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1、淮北师范大学信息学院 2014 届学士学位论文 求最值问题的方法探讨系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 姓 名: 指 导 教 师: 指导教师职称: 2014年 5 月 24日淮北师范大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计） ，是在指导教师 的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任 承诺人： 年级 专业 签 名： 年 月 日摘要初中最值问题的解决通常会用利用函数性质解
2、决最值问题以及二次函数的应用.有时候会根据用简单配方法解决最值问题.当遇到不等式有关的问题时利用不等式的性质.如果遇到图形题目也就是平面几何，平面几何需要有一定的逻辑能力.解决高中最值问题的思路与方法利用二次函数和及二次函数的图像.当然也有时候会求导.即导函数解决最值问题.利用抽象函数解决最值问题.不等式以及数列来解决最值问题.利用三角函数解决来解决最值问题.关键词： 最值; 定义域 ; 函数To get the most value problem and discussion ABSTRACTJunior high school the most value problem solving
3、 often use with the property function to solve the most value problem, and the application of quadratic function. Sometimes according to use simple method to solve the most value problem. When inequality related problems by using the properties of inequality. If there are any graphics topic is the p
4、lane geometry, plane geometry needs to have certain logical ability. The idea and method to solve the problem of high school is the most value by using quadratic function and quadratic function of the image. Of course, sometimes derivation. The guide function to solve the most value problems. The us
5、e of abstract function in solving the most value problem. The inequality and sequence to solve the problem of the most value. Use of trigonometric functions to solve the most value problem to solve. Key words: the most value; domain: function 目录（一）引言1（二）初中解最值问题的几种方法1一利用函数的性质求最值问题11.先了解一次函数和反比例函数性质来求
6、解.22.二次函数的性质应用2二用配方法来解决最值问题2三利用不等式来解决最值问题3四平面几何的最值问题3（三）高中解最值问题的几种方法4一利用二次函数解答最值问题4二解决抽象函数的最值问题5三不等式中的最值问题解决方法.6四三角函数中最值问题的解决方法6五数列中的最值问题的解决方法.7六导函数求最值问题的解决方法8（四）结论9参考文献10致谢11 引言无论是在现实生活中还是在中考和高考的试卷中，我们随处都可以碰到一些关于一些生活中最值问题和一些关于试卷中最值的题目，对这种类型的问题我们需要研究，需要解决。虽然我们在实际问题的解决中，需要有的是最好的方法和一些技巧。毕竟很多的知识都是死的，但是
7、我们的头脑是活的，要把握好一个方向感。初中的最值问题一般情况下是比较浅显的，但是学习中可以巩固一个基础，为以后复杂的问题提供一些思路。高中的最值问题有了前面初中最值问题的铺垫，也许会少走一些弯路。只要我们有足够的细心，一般情况是不会出错的。无论是学习研究和讨论最值问题，还是学习数学其它的问题，需要的是我们有一种毅力，需要的是细心程度。以下是我在学习中总结了关于初中最值问题的方法和思路，还有高中的最值问题的思路和方法。 初中解最值问题的几种方法 在初中的最值问题的研究中，我归纳了以下几种解法一利用函数的性质求最值问题1.先了解一次函数和反比例函数性质来求解.为什么要先了解一次函数和反比例函数性质
8、？因为它们有个共同的性质。在一次函数和反比例函数的定义域内没有最值，只有在实际问题中有最大值，这个是比较贴近生活的。分析：这种一次函数是根据简单的一元一次方程来解的，先设出要求的变量设为在根据简单的计算，算出这个最值.例1 某工厂生产零件，生产每个零件需要花费10元，如果买一个机器则每个零件需要花费8元，不过这个机器需要花费4000元，那么生产多少个零件买这个机器省钱？请说明理由。解：设生产个零件买这个机器省钱，则不买机器需要元，买这个机器需要,所以有,也就是，解得。2.二次函数的性质应用例2 一个服装店卖衣服，原来每天可以销售100件，每件可盈利20元，若每件衣服涨价1元，每天可减少销售3件
9、，那么这个服装厂应该涨价多少元才能使当天的盈利最大？分析：在一般情况下，二次函数最值是由的顶点来确定的，这个类型的问题经常出现在中考题目，所以非常重要。解：设每件衣服应该涨价元，且当天最大盈利为元由题意知，每件盈利应该是，那么由于涨价所以每天可以卖出，所以写出方程如下所示. 由方程我们可以知道在什么时候取最大值，即顶点为，所以当时，取最大值，且为2100元。 二用配方法来解决最值问题例3 .,求Z的最大值分析：配方法这个类型比较普遍，尤其是在初中的学习中，很多综合性的题目都会涉及到，比如二次根式等一系列的题目。解： 当时取最大值，且最大值为5，即当时，Z取最大值为5.三利用不等式来解决最值问题
10、例4 根据完全平方式得出来的结论（两个非负数）分析：不等式有很多形式，几乎都是有很多等式演变过来的，我们在初中应该要了解基本不等式的运用.解：由题意得根据上式得则综上得两个数的和大于它们积开平方的两倍，前提是两个非负数。四平面几何的最值问题例5 AB是圆O的直径，C为圆上的点，连接AC，D为CB的中点，若有一动点P在AB上滑动，连接CP， DP，且，AB=2,那么CP+DP的最小值是多少？分析：由于这个类型的题目涉及的范围较广，需要有较强的逻辑能力，运用轴对称来完成此类问题解：找出D关于AB对称的点D,连接，则,在中一条直线最短所以最短距离为又因为D为CB中点又因为半径为1CD=综上的CP+D
11、P的最小值为 初中求最值问题需要注意的情况初中求最值的问题涉及到和多方面，无论是在中考试卷，还是在初中的竞赛的题目中，都含有了很多求最值问题，这类的题目虽然看起来很难，但是最重要的问题是初中生掌握的还不够全面，这类问题需要学生在做题目的时候要有灵活性，不要一味的专注于一种解法，这样只会使自己越做越深，反而到最后打乱了自己的做题节奏。遇到含有配方法的问题时一定要注意正负号和最后所配得结果正确是否。遇到平面几何求最值的问题时一定要找准辅助线，正确的画出辅助线，并且按照相应的步骤解决所要求的问题。遇到函数求最值的问题时，一定要保持清醒的头脑，不要乱，这种题目看似很简单一步计算错了，就全部错。所以一定
12、要一步一步的计算，最后算出的答案带到原来的方程进行检验一下。利用不等式求解最值问题时，需要灵活的运用不等式，看看所求出的条件满不满足题目所给的条件，满足则写出相应的最值，不满足则舍去。以上就是学生在解最值问题时注意的事项。 高中解最值问题的几种方法在高中的最值问题上我总结了一下几种方法一利用二次函数解答最值问题例1 求函数在区间上的最值分析：高中的二次函数比初中的二次函数要复杂点，经常会考虑和涉及到一次参数和边界点。解决这个类形的问题应该掌握原函数的单调性和奇偶性和边界点，从而得出题目的答案解：由题意的，原函数开口向上，时取最小值，在上是单调递减的，在区间上单调递增的综上的在区间上的最大值26
13、，最小值为二解决抽象函数的最值问题例2 已知是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：（1）对于任意都有;(2)当时，且，求函数在区间上的最大值和最小值分析：抽象函数都是没有具体的解析式，在这时要根据原函数的单调性和奇偶性来解决，通常这些性质需要先证明在求解，所以我们应该要把握好问题的每一个条件。解决这类问题要考虑的是要判断它的单调性和奇偶性，证明之后在根据所给的条件合理的做出推论解：设，则由条件（1）得是定义在R上的奇函数则在R上是单调增函数在区间最大值为，最小值为 是奇函数，则综上得最大值为18，最小值为-18三不等式中的最值问题解决方法.例3 求函数的最值.分析：不等式是在高中的数学学习
14、中占有很重要的份量，它是解决最大值和最小值的一个工具，当然不等式还有一个很重要的结论即两个数的积不小于这两个数积的算数平均数的两倍.运用不等式时要巧妙的运用，只有数为正数时才能用不等式计算，不是正数时要把它转化成正数。解：展开得（1）当时，当且仅当，得即当函数取最小值为48（2）当时，则当且仅当，得即当函数取最大值为12综上的当时，函数取最小值为48当时，取最大值12四三角函数中最值问题的解决方法例4 已知函数，其中为一个实数，求函数的最大值.分析：三角函数的最值问题需要我们考虑的是自变量的取值范围，其中要研究的最多的问题要数正弦函数和余弦函数问题，有时我们在求最大值时会含有参数.这些类型的题
15、目是要根据参数的取值范围来确定自变量的取值，最重要的是不要把有的情况给遗忘了.解：原式可化为令（1）当时，取最大值为（2）当时，取最大值为 （3）当时，取最大值为综上得时最大值为，时最大值为，时最大值为.五数列中的最值问题的解决方法.例5 已知一个等差数列,则数列前多少项之和最大.解：又则第14项大于0，第15项小于0前14项和最大分析：数列在高中的学习中，会遇到很多不同的问题，但是数列和函数是有联系的额，数列的最值求法可以适当的借助二次函数的方法.无论是等差数列还是等比数列，都要解决最值问题时，考虑好等差和等比，在细心的做好每一步，应该不会有问题的.六导函数求最值问题的解决方法例6 已知函数
16、，若直线，与函数和的图像交点分别是,试求当为何值时线段的取值最值。解：由题意得的长度为令令或， 在区间为为增函数时取最小值为是取最大值为分析：利用导数求解函数的最值是一种很重要的方法，其实导数求解最值最重要的还是从它的单调性开始，来分析函数的图像从而得出函数的最值.导数求解函数时一定要先求导，根据导数的方程来写出导函数的单调区间，再跟据单调区间来求出最值.结论在初中遇到的最值得问题我们因该需要注意以下几点（1）在利用函数的性质求解最值问题的时候我们需要有很清晰的思路，认真的看清楚题目所给的条件，根据题目所给的条件理清思路例出相应的等式，然后根据题目提出的问题做出解答。最后不要望了答。 （2）利
17、用二次函数解决最值问题其实就是利用函数解决最值问题的升华，不过这个需要注意的就是需要设两个未知量，还有就是如果二次函数求解最值问题的时候要考虑到实际问题，因为二次函数在取值范围内是无最大值或最小值。（3）利用不等式求解最值问题其实这个是最简单的不等式，目前初中学习的是最基本的不等式问题。只要会用简单的不等式就行。记住不等式的性质，能在题目中运用。（4）利用平面几何解决最值问题是初中应该是最难的，因为这类问题比较抽象，需要学生有较强的想象能力。在平面中做出相应的辅助线，如果遇到这类问题我们要每条有用的辅助线都试试，如果这类题目做的比较多的会看的出来，所以希望学生要经常做些这类题目，防止遇到这类题
18、目无处下手，感觉迷茫。以上就是我总结的初中求最值问题时候应该注意的问题。在高中遇到最值问题时候应该注意的问题（1）利用二次函数解决最值问题是比较难的因为要考虑到的问题比较多，要考虑单调性和奇偶性，根据所给的区间求出边界值和极值然后求出最值。（2）抽象函数解决最值问题时候，虽然没有具体的函数解析式，但是可以根据函数给的条件创造出函数解析式的性质，根据性质在判断出我们需要求的量。大多数是判断函数的奇偶性和单调性来解决最值问题。（3）不等式求解最值问题，需要根据所给的条件化简成我们常用的不等式公式即两个数的积不小于这两个数积的算数平均数的两倍，然后根据简单的算法解决，不过需要注意的是这个公式只适合正
19、数，如果遇到负数则需要加上负号就可以了，不过最后的值不等式方向需要改变。（4）三角函数解决最值问题就是把正弦换为余弦，把余弦换为正弦的算法，不过不要乱换，只有在适当的时候转换下，还有要考虑取值范围，根据取值范围来讨论在慢慢解决答案。（5）利用导函数求解最值问题就是把函数先求导，有时会遇到求解两次才能判断出函数的单调增减区间，再根据前面的继续向前推导。最后才能算出函数的最值。参考文献方晓华,吴凤香，黄宝存.函数最问题的解法探讨.金华职业技术学院学报，2002，2（2）.董国阳.关于求函数最值问题的探讨.2011（11）.戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法.2011（11）.蒙胜明.对求最值问题方法
20、的探讨.2010(10).钟衍起.数学最值问题方法探讨.2011(11)宋振鹏,王国东.浅谈关于数学教学中求最值的问题.2010（9）.吉艳霞.求函数极值问题的方法探讨.运动学院学报2006,2刘燕.用角参数解最值问题.教研撷华青海师大附中建校45周年论文集C;1999年致谢时光匆匆，转眼间大学本科的四年即将过去，毕业论文也是本科毕业前的最后一个“课题”，在这四年的历程中我感谢我的老师和与我共同学习的全班同学，他们给了我许多我意想不到的内容，使我真正认识到了人生的意义和大学生活中的乐趣。因此，他们在我这篇论文的完成作了起决定性的铺垫，在此对他们表示感谢！本文的完成离不开数学科学学院丁文文讲师的指导以及图书馆图书阅览室中的相关资料，为本课题的研究工作提供了良好的条件，同时还有同窗挚友的帮助，在一些问题的提出和解决过程中都给予我很大的帮助，再次，对他们一并表示诚挚的感谢。
