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1、二次根式,课题,学习目标,1、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简.2、能够比较熟练地进行二次根式的运算.3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际 问题.,学习目标,二 次 根 式,概念,性质,运算,知识回顾,知识回顾,一、二次根式的意义,二、二次根式的性质,四、反思提升,三、二次根式的运算,一、二次根式的意义,你能说说对二次根式 的认识吗?,2.a可以是数,也可以是式.,3.形式上含有二次根号.,1.表示a的算术平方根.,注:正确理解和运用二次根式的概念是学好本章的关键之一.,一、二次根式的意义,例1、下列各式中哪些是二次根式？哪 些不是？为什么？,思路启迪:二次根式应同时具备下列三
2、个条件：(1)含有根号；(2)根指数是2；(3)被开方数是非负数.,典型例题,典型例题,例2、x取何值时,下列二次根式有意义?,解:,思路启迪：判断二次根式是否有意义的基本 依据是:被开方数为非负数；分母不等于零。,典型例题,例3、二次根式的非负性的应用.,1、已知：+=0,求 x-y 的值.,2、已知x,y为实数,且+3(y-2)2=0,则x-y的值为()A.3 B.-3 C.1 D.-1,解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0,解得 x=4,y=-8,x-y=4-(-8)=4+8=12,D,典型例题,解：x-1=0 且 y-2=0；x=1 y=2,点评：初中阶段，课本中出现的三种非负
3、数已全部学完这三种非负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根利用非负数的意义求值，是解决代数式求值问题时常用的方法之一,x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.,及时反馈,及时反馈,二、二次根式的性质,二、二次根式的性质,1、与 区别：意义不同 表示a的算术平方根的平方，表示a的平方的算术平方根 a的取值范围不同(ao)；(a为任意实数)2、联系：当a0时，=a,3、积的算术平方根的性质,4、商的算术平方根的性质,二、二次根式的性质,注：正确理解和运用二次根式的性质是学好本章的关键之一.,计算:,典型例题,例1、,解：,思路启迪：利用 可以把二次根式化简,典型例题,例2、把下列各
4、式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；,典型例题,思路启迪：利用 可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式,例2、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式；,典型例题,化简:,思考:,解:,典型例题,例3、,思路启迪：利用 可以把二次根式化简,若x0呢？,典型例题,例4、化简:,3,把a-3当做整体,化简形如 的二次根式，首先把 写成|a|的形式，再根据已知条件中字母a 的取值范围，确定其结果.,方法小结,化简形如 的二次根式的方法:,一定要注意a的取值范围,例5、判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(字母为正数),典型例题,思路启迪：根据最简二次根式的条
5、件来判断，不满足其中任意一个条件的，都不是最简二次根式,最简二次根式的三个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式；（2）被开方数不含分母；（3）分母中不含有根号.,典型例题,例6、化简(字母为正数),典型例题,例6、化简(字母为正数),思路启迪：若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因数或因式开出来,解：,典型例题,思路启迪：化去根号中的分母，可以将被开方数的分子和分母同乘以一个适当的数(或代数式)，从而使被开方数中的分母能够开的尽,这样也就将二次根式进行化简了.,典型例题,思路启迪：化去分母中的根号的关
6、键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号这个数(或代数式)叫有理化因式。分母的有理化因式不是唯一的，应学会选择最简单的.,典型例题,思路启迪：根据本题的特点，将分子分解因式，然后约分，这样化简运算简便,解、原式,解法二,方法小结,化二次根式为最简二次根式的一般步骤：(1)把根号内能开得尽方的因数(或因式)移到根号外；(2)化去根号内的分母(3)化去分母中的根号(又称分母有理化),1、计算,及时反馈,及时反馈,1、计算,及时反馈,答案：,2、把下列二次根化为最简二次根式.,及时反馈,3、化简下列各式：,及时反馈,4、若ab，则化简 的结果为（
7、）,A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b,D,3、实数 在数轴上的位置如图所示,化简:,1,及时反馈,5、实数 在数轴上的位置如图所示,化简:,6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，且，那么 等于（）A、2a-b B、2c-b C、b-2a D、b-2c,D,及时反馈,三、二次根式的运算,乘除,1、二次根式的乘法法则,2、二次根式的除法法则,二次根式的除法可以先转化为乘法,然后再按乘法法则进行运算.,三、二次根式的运算（乘除）,例1：计算(字母为正数),典型例题,典型例题,例2、计算,典型例题,点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”的法则进行计算,在进行二次根式的
8、加减运算时，首先要正确识别同类二次根式，关键是准确地化成最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，对于被开方数相同的最简二次根式可以类似合并同类项的方法，即把根号外的因式相加减，根指数和被开方数都不变。,三、二次根式的运算,加减,1、同类二次根式,几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.,2、二次根式的加减,（1）先化简，,（2）再合并.,三、二次根式的运算,加减,三、二次根式的运算（加减）,化简,例、计算(字母为正数),典型例题,合并,典型例题,例、计算(字母为正数)(提高题）,典型例题,点评：在进行二次根式的加减运算时，应注意：1、根号外的系数因
9、式需保留假分数的形式。2、化简后，被开方数不相同的二次根式不能合并；反之，能合并，若合并后的系数为多项式，需添括号。,1、混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的,三、二次根式的运算,混合运算,2、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用,三、二次根式的运算（混合运算）,例、计算,典型例题,典型例题,典型例题,例、计算,典型例题,例、计算,典型例题,例、计算（提高题）,典型例题,例、计算,点评：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，这样计算很方便,典型例题,例、计算,一样的类型，不一样的解法，应学会
10、选择。,点评：有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过化去分母中的根号进行运算,典型例题,例、计算,二次根式的混合运算，要注意：1、运算顺序；2、灵活运用运算法则；3、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；4、结果一定要化到最简。,方法小结,在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍,计算：,及时反馈,及时反馈,计算：,及时反馈,及时反馈,(),B,C,D,A,四、反思提升,D,四、反思提升,四、反思提升,解：,思路启迪：要将根号外的因式移入根号内，根据 移入根号里面的必须是非负数，可以将 a-1写成-(1-a)，将1-a平方后移入根号内，“”仍留在根号外面,2、,四、反思提升,若a为底,b为腰,此时底边上的高为,三角形的面积为,(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.,解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为,三角形的面积为,四、反思提升,点评：题目没有直接给出a和b的取值范围，但它隐含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键,四、反思提升,解,二 次 根 式,关键,关键,重点,小结思考,小结思考,思想方法,2、类比类比整式运算学习二次根式的运算,3、转化灵活运用二次根式的性质进行化简与 运算,1、分类二次根式、最简二次根式、同类二次 根式的识别,小结思考,
