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1、摘要 在求两个或多个随机变量和的分布时，需要用到卷积公式，如果要求相互独立的随机变量和的分布时，就要算次卷积，这是一件比较麻烦的事情，经过不断地探索和研究，终于发现特征函数这个工具，它在解决独立随机变量和的分布时，显得锐利有力。本文系统总结了随机变量特征函数的性质，研究了各种常见分布的特征函数，并给出了利用特征函数计算数字特征的方法，并进行了实例计算。另外根据特征函数的反演公式与唯一性定理，讨论了特征函数在证明辛钦定律及强大数定律中的应用，同时利用特征函数的性质推出两种常见的重要分布。另外，本文利用特征函数还解决了一些非概率问题，如在实变函数中的应用和在数学分析中的应用等，即特征函数是很常见的
2、，且是很好用的工具，能够帮助我们在解决复杂问题中找到捷径。关键词：随机变量；分布函数；概率密度函数；特征函数；再生性AbstractWhen solve the problem of the distribution of two or more variables, we need use the convolution formula. If we need to solve the problem of the sum of the mutually independent random variables, we need work out the convolution, and t
3、hat will be vary inconvenient. Through continuous exploration and research, finally we find the Eigen function. It is special sharp and strong when solves the problem of the sum of mutually independent random variables. This paper summarizes the property of the characteristic function systematically
4、, studies the characteristic function of a variety of common distribution，and giving the calculation of numerical characteristic with the characteristic functionOtherwise， with the inversion formula and the uniqueness theorem of the characteristic function，I discussed the application in Khintchines
5、law and strong law of large numbers，at the same time，with the characteristic function，I give two important probability distributions. This paper also solves some problems on non probability, such as in the application of real variables function and the application of mathematical analysis. So the Ei
6、gen function is vary common and useful because it help us find the easy way when solve the hard problem. Key words: random variable；distribution function；probability density function；characteristic function；reproducing property 目录一、 绪论-1 1.1 研究背景-1 1.2特征函数的重要性来源-1二、 预备知识-1 2.1特征函数定义-2 2.2 特征函数的性质-2
7、2.3特征函数的相关定理-4 2.4反演公式与唯一性定理-4三、 特征函数的应用-5 3.1几种常见随机变量的特征函数-5 3.2特征函数在某些大数定律中应用-6 3.2.1特征函数在证明辛钦大数定律中的应用- 63.2.2特征函数在强大数定理中的应用-7 3.3特征函数在恒等式证明中的应用-8 3.4利用特征函数求随机变量的期望和方差-9 3.5特征函数在数学分析中的应用-10 3.6.1在求定积分中的应用-10 3.6.2在级数求和中的应用-10 3.6特征函数在实变函数中的应用-12 3.7.1联系集合的极限运算与函数极限运算-12 3.7.2特征函数与可测函数的联系-12 3.7 特征
8、函数的逆转公式的应用-12 3.8 特征函数在证明随机变量序列的极限的分布上的应用-14 3.8.1证明几何分布在一定条件下收敛于指数分布-14 3.8.2证明伽玛分布在一定条件下收敛于正态分布- 15四、 随机变量的再生性-15 4.1 再生性概念及例子研究-15 4.2再生性的推广-16结论-18参考文献-19ContentChapter 1 introduction -1 1.1 background of the research-1 1.2imprtant reasons of the Eigen function -1Chapter 2 Preliminaries-1 2.1 De
9、finition of the Eigen function-2 2.2 Properties of the Eigen function-2 2.3 Correlation theorems of the Eigen function-4 2.4 Inversion formula and uniqueness theorem-4Chapter 3 Application of the Eigen function-5 3.1 Several common characteristic function of randomvariable-5 3.2 Application of chara
10、cteristic function in law of large numbers 3.2.1 Characteristic function in proving the application of the law of large numbers of Khintchine-6 3.2.2 Application of characteristic function in the strong law of large numbers-7 3.4 Application of characteristic function in proving the identities-8 3.5
11、 Using the characteristic function to work out the variables expectation and variance-9 3.6 The application of the characteristic function in the mathematical analysis-10 3.6.1 Application in solving the definite integral-10 3.6.2 Application in solving the series summation-10 3.7 characteristic fun
12、ction in the application of the real variable function-12 3.7.1 Link set limit operations and function limit operations -12 3.7.2 Contact of measurable function characteristic function-12 3.8 Application of reversing the formula of characteristic function-12 3.9 Application in distribution that rand
13、om variable sequence limit-14 3.9.1 The proving of geometric distribution converge to exponential distribution under certain conditions-14 3.9.2 The proving of gamma distribution converge to normal distribution-15Chapter 4 Reproducibility of z random variable-15 4.1 Regeneration concept and case stu
14、dies-15 4.2 Promotion of the regeneration-16Summary-18References-19一、 绪论1.1 研究背景概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，是研究和探索客观世界中随机现象的科学，其理论和方法在金融、经济和企业管理、保险、医学、工农业生产、军事、灾害预报甚至社会科学领域中有着广泛的应用。许多边缘学科，如信息论、决策理论、生物统计、金融数学以及精算理论等都是运用了概率论的理论和方法。如今科学迅猛的在发展，概率论的指导在寻求随机现象的统计规律性，检验、分析和预测随机现象、发展和变化等中的地位越来越重要。 由我们所学习的概率论课程可知，概率论
15、中的描述随机变量的统计规律的随机变量的分布函数是相对比较全面的，同时以分布函数为基础，随机变量的数字特征，运算性质等问题得到细致的讨论。但是，我们也会不约而同地发现有些工具，比如分布函数或者分布密度等，在部分问题上不能方便地使用。例如，在论述随机变量和的分布问题上，用分布函数是求卷积，而用特征函数就会被化成是简单的乘法计算；矩的计算问题上，用分布函数是计算积分，然而用特征函数是求微分；在极限定理的研究问题中，特征函数的重要作用显得尤为重要。特征函数不仅能够完全确定分布函数，同时，特征函数在对待独立随机变量和的分布和计算数字特征等地方都比分布函数方便许多，所以更有必要深入细致地研究清楚特征函数的
16、性质和作用。1.2特征函数的重要性来源首先，特征函数跟分布函数是一一对应关系，通过特征函数的某些性质，可以推知分布函数的相关性质，去除随机变量的特征函数，分布函数便容易得到。其次，独立随机变量及相关问题是概率论中的重点问题，用特征函数来研究这些问题比用分布函数简单和方便的多。最后，特征函数是有界连续的函数类别，在分析方面还是比分布函数好的。 二、 预备知识2.1 特征函数定义设在概率空间上我们定义了随机变量，是它的分布函数，的特征函数是的数学期望，其中，记作，即 总是存在的，因为对于任意，是单调有界的，所以说，任意的随机变量，它的特征函数总是存在的，而且，特征函数是实变量复值函数，同时， 故
17、如果是离散随机变量，概率分布为故， 如果是连续性随机变量，概率密度函数是，故， 跟随机变量的数学期望、方差和各阶矩一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同那么特征函数也相同，所以我们常称为某分布的特征函数.2.2特征函数的性质性质1： 在上是一致连续的，同时有， 和 成立（是的共轭.） 性质2： 设的特征函数是，那么的特征函数为，即 性质3： 任意，任意个实数，以及各复数，有 性质4： 设和的特征函数分别为，又和相互独立，那么的特征函数为 因为此性质，特征函数才能在概率论中魅力十足，由此可以用各自的特征函数相乘可求得独立随机变量和的特征函数.相比独立和的分布函数计算复杂性，使得特征函数更
18、加处于优势地位.性质5：分布函数的特征函数是实的偶函数的充要条件是分布函数对称（即）.性质6：设这个随机变量有阶矩存在，那么，它的特征函数可以微分次，并且，故有推论：如果随机变量有阶矩存在，那么它的特征函数可以作出下面的展开： .该性质的逆命题：特征函数在0点可微分次，即但是阶矩未必存在，其中随机变量有阶矩存在.2.3特征函数的相关定理定理1：若是特征函数，那么（1）；（2）；（3）（是正整数）；（4）也是特征函数.定理2：特征函数的凸组合仍然是特征函数.（补充定义：凸组合：假设，是一列特征函数，是离散分布列，所以有，那么称是特征函数的凸组合.）定理3： 如果函数和.都是同一个特征函数，充要条
19、件是.定理4：假设特征函数的模是可积的，即 那么特征函数所对应的分布函数属于连续型的，同时它的密度是 （2.3.4）定理5：相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。2.4 反演公式与唯一性定理（反演公式）：假设随机变量的分布函数是，特征函数是，那么当选取分布函数中的两个任意的连续点，记作，并且有，则 . （2.4.1）当时，按照连续性延拓性定义有 （唯一性定理）随机变量的分布函数由它的特征函数唯一确定.证明：假定表示分布函数的连续点集，的特征函数是，那么如果，反演公式（2.4.1）成为 上面的公式中令在中趋于，于是在每个上被唯一确定：任意 定理证明完毕.到此处，我们通过给出的特
20、征函数的定义与反演公式（逆傅里叶变换函数）建立了随机变量的分布函数和特征函数的一一对应关系，使得特征函数成为概率分布分析的又一重要工具. 三、 特征函数的应用3.1 几种常见随机变量的特征函数分布分布列或分布密度特征函数单点分布分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布伽玛分布卡方分布3.2 特征函数在证明大数定律中的应用3.21 利用特征函数证明辛钦大数定律定理3.2.1 设独立同分布的随机变量序列，同时那么就有.证明：是独立同分布的，故它们具有相同的特征函数，记作，由于存在，所以有.又因为是独立的，同时由特征函数的性质知道的特征函数是 是任意给定的， 因为是退化分布的特征函数，分布函数是
21、，由连续性定理可得的分布函数弱收敛到，是常数，那么就会有.3.2.2特征函数在强大数定律中的应用强大数定律：设随机变量序列，如果有常数序列，使得，称满足强大数定律. 定理3.3.1：设是一系列独立同分布的随机变量，其中，那么弱收敛于标准正态分布.证明：由于的二阶导函数存在且有界，故有连续的二阶导函数，将在0点泰勒展开，即 当时，所以 又当， 所以 故由特征函数的唯一性定理可以得出弱收敛到标准正态分布.3.3特征函数在恒等式证明中的应用例3.3.1：试证：证明：设二项分布： 那么会有 所以 但是 取 有 例3.3.2：证明：证明：利用傅里叶变换计算是很复杂的，据分析，恒等式左边的被积函数类似柯西
22、分布的密度函数，右边类似柯西分布的特征函数，所以用特征函数相关性质进行证明.设，那么 故，只需要证明，便可以了.由于，令，即证，此式右边是柯西分布的特征函数，左边是柯西分布的密度函数，根据特征函数的性质和定义知道， 故有 3.4利用特征函数求随机变量的期望和方差例 3.4.1: 随机变量的分布函数是 ，求随机变量的期望和方差.解：根据随机变量的分布函数可以求出该随机变量的密度函数是， 所以分布的特征函数是 又由于 所以 3.5特征函数在数学分析中的应用3.5.1在求定积分中的应用 定积分的求解过程中，如果定积分的某一部分正好是某一随机变量的密度函数或者能够通过部分拼凑能够使得被积函数的一部分转
23、化成为某一随机变量的密度函数，我们能够假设对应的随机变量，进一步可以把求积分的问题转化成为求随机变量的特征数的问题，接着我们便能够利用特征函数求出随机变量的对应的特征数，进而求得积分值，我们也可以根据常用分布的期望和方差直接带进方程求解.例3.5.1.1：求积分.（利用特征函数）解：设是服从的随机变量，是它的密度函数，那么它的特征函数是所以 故 由特征函数的性质知道， 又 所以 即 3.5.2特征函数在级数求和中的应用在此，解决问题的逻辑思维与上面是相似的，只是在下面构造的随机变量只能是离散的而不能是连续的.例3.5.2.1： 求级数和级数解：设几何分布的随机变量，且，那么 所以，根据特征函数
24、的性质得到， 又 所以 取,整理得到： 取，整理得到： 3.6特征函数在实变函数中的应用通过实际的例子讨论了如何利用特征函数实现集合和函数之间，以及测度与积分之间的转换问题.实变中的特征函数是以集合定义的函数，利用特征函数可以把集合之间的关系转换为数量关系，它沟通了测度与积分之间的联系，使得实变中某些测度和积分问题化难为易，在实变中起到很重要的作用.下面我们分两个部分探讨了特征函数在实变中的重要应用.3.6.1特征函数联系集合的极限运算与函数极限运算. 如下的定理特征函数架起了集合极限运算与函数运算的桥梁.定理：设是一集合列，那么（1），（2）.定理表明通过特征函数能够很巧妙地把集合的极限和函
25、数的极限联系起来.3.6.2特征函数与可测函数的联系首先，可测函数是积分的积分函数，用可测集表示，连续函数一定是可测的，反之不然。可测函数式连续函数的推广。可测集上的特征函数是可测的函数。其次，特征函数能够表示一类特殊的可测函数简单函数，特征函数的线性组合就是简单函数。最后，简单函数可以表示任何的可测函数。特征函数和可测函数的关系图： 特征函数（线性组合）简单函数可测函数3.7特征函数的逆转公式的应用 例：设是连续随机变量，密度函数是（1） 证明特征函数；（2） 利用上述结果和逆转定理证明 证明：（1）的特征函数是 故 （3） 设连续型随机变量的分布函数是，那么它的逆转公式是 那么 所以 取，
26、带进去，得到 3.8 特征函数在证明随机变量序列的极限的分布上的应用3.8.1 特征函数在证明几何分布在一定条件下收敛于指数分布上的应用 例：设随机变量服从几何分布，参数，证明依分布收敛于，其中服从指数分布.证明：随机变量的特征函数 的特征函数是 当时，上式收敛于.根据连续性定理，依分布收敛于，其中服从参数为的指数分布.3.8.2 用特征函数证明伽玛分布在一定条件下收敛于正态分布 用特征函数证明其它分布收敛于正态分布是非常方便的，比如概率课本上的中心极限定理、辛钦大数定律，都是用特征函数来证明的。例：设随机变量，试证当时，随机变量按分布收敛于标准正态变量. 证明： 令，那么由的特征函数，两边取
27、对数，并将展开为级数形式，可得 所以 然而是的特征函数.由特征函数唯一性定理及判断弱收敛的方法知结论成立。 四、 特征函数的再生性通过利用随机变量的特征函数对随机变量的再生性问题记性了进一步讨论，再生性问题实际上是两个独立随机变量的卷积问题，通过特征函数可以简化再生性问题，通过几种常见分布再生性问题的研究，对我们掌握随机变量的性质、分布函数、分布函数和特征函数的相互关系意义重大。4.1 再生性概念及例子研究如果随机变量满足如下性质：个独立的具有相同分布的之和的分布类型不变，那么就称随机变量具有“可加性”或“再生性”。例4.1.1：证明二项分布关于有再生性。证明：设有个相互独立的随机变量 ，分别
28、服从， 它们的特征函数分别是：. 当时，即，由定理5知道，故 又分布函数是由特征函数唯一决定的，即两个不同的分布函数是不可能有相同的特征函数的，因为的特征函数是，那么一定服从二项分布。当时，即，那么服从的二项分布，当时，即，有定理5知道，和是相互独立的，由得结果知道， 由性定理得到，一定服从二项分布由再生性定义知道，二项分布关于参数有再生性4.2 再生性的推广定理4.2.1 ：是个相互独立的随机变量，都服从同一分布 ，如果它们的特征函数形式是： 是的线性函数，是的线性函数，如果，且的分布函数是，那么这个分布同时关于这三个参数具有再生性。证明：个分布的特征函数分别为： 故 因为和都是线性的，故
29、所以 由定理的唯一性定理知道，服从分布，由再生性的定义知道，分布关于参数同时具有再生性。 结论特征函数虽然不如分布函数直观，但是它的的分析性质是很棒的，在处理独立随机变量的问题上起到很重要的作用，而且可以完全决定分布函数，与分布函数是一一对应的，在生活中和学习上应用广泛、方便，用连续随机变量密度函数的傅里叶变换，即随机变量的特征函数来表述连续型随机变量，能给研究问题带来极大的便利，是一项好工具。 参考文献【1】 魏宗舒等.概率论与数理统计教程M.北京.高等教育出版社.1983:198-206【2】 绕贤清、马江山.特征函数与强大数定律J.上饶师范学院学报，2001，21,3【3】 黄梦莉 刘颖
30、良.随机变量的再生性J.江西广播电视大学学报，2004,1,1【4】 王志刚 胡陨峰.随机变量数学期望与方差j.海南大学学报自然学科，2009,27,4【5】 侯友亮.实变函数论M.武汉:武汉大学出版社，2008.【6】 周民强.实变函数解题指南M,北京：北京大学出版社，2007【7】 华东师范大学数学系.数学分析（下）M.高等教育出版社，2005：187-188【8】 汪嘉冈.现代概率论基础M.上海：复旦大学出版社，1998【9】 王梓坤.概率论M.北京：人民教育出版社，1964【10】 复旦大学数学系.概率论M.北京：人民教育出版社，1979【11】 杜式文，李晋明，贺今.关于若干分布的特
31、征函数的探讨J.北京商学院学报，2000（增刊）：80-84【12】 赵舜仁.关于随机变量和的特征函数J.青岛建筑工程学院学报，2000,21,2【13】 王淑云.特征函数及其应用J.邯郸学院学报，2008,18,3【14】 胡适耕，刘金山，实变函数与泛函分析定理、方法、问题M.北京：高等教育出版社，2008【15】 许启明.通用特征函数的性质.陕西师大学报（自然科学），1993,21（1）:2325【16】 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.高等教育出版社，2004.【17】 李建林.复变函数与积分变换典型题分析解集M.西北工业大学出版社，2001:188190.致辞本研究及学位论文是在我的导师郝建民老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，郝老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。两年多来，郝教授不仅在学业上我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向郝老师致以崇高的敬意。
