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1、 分类号 O123 陕西师范大学学士学位论文圆锥曲线关于几种特殊弦的探究 作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 杜 丽 莉 作 者 姓 名 李 洪 涛 专 业、班 级 数学与应用数学专业08级4班提 交 时 间 二O一二年五月 圆锥曲线关于几种特殊弦的探究李洪涛(数学与信息科学学院2008级4班)指导教师 杜丽莉教授摘 要: 圆锥曲线中的焦点弦、直角弦、中点弦是几个非常重要的几何量, 是各类考试的重点和热点, 常考不衰, 角度常变通常可以利用圆锥曲线的统一定义或焦半径公式求解,但一般由于运算量较大,过程较复杂, 容易出错, 导致丢分为此, 为了更好地解决此类问题,提高解题效率,
2、本文首先对焦点弦和直角弦给出了几个定理及推论，并给以了证明，其次对中点弦常考的题型给出了几类求解的通法，最后结合近年的高考试题对定理加以运用关键词: 焦点弦; 直角弦; 中点弦; 圆锥曲线Conic curve about several special string inquiryLI Hong-tao(Class 4, Grade 2008, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor DU Li-liAbstract:Inthestudyofconics,focalpointchord,rightan
3、glechordandmidpointchord arethreeimportantgeometricsenses.heyarethemainandheatedtopicswhichconstantlyappearinvariousformsinallkindsofexams.Ingeneral,thesequestionscanbeansweredbytheunifieddefinitionofconicortheformulaoffocalradius,butthemassarithmeticandthecomplexprocessoftenleadtostudentserrorsand
4、loss of scores.In order to work out a better solution and improve the efficiency of solving such problems,the following article provides some geometrical theorems and extrapolations of focalpointchordaswellasrightanglechordandtheproofofthem,inaddition,itoffersseveraluniversalwaysofansweringthehighfr
5、equentquestionsonmidpointchord,finally,it puts the theorems into practice according to the questions of CEE(college entrance examination)in recent yearsKey words: focalpointchord; ,rightanglechord; midpointchord; conics 圆锥曲线中的焦点弦、直角弦、中点弦是几个非常重要的几何量, 是各类考试的重点和热点, 常考不衰, 角度常变.通常可以利用圆锥曲线的统一定义或焦半径公式求解,但一
6、般由于运算量较大,过程较复杂, 容易出错, 导致丢分.为此, 为了更好地解决这个问题,提高解题效率, 下面介绍几个定理以及简单的通法1.1 焦点弦经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫焦点弦由于直线经常和圆锥曲线连在一起考察，而焦点弦有许多重要的几何性质，所以成为近年考试的热点1.1.1 焦点弦相关定理的阐述以及证明定理1 曲线的焦点作倾斜角为的直线，交圆锥曲线于两点，若离心率为，焦点到相应准线的距离为，则焦半径，焦点弦长 定理可以利用直线的参数方程去进行证明，也可以用极坐标法去证明，还可以利用圆锥曲线统一定义和几何性质去证明，这里利用极坐标法去证明证明：如图(1)建立坐标系， 图(1) 图(
7、2)设圆锥曲线上任一点，由定义，因为，所以，整理得： 称为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程（注此时的为焦半径于x轴正半轴的夹角）1) 当表示椭圆2) 当表示抛物线3) 当表示双曲线右支如图(2)由得： 综合得： 推论1 若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有两焦半径的倒数之和为一个定值，即：定理2 已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的倾斜角为，则曲线的离心率满足等式：其实从本质上讲可以利用定理1证明，这里不再阐述，下面给出另一种证法，以椭圆为例 证明：如图(3)，弦过椭圆的左焦点，左准线为，由可设，()，当直线的倾斜角为锐角时，如图()，显然，分别过两点作、，垂足分别为，
8、过点作，由椭圆的第二定义可得：，在中，故，如果点、的位置互换，则，则有当直线的倾斜角为钝角时，如图（），显然，同理在中，可得，故，如果点、位置互换，则，则有 当直线的倾斜角为直角时，显然且，等式成立；当直线的倾斜角时，弦为椭圆长轴，易得原等式也成立综上，对以椭圆，等式恒成立证毕当圆锥曲线为双曲线（如图4）时，同理可以证明等式成立；当曲线为抛物线（如图5）时，离心率，等式简化为（其中）总之，对于任意圆锥曲线，其焦点弦所在直线的倾斜角为，焦点分对应弦的比值（），总有等式成立，它将三个看似没有关联的量有机地结合在一起，显得如此优美、和谐，体现了数学的魅力由于在解决具体的圆锥曲线问题时，通常遇到的焦点
9、弦的斜率是存在且不为0，所以，根据直线倾斜角和斜率之间的关系，不难得出：推论1 已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的斜率为（），则曲线的离心率满足等式当圆锥曲线的焦点在轴上时，同理还可得：推论2 已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，若直线的倾斜角为，斜率为（），则曲线的离心率满足等式，1.1.2 焦点弦相关定理及推论在高考题中的运用例1(2007年重庆)经过双曲线的右焦点作倾斜角的直线，交双曲线两点，求的值分析：本题恰好为过焦点的直线问题，本质上属于焦点弦问题，因而可以直接利用定理1的结论进行求解，如果用一般方法求解相当于把定理1推导一遍，计算
10、和过程显得过于繁琐解：因为，则由定理1得：例2（2008年宁夏）经过椭圆的右焦点作斜率为2的直线交椭圆于两点，是坐标原点，则的面积 分析：本题求的面积，利用公式，关键问题只需求出的长度和，为焦点弦可以直接利用定理1中求解，利用点到直线的距离公式求解解：因为，又，则，所以由定理1得，又知直线的方程为，它到点的距离为，所以的面积例3设椭圆两顶点、，若，过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的线段长为椭圆长轴长的，求椭圆方程分析：本题求椭圆方程，关键需要求出，的值，两个未知数需要建立两个方程，其中一个方程很明显可得，对于第二个方程可以利用定理1中焦点弦长公式建立解：设直线的倾斜角，则，因为，所以，又，
11、所以。由定理1，有，即：，整理得：，所以有，解得：，即所求方程为：例4（2008年全国卷）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点设，则与的比值等于 分析：本题求两个焦半径的比值，所以根据定理2，求得，即为所求解：焦点弦所在直线的倾斜角为，则由定理2可得，所以，即：例5（2009年全国卷）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为 （ ） A B C D 分析：此题条件完全符合定理2的推论1，所以直接利用求解解：由定理2的推论1得，故选A例6（2010全国卷文理）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 分析：本题为焦点弦问题，
12、由定理2得，有根据题目中焦点弦又过顶点，所以，从来可以求解得解：如图4，由题意可得，设直线的倾斜角为，则，由定理可得，所以在近年高考中此类题目（过焦点直线问题）较多却用常规方法有一定的难度，由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一1.2 直角弦. 自圆锥曲线上一点,引两条相互垂直的弦、,则称为点的直角弦，简称直角弦.直角弦在近年高考题中出现不是太多，但是一旦出现其运算量会很大，下面介绍几个直角弦相关方面的几个定理，以备不时之需1.2.1 直角弦相关定理的阐述以及证明定理3 设为椭圆上一个定点，是动弦，则
13、为直角弦时过定点定理4 设为双曲线上一个定点，是动弦，则为直角弦时过定点证明：这里统一设椭圆和双曲线的方程为，当，为椭圆，当，为双曲线设，由得到： 设直线的方程为（斜率不存在时容易证明） 又因为在椭圆上,所以 同理可得： 将两式代入到得:因为点不在直线AB上，所以：所以：整理得：所以当，为椭圆时，直线过定点，当，为双曲线，直线过定点即定理1，2得证定理5 设为抛物线上一个定点，是动弦，则为直角弦时过定点由于证明思想与定理1,2中的思想一样，这里就不在累述，留给读者自己下去证明1.2.2 定理在近年考试题中的运用例1（2007年山东文）已知椭圆的中心在坐标原点上，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离
14、最大值为3，最小值为1(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点）,且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出此定点坐标分析：本题第一问是比较常规的求椭圆标准方程，第二问如果采用常规方法则需要利用定理1的证明思想计算，计算量较大，如果直接采用定理1结论则可直接得出结果。下面直接利用定理1求解解：(1)：椭圆的标准方程为 (2)：，椭圆的右顶点,因为，所以可以利用定理1直线过定点，即例2 已知是抛物线上的一点，直线相交于上的，两点，且,求直线过定点 分析：本题如果采用常规方法，计算量可能会比较大，但是题目中的条件恰好满足定理3中的条件.解：，,且，由定理3得
15、直线过定点，即：1.3 中点弦对于给定点和给定的圆锥曲线，若上的某条弦过点且被点平分，则称该弦为圆锥曲线上过点的中点弦中点弦问题，是解析几何中的重要几何量之一，也是高考的一个热点问题之一这类问题通常有以下3种类型：（1）求弦中点的轨迹方程问题；（2）求中点弦所在直线方程问题；（3）求解弦中点的坐标问题其解法有代点设而不求法、相减法、参数法、中心对称变换法及待定系数法等下面我们结合实例给出中点弦几类问题的通法1.3.1 求弦中点的轨迹方程问题例1 过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程解法一：设弦中点为，弦的两个端点为，则有，两式相减得，又因为，所以，所以，而，故化简可得 （）解法二：设
16、弦中点为，由，可得，又因为点在椭圆上，所以，即，所以中点的轨迹方程为 （）1.3.2 求中点弦所在直线方程问题例2 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程解法一：设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是：又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为：解法二：设直线与椭圆的交点为，为的中点，所以，又A、B两点在椭圆上，则，两式相减得：，所以，即，故所求直线方程为：解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得：，由于过A、B的直线只有一条，
17、故所求直线方程为：1.3.3 弦中点的坐标问题例3 求直线被抛物线截得线段的中点坐标解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，消去y得，即，所以，即中点坐标为解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，所以，所以，即，即中点坐标为总结，本文主要介绍了三种特殊弦的一些相关结论和性质，对于焦点弦和直角弦不能只是单单记结论，因为在高考大题中不能直接使用以上结论，要学会掌握结论的推导过程，以不变应万变当然对于三种特殊弦还有许多结论这里没有给出，但是以上结论得出过程也给了我们一些启示，在给定一些特定条件的数学问题，通常会有一些特殊的结论，这也是我们平时在研究数学问题的一些思想方
18、法，因此希望大家在平时研究数学问题时要善于大胆归纳、猜想、证明得出更多的优美的数学结论参考文献1 宋波高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法J河北理科教学研究, 2011,(04) :54-56 2 解永良圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质J中学数学月刊, 2005,(12) :36-383 林新建椭圆与双曲线一个性质的推广J. 福建中学数学, 2007,(06) :43-444 玉叶圆锥曲线焦点弦的几个重要性质J河北理科教学研究, 2004,(02) :46-485 郭建斌,汪琼高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的“必然”一组优美的结论J. 中学数学, 2008,(07) :23-24 6
19、张文虎与中点弦有关的几个重要结论J学周刊, 2011,(15) :32-347 郑达平中点弦问题的解法思考J数学学习与研究(教研版), 2008,(06) :34-358 齐相国，商振国利用圆锥曲线中点弦性质解题J中学生数学, 2009,(23) 9 Ball AACONSURF, Part 1: Introduction to conic lofting titleComputer-Aided Design, 1974, 6 (4) :243-24910 Zhang liu-jieFocus chord of conic associated to a beautiful conclusio
20、n JHigh school math, 2011,(Z1) :6-7致 谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师杜丽莉教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是他们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩他们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情他们的待人处事,治学态度将会影响我的一生在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！ 08级4班 李洪涛2012年5月
