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1、专项训练:抛物线的定义及简单几何性质一、单选题1已知抛物线（其中为常数）经过点，则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A B C D 2抛物线y=2x2的焦点坐标是（ ）A 0,14 B 0,18 C 18,0 D 14,03（北京市丰台区2018年高三年级一模数学）已知抛物线C的开口向下，其焦点是双曲线y23-x2=1的一个焦点，则C的标准方程为A y2=8x B x2=-8yC y2=2x D x2=-2y4（2017-2018学年湖南省长沙市第一中学高三高考模拟卷）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且|AK|=2|AF|,则AFK的面积为A 4 B
2、 6C 8 D 125已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为A 2 B 3C 4 D 56（2015新课标全国I文科）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=A 3 B 6C 9 D 127（2017-2018学年重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试）已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于A 18 B 14C 12 D 18（2016新课标全国II文科）设F为抛
3、物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=A 12 B 1C 32 D 29已知点A(4,m)在抛物线C:y2=2px上，设抛物线C的焦点为F，若|AF|=5，则p=A 4 B 2 C 1 D -210已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l.若射线y2(x1)(x1)与C，l分别交于P，Q两点，则()A B 2C D 511若抛物线y22px(p0)上的点A(x0， )到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A B 1C D 212已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点O为坐标原点若OAB的面积为1，则p的值
4、为()A 1 B C 2 D 413已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|()A 3 B 5C 6 D 1014若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A 2 B C D 15已知抛物线的焦点为，准线为，且过点， 在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 516设抛物线的焦点为F，直线l交抛物线C于A、B两点， ，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则A B 5 C 4 D 317已知抛物线y22px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线
5、上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A 4 B 8 C 16 D 3218抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点M(p ,0)，倾斜角为45的直线与抛物线交于A、B两点，若|AF|BF|10，则抛物线的准线方程为()A x10 B 2x10C 2x30 D 4x3019(2017兰州市模拟)以F(0， )(p0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2y22相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的方程为()A y22x B y24xC x22y D x24y20已知抛物线C：y28x的焦点为F，若点N(4,1)，P为抛物线C上的点，则|NP|PF|的最小值为( )A 9 B 8 C
6、7 D 621已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A y28x B y28xC y24x D y24x22已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p， p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于()A 1 B 1C 12 D 1323设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若，则的方程为（ ）A 或 B 或C 或 D 或24已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6， )，则|PA|PM|的最小值是 ( )A 8 B C 10 D 25抛物线 C1:y=12px2p0
7、 的焦点与双曲线 C2:x23-y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p=( )A 316 B 38 C 233 D 43326已知双曲线的离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的距离是（ ）A B C D 27已知抛物线的焦点为,、为抛物线上两点，若,为坐标原点，则的面积为（ ）A B C D二、填空题28已知抛物线y2=4x的焦点与圆x2+y2+mx-4=0的圆心重合，则m的值是_29已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.30（天津市河东区2
8、018届高三高考二模）抛物线y2=2px(p0)焦点为F，原点为O，过抛物线焦点垂直于x轴的直线与抛物线交于点P，若PO=35，则p的值为_31（2018年天津市河北区高三数学二模）若点P(m，23)在以F为焦点的抛物线y2=4x上，则PF等于_32设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为_三、解答题33（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，点A1,aa0是抛物线C上一点，且AF=2（1）求p的值；（2）若M,N为抛物线C上异于A的两点，且AMAN记
9、点M,N到直线y=-2的距离分别为d1,d2，求d1d2的值34（2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若斜率为-1的直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,求|AF|+|BF|的值;(2)过点M(m,0)(m0)作直线l与抛物线C交于A,B两点,且FAFB0)上的点M(x0,y0)到点N(2,0)距离的最小值为3.(1)求抛物线C的方程;(2)若x02,圆E:(x-1)2+y2=1,过M作圆E的两条切线分别交y轴于A(0,a),B(0,b)两点,求MAB面积的最小值.36已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P4,m到焦点的
10、距离为5.（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点Mt,4，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是否过定点？并说明理由.参考答案1D【解析】，过点，则，所以焦点到准线的距离是。故选D。2B【解析】分析：将抛物线方程化成标准形式，即可得到其焦点坐标.详解：抛物线y=2x的方程化为x2=12y,p=14，抛物线焦点在y轴上，焦点坐标为0,18，故选B.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及简单性质，意在考查对基础知识、基本概念掌握的熟练程度.3B【解析】双曲线y23-x2=1的一个焦点为0,-2，故抛物线的焦点坐标也是0,-2，从而得到方程为x2=-8y.故答案为：B.
11、4C【解析】抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且|AK|=2|AF|,过点A作准线的垂线,垂足为M,则|AM|=|AF|,所以可知|AK|=2|AM|,所以可知AMK为等腰直角三角形,所以AFK也为等腰直角三角形,且腰长为p=4,所以该三角形的面积为S=1244=8.故选C5B【解析】由题可得,l:x=-2.由抛物线的定义可知,MF=xM+2,所以MN+MF=MN+xM+21+2=3.故选B6B【解析】因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x=-2 ，设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆
12、E的离心率为12,所以a=4,b=23,椭圆E的方程为x216+y212=1,联立,解得A(-2,3),B(-2,-3),或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.优解：因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x=-2 ，设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为12,所以a=4,b=23,由于准线x=-2过椭圆E的左焦点,所以AB为椭圆E的通径,所以|AB|=2b2a=6,选B.【名师点睛】本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程、抛物线与椭圆的简单几何性质及基本量的运算等基础知识,考查考生综合运用知识分析
13、、解决问题的能力与运算求解能力.求解时,首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程,再利用抛物线与椭圆的联系求出椭圆中的基本量a,b,c与椭圆方程,进而求得|AB|.7B【解析】抛物线C:y=2px2经过点M1,2,2=2p,x2=12y,抛物线的焦点到准线的距离等于14.8D【解析】因为抛物线方程是y24x，所以F(1，0).又因为PFx轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程ykx (k0)，即k12，所以k2.故选D.9B【解析】因为点A(4,m)在抛物线C:y2=2px上，所以|AF|=4-(-p2)=5，解得p=2，故选B10C【解析】由题意知抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，设准
14、线l：x1与x轴的交点为F1过点P作直线l的垂线，垂足为P1，由得点Q的坐标为(1,4)，又，选C11D【解析】由题意得，且，解得，点A的坐标为将代入方程y22px(p0)，得，又p0，p2选D12B【解析】双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为，故A，B两点的坐标为和，|AB|2p，解得选B13C【解析】由抛物线方程y28x，得，p4，焦点为F(2，0)，准线l：x2如图，M为FN中点，可得BM为梯形AFNC的中位线|CN|2，|AF|4，|MB|3，又由抛物线的定义知|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|MB|6选C14D【解析】根据题意，设P到准线的距离为
15、d，则有|PF|d抛物线的方程为y2x2，即，其准线方程为y，结合图形可得当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min选D点睛：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，利用定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决15B【解析】依题意， ，则抛物线,过点M作，垂足为，过点作，垂足为，则，故选B.16B【解析】抛物线方程可化为，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，结合抛物线的定义和梯形中
16、位线的性质有： ，故.本题选择B选项.17D【解析】依题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)作AA垂直抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义|AA|AF|，所以在AAK中，|AK|AA|，故KAA45，此时不妨认为直线AK的倾斜角为45，则直线AK的方程为yx4，代入抛物方程y216x中得y216(y4)，即y216y640，解得y8，A的坐标为(4,8)故AFK的面积为8832.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线
17、的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化18A【解析】，则，则，得，则，所以准线方程为，即，故选A。点睛：抛物线问题学会利用几何定义解题。本题中由条件，所以我们需要设直线方程，联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理，应用韦达定理解题。19D【解析】由题意， 代入双曲线 ，可得 ， 为正三角形， 抛物线的方程为 故选D20D【解析】记点P到抛物线C的准线l的距离为d，点N到抛物线C的准线l的距离为d，故|NP|PF|NP|dd6，故|NP|PF|的最小值为6.故选：D21B【解析】依题意，设抛物线方程为，则，所以，即抛物线方程为；故选B.点睛：
18、在处理抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，但要注意抛物线的方程是那种标准方程，如：抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为.22C【解析】由题意知直线 方程为，联立方程,得所以，所以，故选C.23C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由A、B均在抛物线上知解得直线l的斜率为=,因此直线l的方程为y= (x-1)或y=- (x-1).故选C.视频24B【解析】选B.依题意可知焦点F(0
19、， )，准线为y，延长PM交准线于H点(图略)则|PF|PH|，|PM|PH|，|PM|PA|PF|PA|，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA| 10.所以|PM|PA|10.故选B.25D【解析】试题分析：由已知可求得抛物线C1的焦点F坐标及双曲线C2的右焦点F1的坐标，从而就可写出直线FF1的方程，联立直线方程与抛物线的方程可求得点M的横坐标，从而由导数的几何意义可用p将C1在点M处的切线的斜率表示出来，令其等于双曲线C2渐近线的斜率从而可解出p的值因为抛物线C1：y=12px2 (p0)的焦点F（0，）， 双曲线C2：x23-y2=1的右焦点F1（2，0），渐近
20、线方程为；所以直线FF1的方程为：代入y=12px2并化简得，解得，由于点M在第一象限，所以点M的横坐标为：，从而C1在点M处的切线的斜率=，解得：；故选D考点：1抛物线的性质；2双曲线的性质；3导数的几何意义26B【解析】 由题意得，抛物线的焦点坐标为， 又双曲线的离心率为，即， 又由，则，即双曲线的方程为， 在双曲线的一条渐近线的方程为，则其焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选C.27C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，设直线的方程为：，代入抛物线方程可得.设，则，由，得，则.故选C考点：圆锥曲线中的弦长与面积.【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的
21、方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用28-2【解析】【分析】抛物线的焦点坐标为1,0，圆的圆心坐标为-m2,0，利用两者相同可得m的值.【详解】抛物线的焦点坐标为1,0，圆的圆心坐标为-m2,0，故-m2=1即m=-2，填-2.【点睛】圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，其圆心为-D2,-E2，注意D2+E2-4F0.求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基
22、本量的计算.29(1,0)【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数a的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2=4ax中，解得：a=1，y2=4x，由抛物线方程可得：2p=4,p=2,p2=1， 焦点坐标为(1,0).点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.306【解析】分析：首先根据题意，求得抛物线的焦点坐标，之后将横坐标代入抛物线方程，求得点P的纵坐标，从而
23、得到点P的坐标，利用两点间距离公式得到p所满足的等量关系，从而求得结果.详解：根据题意得F(p2,0)，将x=p2代入抛物线方程，求得y=p，从而有P(p2,p)，因为PO=35，得到p24+p2=45，解得p=6.点睛：该题考查的是有关曲线方程中参数的求解问题，在解题的过程中，需要把握住题的条件，因为等量关系就有PO=35，所以关键是点P的坐标，利用点p的条件，得到其横坐标，代入抛物线方程，求得点P的纵坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.314【解析】分析：由题意先求出点P的坐标，然后再根据抛物线的定义求解可得PF详解：点P(m，23)在抛物线y2=4x上，(23)2=4m，解得m=3，点
24、P的坐标为3，23又抛物线的准线方程为x=-1，PF=3+1=4【名师点睛】抛物线的定义有两个作用，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，由此可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线32x224+y28=1【解析】由题意知抛物线y2=16x的焦点为（4,0），c=4，e=ca=4a=63，a=26，b2=a2-c2=8，椭圆的方程为x224+y28=1答案：x224+y28=133（1）2；（2）16.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和
25、抛物线的方程得到韦达定理，再求d1d2=|(y12) (y22)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以p212，所以p2.（2）由(1)得抛物线方程为y24x因为点A(1，a) (a0)是抛物线C上一点，所以a2 设直线AM方程为x1m (y2) (m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由x-1=my-2y2=4x消去x，得y24m y8m40，即(y2)( y4m2)0，所以y14m2 因为AMAN，所以1m代m，得y24m2， 所以d1d2|(y12) (y22)|4m(4m)|16 点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学
26、生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2|(y12) (y22)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答.34(1)8；(2)(3-22,3+22).【解析】(1)依题意,F(1,0).设A(xA,yA),B(xB,yB),则直线l:y=-x+1.联立y2=4xy=-x+1,消去y得(-x+1)2=4x,则x2-6x+1=0,则xA+xB=6.由抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=xA+xB+2=8.(2)设直线l的方程为x=ty+m,l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),x1=14y12,x2=14y22.将l的方程代入抛物线的方程,化简
27、得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,y1+y2=4t,y1y2=-4m.FA=x1-1,y1,FB=(x2-1,y2),FAFB=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=116(y1y2)2+y1y2-14(y12+y22)+1=116(y1y2)2+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+1.又FAFB0,m2-6m+1-4t20恒成立,m2-6m+10,只需m2-6m+10即可,解得3-22m0，即0p2,S=12a-bx0=x02x0-2=x02-4+4x0-2=x0+2+4x0-2=x0-2+4x0-2+48，当且仅当x0=4时,取得最小值.故MAB面积的最小值为8.3
28、6（1）y2=4x.（2）8,-4【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程x=my+t ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用MDME=0 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.试题解析：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=-p2，P4,m到焦点的距离等于A到其准线的距离， 4+p2=5，p=2.抛物线C的方程为y2=4x.（2）由（1）可得点M4,4，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：
29、x=my+t，联立x=my+ty2=4x，得y2-4my-4t=0，则=16m2+16t0.设Dx1,y1,Ex2,y2，则y1+y2=4m,y1y2=-4t.MDME=x1-4,y1-4x2-4,y2-4=x1x2-4x1+x2+16+y1y2-4y1+y2+16=y124y224-4y124+y224+16+y1y2-4y1+y2+16 =y1y2216-y1+y22+3y1y2-4y1+y2+32 =t2-16m2-12t+32-16m=0 即t2-12t+32=16m2+16m，得：t-62=42m+12，t-6=22m+1，即t=4m+8或t=-4m+4，代人式检验均满足0，直线DE的方程为：x=my+4m+8=my+4+8或x=my-4+4.直线过定点8,-4（定点4,4不满足题意，故舍去）.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化
