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1、2013年4月4日“行健杯”数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.
2、 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 年 月 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： “行健杯”数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：论文题目：21点纸牌游戏的决策问题摘要：21点纸牌游戏是世界上流行的纸牌游戏。在游戏中涉及要牌、分牌、比较大小赢牌的策略问题。本文首先规定21点游戏规则，通过建立数学模型对21点纸牌游戏中点数进行综合分析，从而为玩家提供决策。问题一：在本问题中讨论做出是否要牌的决策。是否要牌取决于这两种情况下玩家赢牌的概率的大小。若要牌情况下赢牌概率大于停牌则要牌
3、，否则停牌。因此，本文首先分析要牌与停牌条件下不同的获胜情况，并采用迭代法建立博弈模型，以玩家手牌点数和为12为例，计算出要牌与停牌两种情况下玩家赢牌的概率，得到以下结论：当庄家明牌点数为1到3和7到10时,要牌获胜概率大于停牌获胜概率，玩家应要牌。当庄家明牌点数为4到6时应停牌，最后用枚举法对模型加以优化并将模型加以推广从而制定最优决策。问题二：在本问题中考虑多种附加规则，如黑杰克、保险、分牌以及双倍下注等规则来制定决策。首先针对是否买保险，建立模型，计算出买保险的期望收益为-9/13,不买保险的期望收益为-8/13,得出不应买保险的结论，然后，针对是否分牌，再次以玩家手牌点数和为12（两张
4、6）为例，通过问题一中所建立的模型，计算玩家在分牌下获胜的概率，并与不分牌时获胜的概率相比较，得出以下结论，当庄家手牌点数为2到6时采取分牌策略，否则不分牌。将模型加以推广，得出所有情形下是否牌的决策。然后，针对是否双倍下注，再次通过枚举法建立模型，计算获胜概率，如获胜概率超过50%则应双倍下注，最后进行规划统一，得到全部规则下，最优决策表，并通过高低法建立算牌模型，辅助决策，以达到更高的胜率。关键词：枚举法 迭代法 高低法 黑杰克一问题背景：21点游戏规则：站在圆弧桌子后面的荷官会一轮一轮向各位玩家手里发牌，每个人需要计算手里的几张牌点数加到一起是多少（J，Q，K的点数是10分；A有两种算法
5、，1或者11，如果A算为11时总和大于 21，则A算为1），如果点数超过了 21 就算爆牌，谁先爆牌谁就输了。在得到两张牌之后，玩家有权决定是否继续要牌。玩家的目标就是让自己手里的牌的点数和尽量接近 21 点，但是又不超过 21 点。现在的扑克牌赌博游戏中，洗牌都是在洗牌机中完成的，不过并不是每局洗一次，往往一套牌（由四到六副组成）在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。这一规则使得 21 点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。21点游戏中涉及到的术语：a) 要牌：在现有牌基础上继续抽牌；b) 停牌：在现有牌基础上不在抽牌；c) 分牌：玩家
6、遇到点数相同的牌可分为两墩牌；d) 双倍下注：玩家在拿到前两张牌之后，再下一注与原赌注相等的赌金1e) 黑杰克：前两张手牌为A和10，则称为黑杰克。若是玩家有黑杰克而庄家没有，则玩家可赢得2倍赌金；相反，如果庄家有黑杰克玩家没有，则庄家收走玩家赌金；f) 保险：在庄家牌面为A时，玩家可以选择买保险，保险金为赌金的1/2。若此时庄家手牌为黑杰克，则玩家收回赌金及保险金；若庄家手牌非黑杰克，则庄家收取玩家保险金，之后玩家选择要牌或停牌继续游戏；g) 双倍下注：玩家在拿到前两张牌之后，可以再下一注与原赌注相等的赌金，然后只能再拿一张牌。如果拿到黑杰克，则不许双倍下注。二问题重述：问题一：你作为一位参
7、与者，讨论一般情形下，如何做出要牌或者不要牌的决策。（可对已经进行的牌局建立适当的假设。）问题二： 21点还有很多附加规则，比如一开始的两张牌正好是一张A和一张10点的牌（加起来刚好21），这就称为 Blackjack；如果别人也达到了 21 点，Blackjack 还可以更胜一筹。如果前两张牌点数相同，玩家还可以把牌分开，相当于一个玩家在充当两个玩家的角色，这种玩法就叫做“分牌”。试讨论在附加规则下，如何做出自己的决策。三问题分析：问题一：由题可知，问题一中的规则较少，只考虑了在一般情况下，玩家与庄家进行21点游戏时，首回合各发两张牌及以后几个回合中，玩家选择继续要牌或是停牌的决策。而制定此
8、决策需要考虑要牌与停牌条件下玩家取胜的概率，因此可以选用枚举法和迭代法的方法进行概率的计算，并比较大小从而得出结论。问题二的分析：问题二较问题一添加了诸多规则，最终制定决策时需要分别考虑对应规则下的决策。其中需要用到概率的计算、期望的计算等数学方法。在依次确定相应规则下的决策后进行统一规划，即可得到此问题的结论。四模型假设：1. 游戏中有多副扑克牌，即抽到每张牌的概率相等；2. 庄家发牌时，首回合玩家为两张明牌，庄家一张明牌一张暗牌，以后由玩家与庄家选择要牌或停牌；3. 游戏中，若庄家获胜，则所有玩家全部赌金给庄家；若某一玩家获胜，则庄家的赌金给该玩家，其余玩家的赌金归于庄家；4. 若庄家与玩
9、家点数之和相同，则打平，取回各自赌金；5. 庄家手牌点数之和等于或小于16必须继续要牌，手牌之和大于16则必须停牌；五定义与符号声明：表格 1：x庄家明牌点数；y庄家在明牌确定后抽到的牌为y；H首回合玩家手牌点数之和；F(a)当前点数之和为a时继续抽牌爆牌的概率；G(a)庄家得到点数之和为a的手牌的概率；P(H)玩家要牌获胜的概率；P(S)玩家停牌获胜的概率；P(B1)庄家爆牌的概率；P(B2)玩家爆牌的概率；P(VS)玩家点数之和大于庄家点数之和的概率；P1玩家要牌且庄家爆牌的概率；P2(i)(i=1,2,3,4)玩家在要牌比较点数时情况i所对应的概率；a(x,y)x与y的二维数组；E1、E
10、2玩家的收益期望；PS(yes)、PS(no)玩家分牌与不分牌获胜的概率；M庄家牌面点数；N玩家手牌点数；D赌金六模型的建立与求解： (一).问题一模型的建立与求解：根据问题一的假设6，庄家手牌点数之和等于或小于16必须继续要牌，手牌之和大于16则必须停牌；可知，庄家要牌或停牌已由游戏规则确定，所以主要针对玩家是否要牌进行分析。玩家在停牌的情况下，假定玩家手牌点数之和为12。若庄家手牌点数之和大于16，庄家停牌，庄家胜；因此，只有在庄家点数之和等于或小于16时，庄家要牌且爆牌时玩家方能获胜；玩家在要牌情况下，有如下两种情况可以获胜：(1) 玩家没有爆牌但庄家爆牌；(2) 玩家与庄家都没有爆牌但
11、玩家点数大于庄家点数取胜。在确定玩家要牌与停牌获胜情况后，对概率P(H)、P(S)进行如下两种方法的计算：1.迭代法2：(1).玩家停牌的情况下，由上述分析知只有在庄家要牌且爆牌的情况下才能获胜。此时对庄家抽牌情况可进行以下分析:若庄家点数之和为16，抽到牌点数为6到10的牌会爆牌，则： 若庄家点数之和为15，抽到牌点数为7到10会爆牌，此概率为7/13，而抽到A又可规划为点数之和为16的情况，则：若庄家点数之和为14，抽到牌点数为8到10会爆牌，此概率为6/13，而抽到A和2又可规划为点数之和为16的情况，则：同理，可计算出H14到H6的爆牌概率。当点数之和为5时，情况又有所不同，A可算为1
12、1点，此时,再进行H2到H5的计算，得到计算结果如下表格：表格 2点数和F(HX)0.615380.585800.55394 0.51962 0.48267 0.21211 0.21211 0.22843 0.24474 0.26231 0.42315 0.43650 0.41436 0.39496 0.37569 则可知当庄家牌面点数为6时停牌获胜概率P(S)=F(H6)=0.4231.(2).如果玩家没有停牌，而继续要牌的话，这时想要获胜，同上述两种情况。在玩家没有爆牌但庄家爆牌而获胜的情况下，概率： 现在来考虑比较玩家点数之和大于庄家点数之和的获胜情况：如果庄家第一张牌点数为2，此时由于
13、庄家的暗牌未知，则可视为待庄家抽取的牌，则.如果庄家手牌点数之和为3，则为H2的情况下抽取到A牌，即： 同理，可算出的值，在计算过程中仍然要考虑A为11点的情况。计算结果如下：表格 3牌面点数和234567891011G(H2)1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H3)0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H4)0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.
14、000 G(H5)0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H6)0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H7)0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 G(H8)0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 0.000 0.000 G(H9)0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0
15、.083 0.077 1.000 0.000 0.000 G(H10)0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 0.000 G(H11)0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 1.000 G(H12)0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 0.077 G(H13)0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 0.083 G(H14)0
16、.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 0.089 G(H15)0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 0.096 G(H16)0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 0.103 G(H17)0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 0.120 0.111 G(H18)0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0
17、.381 0.139 0.129 0.120 G(H19)0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 0.129 G(H20)0.137 0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 0.139 G(H21)0.130 0.137 0.143 0.149 0.155 0.149 0.143 0.136 0.197 0.381 在这种情况下，若玩家通过比较点数大小取胜，有以下四种情况：情况一：玩家为21点，庄家为20到17点；情况二：玩家为20点，庄家为19到17点；情况三：玩家为1
18、9点，庄家为18到17点；情况四：玩家为18点，庄家为17点。以情况四的计算为例：由上述内容可知，当玩家点数之和为12，若想抽牌后为18点，则等同于玩家点数之和为2，抽牌后变为8点，因此概率为，而庄家拿到17点的概率为，则情况四的概率 若想抽牌后为19点，则等同于玩家点数之和为2，抽牌后变为9点，因此情况三的概率同理，可得到：因此，在玩家手牌点数之和为12，庄家第一张牌为6的情况下玩家选择要牌时获胜的概率：则：P(S)P(H)，选择停牌为最优策略。据此推广，可得在庄家牌面为2至11的情况下概率P1、P2、P(H)、P(S)值为下表：表格 4牌面点数和P1P2P(H)P(S)20.187780.
19、204320.39210 0.3756930.197410.215220.41262 0.3949640.207110.191410.39851 0.41436 50.218170.185070.40324 0.43650 60.178980.193100.372080.42315 70.131110.323200.45431 0.26231 80.122330.289240.41157 0.24474 90.114170.248210.36238 0.22843 100.106020.200500.306510.21211 110.106020.156350.26237 0.21211 从上
20、表可直观比较出P(H)与P(S)在庄家不同牌面时大小，从而可得出结论，但这种方法虽然计算量较小，思路清晰，但模型中对A牌的情况考虑充分，所以采用枚举法对模型进行优化。2.枚举法3：利用枚举法计算庄家在明牌为x的情况下，拿到y的概率。y值所对应的庄家情形为：表格 5Y171819202122庄家情形17点停牌18点停牌19点停牌20点停牌21点停牌爆牌将概率记为。根据全概率事件公式：计算庄家不同情形下的概率：表格 6171819202122112.62%12.62%12.62%12.62%38.07%11.46%213.80%13.25%12.66%12.02%13.95%34.33%313.2
21、8%12.77%12.24%11.63%12.66%37.42%413.08%12.62%12.12%10.57%11.95%39.68%512.14%12.14%11.69%11.19%11.15%41.68%616.48%10.57%10.57%10.12%9.89%42.35%736.82%13.74%7.82%7.82%7.52%26.27%812.83%35.91%12.83%6.92%7.01%24.51%911.99%11.99%35.06%11.99%6.12%22.87%1011.14%11.14%11.14%34.21%11.15%21.23%利用相同方法，计算玩家不同情形
22、下胜率：(1) 玩家没有爆牌但庄家爆牌的概率：(2) 玩家与庄家都没有爆牌但玩家点数大于庄家点数取胜，即则，玩家获胜的概率当玩家手中出现A时，且其以软点数考虑时，即我们可以把A当1或11计算，此时我们根据不同情况可得以下结果：表格 7MN1234567891011121321停停停停停停停停停停停停停20停停停停停停停停停停停停停19停停停停停停停停停停停停停18停停停停停停停停停停停停停17要停停停停停停停停停停停停16要停停停停停要要要要要要要15要停停停停停要要要要要要要14要停停停停停要要要要要要要13要停停停停停要要要要要要要12要要要停停停要要要要要要要11要要要要要要要要要要要要
23、要10要要要要要要要要要要要要要9要要要要要要要要要要要要要8要要要要要要要要要要要要要7要要要要要要要要要要要要要6要要要要要要要要要要要要要5要要要要要要要要要要要要要4要要要要要要要要要要要要要3要要要要要要要要要要要要要2要要要要要要要要要要要要要A，11停停停停停停停停停停停停停A，10停停停停停停停停停停停停停A，9停停停停停停停停停停停停停A，8要停停停停停停停要要要要要A，7要要要要要要要要要要要要要A，6要要要要要要要要要要要要要A，5要要要要要要要要要要要要要A，4要要要要要要要要要要要要要A，3要要要要要要要要要要要要要A，2要要要要要要要要要要要要要 (二).问题二模型
24、的建立与求解4：1. 保险的决策：玩家是否买保险的决策可根据计算不同情况下玩家获胜期望收益来决策。若玩家选择买保险：(1) 庄家手牌为黑杰克（概率为4/13），玩家收回保险金与赌金，期望；(2) 庄家手牌非黑杰克（概率为9/13），玩家输掉保险金，随后继续游戏获胜的概率设为A%，则期望；则，玩家获胜期望若玩家选择不买保险：(1) 庄家手牌为黑杰克，玩家输掉赌金，获胜期望；(2) 庄家手牌非黑杰克，玩家继续游戏，获胜期望；则，玩家获胜期望。由上述可知，决策为不买保险。2. 分牌的决策：分牌与否的决策可根据不同情况下玩家获胜的概率进行计算而制定。以玩家手牌为2张6，庄家牌面为2为例，分牌后每墩牌概
25、率的计算同问题一中玩家选择要牌情况下通过与庄家手牌比较大小获胜的概率计算相同，其中玩家不爆牌但庄家爆牌的概率；玩家与庄家都不爆牌但玩家点数大于庄家点数的四种情况概率依次为： 则可计算得到玩家获胜的概率： 而不分牌获胜的概率PS(no)=P(H)= 0.39210，通过比较可知PS(yes)PS(no)，选择分牌策略。同理，通过推广可得玩家相同手牌点数为其他值时分牌获胜的概率如下表：表格 210.123610.179300.3029120.218940.221830.4407730.230160.224070.4542340.241470.257430.4989050.254370.288970
26、.5433460.246590.376000.6225970.152860.373230.5261080.142620.331920.4745590.133110.292780.42589100.123610.228870.35247结合表5可得分牌决策如下表：（表示分牌）表格 3MN12345678910(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)(10,10)3. 双倍下注的决策：因为双倍下注只能拿一张牌，也就是说，双倍下注实际上是押注买一张牌的问题。因此，双倍下注的决策依据为拿到这张牌后的胜率，若胜率大于50%，则选择双倍下注，否则，不进行双
27、倍下注。获胜情况仍为上述两种情况(1) 玩家没有爆牌但庄家爆牌： (2) 玩家与庄家都没有爆牌但玩家点数大于庄家点数取胜情况一的计算方法与问题一中的计算方法一致，而情况二则略有不同，以手牌点数和为11时为例利用枚举法计算取胜概率表格4 MN2345678980.446810.464080.461220.489540.499990.423860.327550.2888390.499830.534710.549270.565760.577490.499960.470520.37088100.593850.615090.630860.644910.658430.621610.581590.52379
28、110.625480.648200.665350.680680.692750.654500.613090.56923120.374890.388990.400390.411890.418400.376120.340890.30373130.345990.358610.368510.378310.385850.355940.322060.28615从表格中可观察到：当玩家手牌点数之和小于8时或大于12时，押注拿牌获胜的概率总小于50%；点数之和为9时，则伴随庄家手牌点数变化而变化。从上表可得到玩家双倍下注的决策如下表：表格 5 MN234567891011H18单单单单单单单单单单H17单单单单
29、单单单单单单H16单单单单单单单单单单H15单单单单单单单单单单H14单单单单单单单单单单H13单单单单单单单单单单H12单单单单单单单单单单H11双双双双双双双双双单H10双双双双双双双双单单H9单双双双双单单单单单H8单单单单单单单单单单H7单单单单单单单单单单H6单单单单单单单单单单H5单单单单单单单单单单H4单单单单单单单单单单 MN234567891011（1,2）单单单双双单单单单单（1,3）单单单双双单单单单单（1,4）单单双双双单单单单单（1,5）单单双双双单单单单单（1,6）单双双双双单单单单单（1,7）单双双双双单单单单单（1,8）单单单单单单单单单单（1,9）单单单单单单
30、单单单单（1,10）单单单单单单单单单单根据上述过程，可得最终决策为如下示意图：（横向代表玩家手牌组合或点数和，纵向代表庄家明牌点数）注：图标含义： ：分牌； ：停牌； ：双倍下注； ：要牌；4.通过算牌来辅助是否要牌与投入赌金的大小：(1).设52张牌出现的概率始终相同，也就是说每张牌都是从一个无穷多副牌组成的牌盒里抽出来的，或者说前面出过的牌不影响后面的牌，换句话说，每张牌相互之间都是独立的。显然，不可能有这样的由无穷多副牌组成的牌盒，前面出过的牌总会影响后面的牌。在算牌法刚出现的时代，赌场仍然使用一副牌来玩二十一点，那么这个影响就更明显。比如，发牌员发出牌来，你拿到两个10（包括J、Q、
31、K），庄家亮牌也是10，翻出底牌来还是10，那么下一轮里10出现的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低于4/13。同样的，其他点数出现的概率也已不再是1/13，而是1/12。像轮盘赌这类游戏，每次轮盘转出什么结果，和上一次完全没有关系。还有牌九这类游戏，每玩过一轮，就重新洗牌。这些游戏里，每把赌博之间都是互相独立的。而二十一点的各把之间，在重新洗牌之前，不是独立的。前一把出现了什么牌，会影响到下一把。因此，如果我们能记住前面出过什么牌，就能大致预测以后的赌局走势，从而调整自己的赌注，在对自己有利时下大注，在对庄家有利时下小注或不下注，就能在这个游戏里占到优势。(2).通过“高低
32、法（High-Low）”建立算牌模型：在游戏过程中，我们把每一张出现的2，3，4，5，6都算1点，7，8，9算0点，10，J，Q，K，A算1点，将各点相加，结果越大，就表示前面出现过的小牌越多，对玩家越有利。反过来，如果结果是个负数，就表示前面出过的大牌比小牌多，对庄家有利。比如前面出现的牌是：4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7 ，那么点数就是4张小牌减7张大牌，是3。当然，在游戏过程中，你不可能叫庄家把牌局暂停，让你从容加减。你必须在每张牌出来时，就在心里默算点数。比如在上面的例子里，从第一张牌出现开始，你就应该在心里默算出：1，1，0，1，0，1，-1，2，3，2，
33、1，2，3，3。在实际运用中，还可以采取两张牌一计的技巧，因为庄家发牌时一般速度较快，这样可以方便地把很多同时出现的大牌和小牌抵消不计，提高了算牌速度，减少了可能的计算错误。比如在上面的例子里，如果两张牌一计，那就是：1，1，1，2，2，2，3。如果是一副牌，3已经是很糟糕的点数了，这时应该下最小注，或者停止不玩。不过一般来说，现在的赌场都使用六到八副牌，那么在六副牌312张牌内，发出14张牌，还剩298张牌，平均每副牌的点数是(3)52/2980.5，还算可以忍受。显然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌从开始发牌到洗牌的过程，这一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副数的牌）的开始，由
34、于大部分牌还未发出，因此平均点数总是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多时，平均点数才可能比较显著地偏离0。所以算牌手在算牌时都会寻找合适的赌桌，一方面要找人少的桌子，因为人越少，你在单位时间内玩的次数越多，实际收益才会更逼近期望值；另一方面要找切牌少的发牌员，因为该切多少牌，赌场只有个大概的规定，具体执行还是要靠发牌员的觉悟，所以同一家赌场里，不同的发牌员切出的牌来常会差很多。(3).如何调整赌注：在点数变大时，该怎么提高赌注，每个算牌手都有自己的习惯和算度。贝尔实验室的J.L.Kelly推导出，在理论上，如果你占A的优势，本钱总数为R，那么最优赌注是B = A * R。比如你有一万块钱的本钱，
35、现在你占1%的优势，那么就应该在这把压下一百块钱。这种下注法称为“Kelly法”，是在理论上可以获得最大回报的方法。但在实践中，只可视为下注时的上限。在点数为0或负数时，玩家应当下最小赌注。当然，最好是干脆不玩，坐等点数变正。最后，如果赌场认为您在算牌，它可能会采取措施。在美国没有地方规定算牌是违法的，但在内华达州，法庭认为赌场作为私人俱乐部有权强制执行它们自己的规则，并且赌场可以禁止算牌者参与赌博。在其他州，不能禁止玩家玩游戏，但赌场可以在游戏中取出更多的牌，从而使算牌术不那么准确。在线21点游戏的一大优势就是，没有了背后咄咄的目光，更从容的使用所有的基本策略和算牌法，从而最大限度的削弱在线
36、赌场的优势，赢取赌金。综上所述，21 点是真正的技巧游戏，各位玩家不妨看看以下表格的数据：表格 6庄家优势普通玩法3-5%基本策略0.5%算家负数以上表格表明，玩家采用了基本策略以后，庄家优势从3-5%降低为0.5%，而玩家采取算牌术时，优势则从负数变为了正数。七模型的评价与推广：1.模型的优点：(1).本文在正确清晰的理解题意的基础上，建立了科学合理的数学模型；对与问题一，我们科学合理的确定21点游戏规则的基础上，然后利用枚举法以及全概率公式，建立了我们的21点是否要牌模型，巧妙地解决了所问问题；对于问题二，我们又将黑杰克、分牌、算牌、双倍下注等情况纳入考虑范围，分别讨论在不同情况下庄家与玩家的决策情况，是文章具有可读性；整体来看，本文考虑的情况更全面，消除了模型的局限性，使模型更具有普遍性与实用性。(2).应用正确处理数据的方法，使结果真实可靠；(3).模型的可推广性较强，可应用到其他博彩项目中；(4).模型中应用迭代法计算概率，大大减少计算量。2.模型的缺点：(1).模型中，枚举法虽然适用，但由于计算量较大，会加大工程量；(2).模型虽然考虑大多数情况，但还是有例如投降等情况会漏掉。3.模型的推广：本模型虽然存在一些不足之处，但是得到的结果还是较为合理的。本模型还可以用于
