建跃博士在一篇文章中讲到：“课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返”但解题教学也不能靠巧解、简解来打动学生，否则即使成功打动学生，他们也仅停留在“欣赏”层面而已，不会产生真正心领神会的心灵共鸣，最终还是“懂而不会”我认为自然的解法就是从题目条件出发，
30、每一步跨度不大，容易想到，易于理解不过判断一个解法是否自然，不同的人可能看法不一样因为解法自然与否，和解题者本身知识素养有很大关系，比如掌握案例多少，联想能力，灵活运用能力等等，难以一概而论就好比“显然易见”一样，在你看来是显然的，可能别人要想半天所以，在高三的习题教学中，不是仅仅以解出问题或者使用新奇另类的解出问题为目标，而是要充分了解学生现有的水平，从学生的实际出发，自觉进行规律性的探索，力求通过一个题的教学使学生获得解决一类题的能力案例 （2011年浙江高考题）已知R，设关于的不等式的解集为A（）略；（）若A=R，求的取值范围命题组给出的解法：当时，原不等式成立；当时，解得，或，所以，或
31、，解得，或；综上，的取值范围为这种解法对大部分学生来说，像是魔术师帽子里冒出的一只兔子，估计给学生讲完之后，过一阵子就忘了笔者的方法是：依题意得的不等式的解集是R，联想到解含绝对值不等式的方法是，分类讨论，去绝对值；但是由于这道题中的与的大小关系不明确，若讨论，要分很多种情况，较繁琐构造函数来求解；令，分别作出它们的图象，要使原不等式的解集为R函数的图象在函数的图象的上方另外有些解法虽然是基本，但学生掌握还是不好，就需要教师要“与生俱进”，改进解法例如，在三角恒等变换的训练中，经常碰到下列一类”给值求值”问题：已知，且为锐角，求极大部分教师（包括笔者）都会采用下列得意的教学对策：不直接告诉学生
32、将目标角配凑为，而是让学生先独立思考此时，学生通常会把式子展开化为，结合，联立方程组求解由于过程计算量大，只有少数学生能够正确得出答案面对这样的结果，向学生介绍角变换的技巧，从而快速的得出答案在学生惊讶又兴奋的同学，教师会跟进补充一组变式题，已知锐角、满足，求的值这时，学生会模仿着顺利地解决问题，在学生尝到甜头后，教师会进一步小结提升：常见的角的变换有，等等但是后来在一次考试中，有这样一道题：设为锐角，若，则的值为 从阅卷的情况上看，学生对此题的得分率很低，面对如此糟糕的结果，此时教师就抱怨：这个问题我们之前课堂上已经讲了遍了，为什么学生还是不会做呢？还是经常错呢？虽然在上述案例的教学中，较之
33、将“变角”技巧强行灌输给学生已改进不少，至少能让学生先暴露自己的思维，然后再展开教学，但为什么学生初始阶段能较顺畅地运用技巧，而时间一长，就想不起来呢？后来经过想想应该是：“变角”的技巧掩盖了问题的本质，导致学生的懂仅停留在懂操作，浑然不知深层次的是什么与为什么笔者在后来的教学中，为了突出该问题的本质，对解法做了如下的修改：令，则，且为锐角，的值于是原问题就化为，设为锐角，若，求的值这样，问题就变成了学生最熟悉不过的问题了后来的几次考试中，碰到类似的问题，学生基本上都能正确的求解总之，解法没有最好，只有更好2.3 暴露师生解题的思维过程数学课程标准指出：“数学教学中，注重提高学生的数学思维能力
34、，发展思维能力是培养能力的核心。”数学的学习过程不仅是知识的接收、储存和应用的过程，更重要的是思维的训练和发展过程。思维的训练和发展是以暴露思维过程为前提的，是在暴露的过程中得到锤炼和提高的，所以在教学活动中，师生双方都必须充分暴露思维过程。2.3.1合理展示教师的思维过程怎么解，为什么这么解学生的思维往往是在模仿教师的思维中逐渐形成的，所以教师在传授知识时应注意思维的“显化”教师要设法使学生看到，面对一个新问题，自己是怎样寻求解决思路的？其依据是什么？特别是在思路受阻后是如何调整思路的？为什么这样调整？等等千万不要给学生造成这样的错觉：老师很神，无论问题多难都能迎刃而解要让学生在跟随教师的思
35、维过程中学会思维案例 已知二次函数的图象过点，且（，（）若数列满足，且，求数列的通项公式；（）对于（）中的数列，设其前项的和为，求证：（）略；T：（）由（）可知，类比将，则 ，说明我们将放缩的太大了， 所 以我们应该要修正我们的这个过程：，则通过上面这样一个老师的思维过程，使学生懂得老师是怎么思考问题的2.3.2充分展示学生的思维过程-理解学生的解题困境发展学生的思维、提高学生的综合素质是数学教学的目的之一教学中应给学生充分暴露和展示思维过程的机会，只有这样才能及时地发现学生的思维“闪光点”和存在的问题，并肯定正确、矫正错误，通过展示学生在练习或考试中的错误思维，让学生在分析他人的思维、剖析他
36、人的思路的过程中，找到错误的根源，明辨是非，有效地杜绝类似错误的发生，从而保证数学学习优质高效传统教学中的口头提问、调板板演等都是展示学生思维的好方法，特别是随着教学改革的不断深入，课堂上的合作学习、小组讨论与交流、学生提问、现代媒体技术的应用等，都为充分暴露和展示学生思维提供了十分有利的条件教学中应注意发挥它们在展示学生思维过程中的作用案例 在排列组合这一部分的学习中，由于算法的多样性，充分暴露学生的思维过程是有好处的题：有名同学到个服务台排队还书，有且只有一个服务台没有这名同学还书的排队有多少种？S1：第一步，从名读者中选出个“捆绑”在一起，视为个“读者”，因为有排队的先后，所以有种方法；
37、第二步，从个服务台中取定个，将以上的“个读者”依次排列在这个服务台，共有种方法根据分步计数原理，一共有种方法有没有同学还有其他的想法呢？S2：有且只有一个服务台没有这名同学还书，有三个服务台至少有一名同学还书第一步：从四个服务台中选出3个，共有种方法；第二步，从4名学生中选出3名排在第一步选出的3个服务台，共有种方法；第三步，将剩下的一名同学排在选出的3个服务台，共有种方法；根据分步计数原理，一共有种方法意识到生2的这种解法有局限性，所以我对题目做了变式，有4个不同的小球放入4个不同的盒子中（小球全部放入），恰好有一个空盒子，则有多少种不同的放法？请同学对比，这样学生的思维就充分暴露出来了在高
38、三总复习中，常常要进行难度较大、灵活性强的综合题演练与评讲，其目的在于，强化学生对核心知识与方法的综合运用，加深理解，优化知识结构，从而进一步提高灵活解题的能力案例 下面以一道高考题为例，说明教学中如何充分展示学生的思维过程在导数在研究含参不等式恒成立应用中，笔者课前给同学们先布置了如下的一道题目，2010年新课标全国卷理科21题：设函数，（）若，求的单调区间；（）若当时，求的取值范围T：上次课，给同学们布置了如下得思考题，同学们完成的怎么样呢？请一些同学说说你的想法S1：通过分离参数，把已知条件转化为，当时，恒成立进而构造函数，求函数在上的最小值为了求函数的最小值，我们要研究函数的单调性，当
39、时，分母是大于，分子的符号就不知如何判断了T：这位同学分析的不错，老师一开始也是这么想的现在我们的问题的在于如何判断，在的符号如果我们能够知道什么，就可以知道的的情况呢？S2：知道的单调性，就可以了T：没错，那么下面没算出来的同学，自己动笔算一算看S3：，对任意的成立，知在递增，则对任意的成立，所以在，则对任意的成立，所以在上递增，则这时这位学生又陷入了困境就是当时，没有意义T：那么应该怎么办呢？S4：直接构造函数，通过研究的单调性求得最小值通过上面师生共同讨论，使师生思维充分暴露，取得了很好的教学效果2.4解题的“再回首”-谈如何引导学生进行反思著名数学教育家弗赖登塔尔说过：反思是数学思维活
40、动的核心动力，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平著名数学家波利亚指出：数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思反思是认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式，是元认知理论的一种具体体现。反思活动进行的深度和广度，能反映自我意识、自我调节的强弱。在反思过程中，不但是元认知能力可以得到实际的锻炼和提高，而且通过反思后的总结提高可以使元认知理论不断得到补充、丰富、完善和发展。所以在习题教学中要特别注重引导学生进行反思，使学生养成反思的习惯，使这种外部行为逐步转化为学生的内部行为那么，在实际教学中又如何引导学生进行反思呢？再回首一：反思解题过程本
41、身在解完一道题后有必要反思解答有无漏洞，有没有忽视一些隐含条件，逻辑上是否严密等等这样的反思可以提高学生对相关知识理解的层次，提高学生思维的严谨性、批判性，以达到知错、改错、防错之功效今后应该如何思考此类问题？通过反省，可以帮助学生提炼出解决此类问题的注意点，引领学生在解决问题的过程中不断总结经验，提高分析问题和解决问题的能力案例 （1）在立体几何中求平面的法向量坐标时，经常会犯类似如下的错误：，是平面的一个法向量，则，取，则，则有时候，一不留神就会犯上面的错误，怎么避免呢？其实，我们只需将与和求数量积看结果会不会都等于0，如果有一个不为0，马上就应该检查看哪里出错了类似的还有数列求和，解含绝
42、对值不等式问题（2）已知直线，椭圆，设直线与椭圆相交于椭圆、两点，设，设直线，是否存在使得与的距离等于？若存在，请写出直线的一般方程，不存在，请说明理由；有些同学看完这道题目说这还不容易，由两条平行线的距离公式可知，即所以存在直线符合题意其实同学们漏了考虑，因为直线与椭圆相交，而上述，所以这样的直线是不存在的（3）已知双曲线，、是左右焦点，右支上存在一点满足，求双曲线离心率的范围许多同学没有注意到题目中的隐含条件，而导致结果错误若我们同学能够不急于求成，花点时间检查下题目的过程是否完整，我想上面的情况是完全可以避免的，表面上看起来是比别人多花了点时间，但实际上效益是比别人高的，何乐而不为呢！再
43、回首二：反思新解法“一题多解”是培养学生思维能力的一种行之有效的手段，它对于发展学生的智力，开阔解题思路非常有益解决了一个问题后，不要急于进入下一题，要引导学生反思所运用的解题策略，探索新的解题思路，培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性案例 中，为锐角，点是外接圆的圆心，则的取值范围是 （2013年厦门市质检）S1：，所以，又因为为锐角，由图象易知，则，所以；T：这位同学是运用数量积的定义，即等于的长度与在的方向上的投影的乘积来解题另外，同学们能不能回顾下之前求解数量积问题的方法还有哪些？S2：选定基底，把，分别用基底，表示，即，则 ；T：你能不能举一个具体的例子来说明S2：之前单元考的一道题目，在中，在边上，且，,，则 T：很好，余弦定理的向量法证明也是采用上面的方法，那还有没有呢？S3：又若图形中有直角，我们可以通过建系写出与的坐标，即，则T：能否举个之前做过的的例子？S4：在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 （2012年江苏的高考题）T：上面的另外两种思路，能不能用来解决该题呢？最后，经过师生的共同努力，得到了如下的两种不同的解法解2：又，所以=，
