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1、留数定理在定积分计算中的应用 引言在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理 1留数定义及留数定理1.1 留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：1.2 留数的定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设是由复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，
2、则定理1 （留数定理） 设在周线或复周线所在范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则 （1）证明:以为心，充分小的正数为半径画圆周（）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得，由留数的定义，有特别地，由定义得 ，代入（1）式得 2留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分2.1形如型的积分表示的有理函数，且在上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设，则，得 例1 计算解
3、: ，由于分母有两个根，其中，因此 2.2 形如型的积分此类积分计算时要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足以下条件才能适用(1)，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；(2)在半平面上的极点为（1，2，3，），在实轴上的极点为（1，2，3，）则有例2 计算解:取，孤立点为，其中落在上半平面的为，故。例3 计算解:由于，且上半平面只有一个极点，因此 2.3 形如型的积分定理2 （若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续，且在上一致成立，则证明:，使当时，有 于是 （2）这里利用了 以及利用若尔当不等式（）将（2）化为 即 例4 计算解:函数满足若尔当引理条件这里，函数有两
4、个一阶极点及，于是 2.4 形如和型积分定理3 设，其中和是互质多项式，并且符合以下条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3）则有 （3）将（3）式实虚部分开，就可用得到形如及的积分例5 计算解:利用以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得 例6 计算（）解 被积函数为偶函数，所以，设函数关系式为，它共有四个一阶极点，即（）得 （），因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是 ，故 结束语上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系解题时应视具体情况而定，有使用实积
5、分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理却能够得到很好的效果.待添加的隐藏文字内容3参考文献1钟玉泉.复变函数论M高等教育出版社，2004.2盖云英.复变函数与积分变换指导M科学出版社，2004.3王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解M中国时代经济出版社，2008.4王瑞苹.论留数与定积分的关系J菏泽学院学报,2005.5余家荣. 复变函数论M高等教育出版社，2004.6李红,谢松发.复变函数与积分变换M华中科技大学,2003.致 谢感谢培养教育我的宿州学院，学院浓厚的学术氛围，舒适的学习坏境我将终生难忘！祝母校蒸蒸日上，永创辉煌。 感谢对我倾囊相授、鞭策鼓励的诸位恩师及学长、学姐们，祝恩师们身体健康，家庭幸福，祝学长、学姐们都有一份好工作，财源滚滚，人生平安，感谢指导教师晋守博老师对我的指导。
