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1、第三章,中值定理与导数的应用,一、中值定理,二、洛必达法则,三、泰勒公式,四、函数的单调性与凹凸性,五、函数的极值与函数图形的描绘,六、弧微分与曲率,二、罗尔(Rolle)定理,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,一、费马(Fermat)引理,四、柯西(Cauchy)中值定理,第一节 中值定理,首先我们观察一个几何事实:,A,B,如果f(x)在(a,b)上可导，且在(a,b)的内点上存在极值点 1或2,即,换句话说在极值点处必有,则在曲线AB上至少存在一点C,在该点处的切线是水平的。,如右图所示,费马引理,的某邻域,内有定义，,如果对任意的,有,证,则对,有,从而,则,由此几何事实，我们
2、引出如下的费马定理：,费马引理,证,则对,有,从而,费马引理,证,则对,有,从而,由极限的保号性，,费马引理,证,则对,有,从而,由极限的保号性，,所以，,例1,分析,证,证:只须令,应用例1的结论.,罗尔(Rolle)定理,续，,且在区间端点的函数值,相等，,即,使,证,必存在最大值,和最小,值,若,则,故,都有,若,证,在,连续，,必存在最大值,和最小,值,若,则,故,都有,若,证,在,连续，,必存在最大值,和最小,值,若,则,故,都有,若,最值不可能同时在端点取得.,不妨设,使,有,故由费马引理知,证毕.,至少存在一点,不妨设,使,有,故由费马引理知,证毕.,至少存在一点,不妨设,使,有
3、,故由费马引理知,证毕.,至少存在一点,例如，,且,取,则有,几何解释:,A,B,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,易见函数,断,不满足闭区间连续的条件,1.,且,切线.,但显然没有水平,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,2.,我们在第二章第一节中已证明过,处是不可导的,因此不满足在开区间可导的
4、条件,且有,但是没有水平切线.,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,3.,在开区,间(0,1)内可导的条件,但,显然也没有水平切线.,对函数,罗尔定理的正确性.,验证,解,且,导,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.,解,因为,从而，,使,使,判断函数,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.,判断函数,解,使,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
5、,判断函数,解,使,是,的一个零点；,最多只能有两个零点，,内.,证,1的正实根.,设,连续,且,由零点定理,存在,使,即为方程的小于1的正实根.,设另有,使,证,1的正实根.,使得,但,导致矛盾,证,1的正实根.,证,的实数,试证明方程,作辅助函数,满足,证,作辅助函数,证,作辅助函数,显然,故由罗尔定理知,存在一点,使,续,至少,即,且,证明:,存在,证,从结论倒推分析知,可引进辅助函数,由于,罗尔定理条件,且,因此,使,且,证明:,存在,证,因此,使,且,证明:,存在,证,因此,使,即,因,所以,证,导,且,若存在常数,使得,试证至少存在一点,使得,因,不妨设,又因为,所以,连续,证,不
6、妨设,连续,证,在,和,上,连续,设,异号,所以,至少存在一点,使,至少存在一点,使,显然满足,罗尔定理的三个条件,所以至少存,在一点,使,再证例1,练习 1,分析,练习 2,证明,例8,分析,思路归纳：,在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常需要构造辅助函数F(x)。,如何构造？是否有一般的思路和方法？,分析下面的例子：,如何构造辅助函数F(x)，来证明如下的问题,问题,再看一个几何事实:,如右图所示,拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理,内至少有一点,使得,分析：,条件中与罗尔定理相差,几何图中,函数值相等.,则在,拉格朗日(Lagrange
7、)中值定理,于是,若作辅助函数,存在一点,使,即,拉格朗日(Lagrange)中值定理,内至少有一点,使得,则在,拉格朗日(Lagrange)中值定理,存在一点,使,即,拉格朗日(Lagrange)中值定理,存在一点,使,即,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,注:,拉格朗日公式,的增量,精确地表达了函数在一个区间上,与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日(Lagrange)中值定理,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,拉格朗日(Lagrange)中值定理,或,由此可证得定理.,拉格朗日中值公式,则有,即,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,拉格朗日(Lagrange)中值
8、定理,即,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,当x0时，=(-x0)/x,拉格朗日(Lagrange)中值定理,即,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论1,推论1表明:,导数为零的函数就是常数函数.,这一,结论以后在积分学中将会用到.,由推论1立即可得：,推论1,如果函数,那么,证,在区间,上,得,由假设,于是,的函数值都相等，,应用拉格朗日中值定理，,任意点处,拉格朗日(Lagrange)中值定理,推论1,推论1表明:,导数为零的函数就是常数函数.,这一,结论以后在积分学中将会用到.,由推论1立即可得：,推论2,解,验证函数,格朗日中值定理,故满足拉格朗日中值定理的条件.,则,即,故,证
9、,证明,设,即,又,证,设,足拉格朗日中值定理的条件.,故,从而,又由,证,证,即,证,且,单调减少,试证:,对于,恒有,有,故不等式成立.,使,证,在,上应用拉氏定理知,使,所以,证毕.,单调减少,例11,证明：,拉格朗日中值定理证明方法的探讨,证明了结论,前面我们通过构造辅助函数,点,使得,我们能否借鉴这种证明思路，来推广证明存在一,(c为常数),的命题。,通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）,欲证,只需构造如下的辅助函数,“一次多项式”,要证,猜想只需构造如下的辅助函数,“二次多项式”,要证,只需构造如下的辅助函数,“三次多项式”,而构造辅助函数F(x)的目的是将对它应用罗尔定理。
10、,构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。,要证,F(x)需要满足如下的条件：,F(x1)=F(x2)=F(x3)或,要证,需要F(x)要有四个函数值相等,即,F(x1)=F(x2)=F(x3)=F(x4)或,如何确定F(x)中的多项式函数呢？,存在三个点x1,x2,x3,使得,而这些条件，正是确定辅助函数F(x)中的多项式函数的依据和条件。,例 设,在,上具有三阶连续导数,且,证明：在,内至少有一点,使,分析：构造三次多项式,其中：,此时有,再令,即,从而,为了确定b,c,需再补充条件,故所求的三次多项式为,证明：,令辅助函数,显然有,由此条件得,在,为了确定b,c,需再补充条件,上对
11、F(x)应用罗尔定理，便得到,使得,即,注：此方法还可用来证明类似,使得,故,而,两次,在,上分别对导函数,于是便得到,亦即,应用罗尔定理，便知存在,的命题。,柯西(Cauchy)中值定理,柯西(Cauchy)中值定理,且,有一点,使得,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,一点,使得,即,证毕.,显然,柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,一点,使得,证毕.,显然,柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,一点,
12、使得,证毕.,显然,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.,几何解释:如图可以看出：,把平面曲线方程写成,参数方程的形式,其中x为参数方程。,在曲线弧AB上至少有一点C(F(),f(),在该点处的切线平行于弦AB.,解,验证柯西中值定理对函数,函数,连续,且,由于,解,由于,解,由于,令,得,取,成立.,这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间,上的正确性.,则等式,分析,导.,试证明至少存在一点,使,结论可变形为,证,作辅助函数,条件,使,导.,试证明至少存在一点,使,证,作辅助函数,条件,使,即,导.,试证明至少存在一点,使,证,作辅助函数,条件,使,内容小结,中值定理的条件和结论,名称,条件,结论,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,(3),使得,使得,使得,1.,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,2.,则有点,使,课堂练习,1.,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,解,例,不满足在闭区间上连续的条件.,不存在任何一点，,使函数在该点的导数等于零.,又例,且,不满足在开区间内可微的条件.,在开区间,内不存在任何一点，,使函数在该点的导数等于零.,2.,则有点,使,解,构造辅助函数,从而有,使,代入得,即,
