数学应用本科生毕业论文（设计）.doc

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1、引 言数学是研究数量关系和空间形式的科学。随着数学的发展这种数和形的概念也在不断扩大，目趋抽象化，以至脱离了原始计数和图形形式。例如，可把函数看成是空间的一个点，图形可视为某抽象空间的一个流形等等。数学虽不研究事物的质。但任一事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的。不同事物如果有相同的量和形，便有相同的数学问题，因而数学必然也必需是抽象的。数学高度的抽象性，隐含着应用的广泛性。时至今日，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又

2、早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实上可以说，我们大家都生活在数学的时代我们的文化已经数学化了。第一章 数学与自然科学 数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其它生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。 已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛地运用了现代数学

3、。 在19世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个关于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必须增加一个关于位移电流的方程。对于这一项他所能找到的的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出发 ，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现在可以通过收音机、 电视机接收的频率以及 X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光是一种电磁学现象。 20世纪初

4、，爱因斯坦创立的相对论，使人们的时空观发生了革命性的变革。狭义相对论把空间和时间的测量同光的传播规律联系起来，揭示了空间和时间的相对性，指出长度和时间间隔都随着物体运动状态的变化而变化，在日常的低速运动是观察不到这种效应，爱因斯坦正是通过洛仑兹变换推导出这些结论的。 在物理学中，物理规律用数学公式表示，物理学里的预言往往在数学推导的基础上作出。再看一个天文学的例子，是关于海王星的发现。1846年9月28日，德国柏林天文台伽勒博士接到一封信。信是法国青年数学家勒威耶写给他的，请他在夜里把望远镜对正某一方天空。勒威耶预言：在那里将会发现一颗新的行星太阳系的第八颗大行星。伽勒博士立刻把精密的星图捡了

5、出来，当夜就开始搜索，只经过半小时的观察，他果然在勒威耶指示的那一方天空里，发现了一颗光亮很弱的星；过了24小时再观察，证实这颗星在不断地移动，确实是一颗未曾发现的行星。勒威耶的预言应验了这颗新的行星，后来命名为海王星。海王星的发现并非偶然的发现，有趣的是伽勒博士首先观测到了它，而他并不是海王星的发现者，它的发现者是数学家勒威耶，他没有看到，但他用数学预言了海王星。 1959年的一次著名讲座上，物理学家Eugene P. Wigner阐述了“为何数学对自然科学的帮助大得神乎其神？”反言之，数学对它们（自然科学）有着可怕的真实感。 再看看数学与化学的关系。在19世纪60年代，人类在从事自然界物质

6、组成成分的科学探索中已经发现了63种元素，但不知道这些元素的内在联系，俄国化学家门捷列夫通过比较不同元素的原子量的差值，发现原子量的大小决定着元素的性质。1869年，他提出化学元素的物理和化学性质随元素原子量的递增而发生周期变化的思想，并将当时已发现的63种元素按原子量的顺序排列出一个元素周期表。这样一来，表面上看起来杂乱无章的化学元素就显示出了惊人的规律性。元素周期表奠定了现代无机化学的基础，是化学发展史上重要的里程碑。 19世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。本世纪以来，数学却出人意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域一一生物数

7、学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学，生物微分方程，生态系统分析，生物控制，运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的一些新的生物学分支，例如数学生态学，数量生理学，数量遗传学，数量分类学，数量生物经济学，传染病动力学，数理医药学，分子动力学，细胞动力学，人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每一个领域，例如分子生物学：生物化学、生物力学、生物经济学、种群动力学、流行病学、医学、免疫学、细胞生物学、资源管理、神经网络等。 由于数学对生物学的发展产生了深远的影

8、响，德国一位生物统计学家高（Goh）说：这门学科（指生物学），由于应用了数学，获得了第二次生命。在生态学的研究中，所需要的数学知识更广泛，更深刻。因此，加拿大著名的生物学家E.C.匹娄（Pielou）说生态学本质上是一门数学。近代生物科学的发展有两个特点，一是微观方向的发展，?quot;细胞生物学，分子生物学，量子生物学等的产生。显微镜的出现使得生物科学向微观方向发展成为可能。在显微镜下人们可以看到生物的细胞及其结构，但显微镜无法使人们了解各种细胞群体之间的互相作用。作为一个系统，研究它的发展过程以及趋势，这就必须用数学方法来进行。人们可以通过显微镜观察和实验去了解生物细胞的各种特性，但不能得

9、到综合的结论，而这种结论也必须运用数学方法来得到，因此可以说数学方法对生命科学微观方向的发展是必不可少的。生物科学另一发展趋向是宏观方向.从研究生物体的器官、整体到研究种群、群落和生态圈。对生物体、生物器官、细胞分子的研究可以通过观察和实验来进行，但是生态学研究则不是这样，数学推理显示了特别的重要性。例如，人们预测长江上游的森林砍伐将使长江成为第二个黄河，这个预测只能通过推理（数量的推理）来完成，不可能用作实验的办法来证实。显然，各种自然科学越来越依赖于数学。数学所具有的抽象能力和严密推理能力，可以帮助人们超越感性经验洞察客观世界的深刻本质，提出新的概念，建立新的理论，预言新的事实。美国数学家

10、冯诺伊曼说：“在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上了数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理的渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。第二章 数学与音乐人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长这最早可以追溯到公元前六世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且还发现谐声是由长度成整数比的

11、同样绷紧的弦发出的于是，毕达哥拉斯音阶(the Pythagorean Scale)和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位虽然托勒密(CPtolemy，约l0ol65年)对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale)及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the tempered Scale)及相应的调音理论出现才被彻底动摇。在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期，管子地员篇和吕氏春秋音律篇中分别有述；明代朱载培(15361610)在其音乐著作律学新说对十二平均律的计算方法作

12、了概述，在律吕精义内篇中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次由此可见，在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深。感觉的音乐中处处闪现着理性的数学。人们记录音乐最常用的方法是简谱和五线谱，它们都和数学有密切关系。简谱不正是用阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7来表示d0、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si的吗。音乐中的五线谱就相当于一个坐标系 ,写在五线谱中的音符相当于坐标系中的点，两个相邻点横坐标的差就是前一个音符的音长，而一首乐曲就是一

13、个音高关于时间的函数：。例如,如果以时间为轴,音高为轴,一拍的时间为横坐标的一个单位长度建立平面直角坐标系,那么贝多芬欢乐颂的一个片段(如图 1)在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点(如图 2)。图 2.1图 2.2 看一下乐器之王钢琴的键盘吧，其上也恰好与斐波那契数列有关。我们知道在钢琴的键盘上， 从一个c键到下一个c键就是音乐中的一个八度音程(如图1)。其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2 , 3，5，8，13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。图2.3图2.4 音乐中的等比数列。 如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合，

14、那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了：1，2，3，4，5，6，7，i等音阶就是利用等比数列规定的。再来看图1，显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音，并且我们知道下一个c键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个c键振动次数的2倍，因为用2来分割，所以这个划分是按照等比数列而作出的。我们容易求出分割比，显然满足，解这个方程可得是个无理数，大约是1.06。于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1.06倍，而全音的音高是那个音的音高1.062倍。实 际上，在吉它中也存在着同样的等比数列。 在这里我们需要提及十九世纪的音一位著名的数学家，他就是约瑟夫傅里叶(Joseph Fourier)，正是

15、他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰他证明了所有的乐声，不管是器乐还是声乐，都可以用数学式来表达和描述，而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和。可以利用数学函数可以创作乐曲。例如，余弦函数上取出6个点(如图5)，按拍写在五线谱中，就得到一段乐曲(如图6) ：图2.5图2.6用数学作曲的典型代表就是20世纪20年代哥伦比亚大学的数学和音乐教授 Joseph Schillinger。他曾经把纽约时报上的一条商务曲线描述在坐标纸上,然后把它分成比例合适的小节，选取适当的点进行处理并演奏出来，结果竟然是一首曲调优美，与巴赫作品相似的乐曲！Joseph Schil2 linger甚至认为：根据

16、一套准则，所有的音乐杰作都可以转变为数学公式。J.J.西尔威斯特曾经问道：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗?”这实际上是对音乐和数学联系的间接描述。数学是对事物在量上的抽象，而音乐是对自然音响的抽象，音乐与数学有着密切的联系。第三章 图形中的数学 图形有平面的、有立体的；有黑白的、有彩色的;有静止的、有运动的；有具体的、有抽象的。它可以是科学或工程上的表达与记录，也包括艺术作品中的影视、绘画和雕塑。图形处处可见，大自然造就无数壮丽景象，那是令人说不尽的精彩。3.1 经典的欧几里德几何研究的几何图形 在现实生活中，有一类是我们经常见到的，例如桌椅，餐具，书本等等，这些

17、是传统欧几里德几何的研究对象。 经典的欧几里德几何研究对象是直线、圆、锥和球这一类非常规则的几何图形。这类图形用直尺和圆规就可以作出，用圆规和直尺作图就是数学发展史上很著名的尺规作图。在尺规工具的限制下，三等分任意角、化圆为方、倍立方曾一度是几何作图的三大难题，后来得出不可能有解的结论。仅以尺规为工具，能做的事很受限制，于是出现了各种各样的作图工具，计算机的出现其他作图工具都黯然失色，如今，工程师办公室里那一盒又一盒的曲线板以及腰上的计算尺早就不见了，一台手提计算机就可以轻松绘制复杂的机械零部件图纸，同时完成大量的计算。本质上计算机上作的图画就是一组数据。大家都知道，计算机里的数据采用二进制表

18、示形式，任一个正整数都可以用0、1这两个数字表示。二进制与最常见的十进制相比，只是基不同，用字母b表示基。任意非负整数 大于1的任何正整数a均可作为表示非负整数的基。 实际上，对任意非负整数，总可以找到及非负整数，使得 ，进一步，存在非负整数和，使得 ，如此进行下去，经过有限步，有和，使得依次回代得到 因此N就可以表为 这就是b进制系统。这里介绍一个很特别的数列，叫做斐波那契数列。递归定义：斐波那契数的最重要性质之一是以一种非常特殊的方式表示数。由Zeckendorf定理：任何一个正整数都有唯一的表示 例如：1000000=832040+121393+46368+144+55 这个定理可以导致

19、一种新的数系，使能把任何非负整数表为0和1的序列，记为用这种方式表示数与二进制表示是不同的。 这里说一下计算机上的作图，当我们在计算机上打开一张图片，然后不断放大，放大到一定倍数，就会发现图片是由一个个小方块组成，每个小方块都有自己的颜色。这里小方块称它为像素，计算机上的图片是像素组成的，像素的一些参数，比如灰度、颜色等，都可以用数字矩阵表示，这样图被数字化了，于是数学就发挥了很大的作用。例如数字图像的变换，常见的变换有平移、旋转、反射和缩放等，还有很多变换用在图形上，会产生有趣的结果。 N维向量空间的几何变换都可以用矩阵表示。以二维空间为例，平面上的一点变换到另一点， ，变换用矩阵可表示成。

20、这里的阿诺德变换，俗称猫脸变换，是俄国数学家阿诺德（V.I.Arnold)在遍历理论的研究中提出来的。屏幕上的画面由密密码码的像素组成，这样把像素看成点，像素组成一个点列，采用的变换的是。应用此变换在图像上就会产生很有趣的结果。 对这点列反复施加上述变换，点列始终被限制在一个有界区域内，经过有限次，显示的画面就会很乱，但是继续进行变换，经过有限次，会回到最初的画面。这种变换的作用之一是可以将数字图像置乱。3.2 分形 欧几里德几何对象是光滑的，具有特征长度的，然而现实中还广泛存在一类不规则的结构和现象：例如云彩、山脉、树、雪花，海岸线、闪电等，这些不规则图形是不能用欧式几何来准确描述的。于是出

21、现了一种新的理论分形。 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 一般说来，分形是具有如下性质的集合： 1.具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含着整体。 2.不规则，不能用传统的几何语言来描述。 3.通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义上的。 4.在某种方式下定义的“分维数”通常大于其拓扑维数。 5.定义常常是非常简单的，或许是递归的。分形的典型例子是谢尔平斯基“地毯”，如下图：图

22、3.1我们可以看到分形是具有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。谈到分形，事实上就开始了一个动态过程，是一种不断变化不断延伸的形态，就像生长中的树，不断的长出新枝、新根。 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，是对传统几何学的颠覆。 分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。 闪电 雪花分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不

23、再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能。第四章 通信纠错中的数学 随着通信技术不断发展，对通信质量的要求也不断提高。信道纠错编码作为提高信息传输可靠性的一种重要手段，越来越受到重视。为此一般地在发送信源编码后的信息时加上一些监督信息一道发送使得接收端能自动检查或纠正在传输中产生的误码提高信息的抗干扰能力，这就是信道编码通常也称为纠错编码。以下主要介绍线性码和纠错编码对数学的应用

24、。 现代人们在生活中的通信方式是多种多样的，如打电话、传电子邮件以用宇宙飞船将金星图片传回地球等。它们的模型可以简单的表示成：信道发方 收方要发送的信息有不同的形式（数据、图像、声音、文字），各种信息都用物理手段编成离散的脉冲信号发出，而脉冲信号只有有限个状态，于是，数论便派上了 用场。 数论中有同余的概念，设是一个正整数，两个整数和，如果，则称和模同余，表示成以下形式：同余式可以做加减乘法，若，则对一个固定的正整数，如果把模和同余的所有整数放在一起，叫做模的一个同余类，表示成。因为每个整数必同余于当中的一个，所以模共有个同余类，它们组成的集合表示成。中可以做加减乘，但不能做除法，事实上同余式

25、除法有以下结果：若并且和互素，则。那么如果是一个素数，记为，和任何整数都是互素的，则中除外的元素就可以做除法。这样的集合及其定义在上面的运算叫做域（field)，记为。事实上通信中使用最多的是二元域。上的长为的向量的全体组成的集合，叫做上的维向量空间，记做。4.1 纠错码的基本概念定义4.1：中的任何非空子集都叫做一个元纠错码，其中叫做码长，中向量叫做码字，中码字个数表为，而叫做纠错码的信息位数。定义4.2：设和为中两个向量。的汉明重量为的非零分量的个数，而与的汉明距离是指它们的相异位个数。定义4.3：设是码长为的元纠错码,的最小距离定义为中所有不同码字之间汉明距离的最小值，即 以上介绍了纠错

26、码的3个基本参数：码长、码字个数（或者）和最小距离。这样参数的纠错码今后表示成或者。4.2 线性码下面主要介绍线性码，线性码以线性代数作为工具，算是对所学知识的一种应用。不过要注意，通常学的是一个数域上的线性代数，这里是有限域上的线性代数，但是线性代数中大部分结论都可以拿来用。 定义线性码：一个码长为的元码叫做线性码，是指是向量空间的向量子空间，即满足如下的性质:对于中任意元素和，如果和属于，则也属于。 例如，奇偶校验码是二元线性码，假设我们要传递8个信息,最少可用3位二进制表示它们：但这样信息在信道中传送时，收方没有任何的判别能力，为此我们增加一位校验位0或1，使1的个数为偶数（叫偶检验），

27、重新编成：这样收方只需验证1的个数，如果1的个数不是偶数，则可判定传送出错，可见奇偶校验码具有检错能力。同理，奇校验也具有检错能力。线性码可以用线性代数工具来研究，下面给出两个结论：第一个是关于线性码的最小距离。根据定义，的最小距离是中任意不同码字的汉明距离的最小值，即而由于是线性码，任意，非零，所以即是中的非零码字的汉明重量。反过来，任意非零，因为零向量必属于，所以即每个非零码字的汉明重量也是中两个不同码字和的汉明距离。这就表明：第二个结论是关于线性码的维数。设元线性码的维数为，于是有一组基。从而中的每个码字都可以用这组基唯一的表示成：由于，每个都有个选取方式，于是个有个选取方式，于是中有个

28、码字，所以。这表明：这表明线性码，它的维数即是信息位数。由于信息位数是维数，从而是整数，而对于非线性码来说不一定是整数。从今以后用表示线性码的基本参数。 现在开始用线性代数工具来描述线性码。设是参数为的元码，的维数为，可以取的一组基，其中于是中每个码字都可以唯一的表示成这里是行列的矩阵，叫做线性码的一个生成矩阵。基向量组是线性无关的，所以的秩等于。线性码可以有不同的基，从而有不同的生成矩阵，不同基之间的线性变换是可逆的，可以证明。由于每个码字都可以唯一表示成所以给出从到的一个映射映射可以看成是纠错编码，它将中码长为的全部个向量映射成中码长为的个码字（也就是），使得具有纠错能力。所以生成矩阵可用

29、来对线性码进行纠错编码。 是的一个维子空间，由线性代数知道，可看成是个线性无关齐次线性方程组的解空间。这个线性方程组的系数矩阵是上行列的矩阵，叫做线性码的一个校验矩阵，。利用校验矩阵，前面的方程组可表示成而线性码的码字恰是这个齐次线性方程组的解，于是在收到一个向量，只要计算是否满足，就可判定是否为中码字，这就是为什么叫做校验矩阵。关于生成矩阵和校验矩阵的关系见下面的定理：定理4.1：设是参数为的元线性码。（1） 若是的一个生成矩阵，而是上一个行列的矩阵。则是的一个校验矩阵。（2） 若是的一个校验矩阵,是上的一个行列的矩阵。则是的一个生成矩阵（3） 若其中，是上的行列矩阵。则是的一个生成矩阵是的

30、一个校验矩阵。证明：定义：，从定义可以看出是的一个校验矩阵当且仅当。（1）如果是的一个校验矩阵，由于的每一列都是中码字，可知。反之，是的一个生成矩阵，每列是的一组基，所以。另一方面，等于象空间的维数，所以，这就表明。从而是的校验矩阵。（2） 设是的校验矩阵，如果是的一个生成矩阵，则反过来，设，则的诸行属于，再由可知的行是线性无关的，从而它们是线性码的一组基，所以是的一个生成矩阵。（3） 当易知，并且然后由（1）和（2）的结论可得（3）结论。证毕。 以上给出了生成矩阵和校验矩阵之间的关系，（3）给出了求解生成矩阵和校验矩阵的具体方法。下面给出校验矩阵的另一个作用，校验矩阵可决定最小距离。为此表示

31、成：定理：设是参数为的元线性码，则（1）的任意个不同的列都是上线性无关的；（2）中存在个不同的列，它们在上线性相关。证明：证明校验矩阵满足性质（1）和（2）。设是中的一个非零码字，则。为了符号简单，不妨设的前个分量不为零，而其余分量为零，即，其中。于是这就表示是线性相关的。所以设中有非零码字，汉明重量为。若第个分量不为零而其余分量为零，就得到中第列是线性相关的。反过来推理可知，如果中不存在汉明重量的非零码字，那么中任意列都是线性相关的。由于是线性码中非零码字汉明重量的最小值，便可知道定理中的性质（1）和（2）成立。因为中不存在非零码字使得，这相当于说的任意列都线性无关。而中存在汉明重量为的码字

32、，这相当于说中存在线性相关的个列。证毕。4.3 汉明码定理表明如何由校验矩阵来决定一个线性码的最小距离，反过来想，我们可以设法构造一个校验矩阵，使线性码具有任意给定的最小距离，这样需要满足定理的条件，即使得任意列线性无关，有列线性相关。现在用定理来构造一批最小距离为3的二元码。取正整数，把长为的中所有非零列向量（共个）组成一个上行列的矩阵注意有单位矩阵为它的子阵，从而的秩为。的码长为为，而的行数为，由此可以推出信息位数。 的任意两列都不相等，所以在上是线性无关的，于是的最小距离。于是中的两个不同列向量和，而是的某列，于是，这表明中有3列是线性无关的。由定理可知。于是证明了二元线性码的参数。二元

33、线性码叫做二元汉明码。 校验矩阵还可以用来纠错，以二元汉明码为例，由于，由纠错理论，可以纠1位错。设发方发出码字。信道中至多出现1位错误，即，。若，设的第个分量为1，其余为零。收方得到向量。然后作运算。由于是码字，。所以。由于只有第个分量为1，所以就是的第列。译码算法：假设信道最多发生1位错误，（1） 收方收到之后，计算；（2） 如果，则是正确的码字，即信道无错。如果，必是的第列，则的第列出 错。纠错只要把的第位由0改成1，或由1改成0，其他位不变，便是发出的码字。（3） 例如，对于的情形。假设发出码字，信道第2位出现错误。收方得到的向量为。收方现在进行纠错译码。先计算右边为的第2列，所以第2

34、位出错。将第2位0改成1，便得到正确的码字。以上比较详尽的讨论了汉明码的数学原理。随着差错控制编码技术的蓬勃发展，作为信道传输过程抗干扰的有效手段，汉明码是较为成熟的编码方法之一，已经被广泛应用于计算机、电子通信、控制等各个领域。第五章 数论在公开密钥加密体制中的应用密码作为军事、经济和政治斗争中的一种技术,已有数千年的历史。在计算机科学蓬勃发展的今天，网络时代的信息安全变得越来越重要，密码学也随之产生，数据安全作为一个新的分支已活跃在通信领域。诸如数论、信息论、复杂性理论、组合论、概率论和线性代数等，也纷纷被运用到密码学中，并产生了诸多加密体制及加密方法。数论作为一个相当古老的数学分支，曾被

35、大数学家高斯誉为数学的皇后，可是在相当长的时间里，没有什么应用。然而，现在数论在密码学中起着相当重要的作用，著名的公开密钥加密体制便是其一个重要成果。5.1 两个数学难题先介绍两个数学难题：素因数分解与离散对数问题是两个有代表性的计算困难的问题，许多公钥密码方式都应用了其中的某一个问题(或者两者都用) 定义5.1 (素因数分解)所谓(整数)素因数分解，就是当给定整数时，求解的素因数分解的问题。其中各是互异的素数且。 定义5.2 (离散对数问题)所谓(素域上的乘法群上的)离散对数问题，就是当给定素数及和时，求满足的整数，的问题。 注意到离散对数问题并不限于素域，对于合成数佗作成的乘法群也可以一般

36、地定义，那么就可以知道素因数分解并不比离散对数问题更为困难。定理5.1 若一般的离散对数问题可以按多项式时间计算，那么素因数分解也可以按(概率的)多项式时间计算 但是其逆的成立尚未解决下面再介绍初等数论中的费马小定理。该定理说：设是一个素数，则当整数和互素时，有。18世纪时，欧拉(LEuler)把这个定理推广为“欧拉定理”，即：假设是一个正整数，则当整数和互素时，有。这里称为欧拉函数，定义为小于且与互素的自然数个数。特别的，当是两个不同素数和的乘积时，有。传统的密码体制，称之为“密钥密码体制”，在加密、解密的过程中都采用同一个钥，简称为“密钥”（secret key）。密钥要靠专人专管专送密钥

37、，这在电子商务中行不通的，代价太高。于是出现了公钥密码体制。5.2 公钥密码体制RSA1976年，美国斯坦福大学教授赫尔曼(EHellman)和他的研究助理迪菲(WDiffie)，以及博士生默克勒(RCMerkle)(简 称 为 DHM)首先创立并发表了所谓的“公钥密码体制”(public key cryptography)，即加密、解密用两个不同的钥，加密用公钥(public key)，即可以公开不必保密，任何人都可以用；解密用私钥(private key)。此钥必须严加管理，不能泄漏。他们的设计实现了公钥密码体制的思想、是基于离散对数问题的、在不安全信道进行密钥形成和交换的新技术。现在说明

38、一下DHM的运作过程，假设和两个人要在一个不安全的信道如因特网上形成密钥以备日后加密解密使用。首先，、两人要共同公开约定一个素数和有限域中的一个生成元；选定一个随机数（可以认为是之私钥），并将传送给；选定一个随机数（可以认为是之私钥），并将传送给；此时可以算出，也可以算出。由，因此和就形成了一个公共密钥，日后便可以此钥进行保密通信。显然敌方可以截获到，。如果有快速成计算离散对数的算法，就可以通过已截获的信息中迅速成求出或，从而求出。很遗憾的是，目前还做不到。在20世纪40年代，G.H.Hardy在一个数学家的自白中写道：“Gauss以及地位较低的数学家们都有理由为有一门科学(数论)而欢欣鼓舞，

39、因为无论如何，这门学科，以及这些数学家们，远离人类的日常活动而保持了它的优雅和清白。”在 Hardy生活的时期，数学的绝大多数应用是在军事方面，作为一个和平主义者，他为研究数论不是为了它的实际用途，而仅仅是为了它的内在的审美要求而高兴。 数论作为“优雅和清白”的这一形象在1978年受到一记重击1978年，仅在DHM发明公钥密码体制的两年后，美国MIT的三位科学家里维斯特（RLRivest)，沙米尔（AShamir)和阿德尔曼（L.Adleman)(简称 RSA) 提出了一种基于整数分解困难性的实用的公钥密码体制现通称为RSA体制。已知两个正整数和 ，求它们的乘积是非常容易的，但是反过来已知正整

40、数，求得正整数和，使得（如果可以分解），这是非常困难的。根据算术基本定理，只要能快速求出和，那么就能递归的快速求出的素数分解式，其中为正整数，为素数，。现在还没有满意的快速整数分解算法。但是有快速计算整数分解的量子算法，也有计算离散对数的量子算法，但是现在还没有建造出量子计算机。RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数（ 大于 100个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。现在谈一下RSA的思想：取两个正整数，其中是两个大素数和的乘积，且满足。设是明码，为密码。加密 解密 其中为公钥，为私钥，并且，是欧拉函数，其计算公式为：如果，则。

41、公开，以便别人来加密，但，和一定要保护好。RSA这所以能工作是因为；对于合法用户，因为他知道，可以算出，从而算出，这样他就可以对信息进行解密。对于非法用户，要想解密，就要算出，要想算出，须算出，而要算出，须先分解，如前所述大数分解问题是很困难的，就目前的计算条件，是一个大于200位的整数，分解往往需要数亿年的时间。由此知，RSA还是很安全的。对于RSA，英国数学家Keith Devlin称“这就是当今庞大的国际数据通信网络能安全运行的原因，它依赖的数学家的一种无能；他们尚未找到大数因子分解的有效方法，同时却能容易地找到大的素数。”绝大多数数论学家倾向于认为不存在大整数因子分解的多项式算法，虽然

42、至今对此既不能肯定也不能否定。如果有愈来愈多的数论学家来研究这个大整数因子分解问题，而他们均不能得出多项式算法，那么RSA密码体制就更加安全可靠了。从上述公钥密码体制的要求来看，首先应该搞清楚素数分布的情况，亦即对于给定的正数，不超过的素数一共有多少个。令这个个数为，勒让德(A MLegendre)等猜测，当充分大时，应该有。19世纪初，高斯提出用更好的所谓“对数积分”来逼近。这就是大名鼎鼎的素数定理。高斯的得意门生黎曼(GFBRiemann)，也是19世纪最卓越的数学家之一。黎曼仔细地研究了素数分布及其他数论问题，感到有必要引进一种函数(现称为黎曼函数)，其定义为：在一篇影响深远的论文中，

43、黎曼提出了六个未加证明的重要论断。其中涉及的数学相当复杂和高深。经过许多数学家的艰苦工作，六个论断除去第五个外都已完成，所以，现在所指的黎曼猜想就是第五论断，即：的全体非显然零点都位于直线上。在黎曼猜想成立的前提下，大批困扰数论学家多年的猜想能得到解决或大幅度改进。所以，黎曼猜想自然而然地被公认为全部数学中最重要的超级难题，是当务之急必须解决的。人们已为此设立了100万美元的奖金。再者公钥密码体制也涉及到，寻找大素数的方法。涉及到广义黎曼猜想，这里省略。然而在假定广义黎曼猜想成立的条件下，根据上述的费马小定理和原根的理论，米勒(GMiller)提出了一个判别某给定大整数是否为素数的多项式算法。

44、由于广义黎曼猜想并没有被证明，所以只好退而求其次现在已经证明对于判别一个给定的大整数是否为一个素数的问题，存在概率多项式算法和亚多项式算法，亦即对于100或200位以下的大整数均有非常快的算法来判别它是否为一素数”。上述理论和证明都是公钥密码体制得以实现的理论基础，可以看出，在密码学中，使用了大量的数学领域的工具，众所周知的如数论和有限数学。 结 论由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术：从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质，这是其电脑学科所少有的。数学给予人们的不只是知识，最重要的是能力，这种

45、能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断。l959年，数学大师华罗庚教授曾经在人民日报上写过一篇大哉数学之为用的文章，大大地介绍了数学在实际中的用处：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。总的来说，通过此篇论文，我对数学的理解和认识更加的深刻这将会对我在今后更深入的学习中有很大的帮助。谢 辞 本文是在导师王秀荣老师的精心指导下完成的，老师在百忙之中审阅全稿，并提出了许多宝贵意见。他们严谨的治学态度和一丝不苟的研究精神使我受益匪浅；另外,在日常生活和学习中，老师也给予了许多关怀和帮助。在此，对王秀荣老师表示衷心的感谢！同时对

46、所有在学习上和生活上给予我帮助的老师和同学们表示深深的谢意!最后，感谢我的家人，感谢他们多年来对我学业的支持和生活上无微不至的关怀！参考文献1 M.克莱因（Morris Kline）著/李宏魁 译 .数学：确定性的丧失M 湖南科学出版社, 2000。2 齐东旭，画图的数学M，北京：科学出版社,2007，20-50。3 李浙生，数学科学与辨证法M，北京：首都师范大学出版社，1995。4 冯克勤，通信纠错中的数学M，北京：科学出版社，2009，12-63。5 本丛书编委会，无处不在的数学M，北京：中国出版集团，2009，120-125。6 李轮溟，陈莉，关于数论在公开密钥加密体制中的应用J，新疆师范大学学报(自然科