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1、线性系统的时域分析法动态性能指标一阶系统的时域分析,第6讲,控制系统的分析方法,分析控制系统第一步 建立模型第二步 分析控制性能，,分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法,第三章 线性系统的时域分析法,3.1 引言,分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评
2、判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。,3.1.1 典型试验信号 Typical test signals,(1)实际系统的输入信号不可知性(2)典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3)电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。,突然受到恒定输入作用或突然的扰动,可以采用单位阶跃函数作为典型输入。如果
3、控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Step function）,室温调节系统和水位调节系统,（单位）斜坡函数（Ramp function）速度,（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线,（单位）脉冲函数（Impulse function）,正弦函数（Simusoidal function）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。,通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp），对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析
4、法，第六章校正方法中讨论。,3.1.2 动态过程和稳态过程,瞬时响应和稳态响应 Transient Response&Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应由以下两部分组成：1 瞬态响应（动态过程）指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2 稳态响应（稳态过程）是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。,3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error在设计控制
5、系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。,系统不稳定产生的后果：实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成
6、非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第八章讲述。,相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。称动态过程。,稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。稳态性能：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪
7、的误差大小。,动态性能指标：,系统在单位阶跃输入信号下的动态过程随时间t变化状况的指标，称为动态性能指标。通常，为便于分析合比较，假定系统初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0）。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。,动态性能指标,延迟时间：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快,峰值时间（Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需
8、要的时间。,动态性能指标,调节时间：（Settling Time）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作，超调量（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,3.2 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,当初使条件为零时，其传递函数为,这种系统实际上是一个非周期
9、性的惯性环节。,下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,3.2.1 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System,因为单位阶跃函数的拉氏变换为,，则系统的输出由下式可知为,对上式取拉氏反变换，得,注*：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。,响应曲线在,时的斜率为,，如果系统输出响应的速度恒为,，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。,由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：,3.2.2 一
10、阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order systems,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为,3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems,当,对上式求拉氏反变换，得：,因为,所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为,上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同,由于系统存在惯性，,从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。,减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。,3.2.4 一阶系统的单位加速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,微分,微分,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,
