竞赛辅导专题:有理数及其运算.doc

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1、专题一:有理数及其运算(2讲)在小学学习整数,分数的基础上,引入有理数是对数的范围的巨大飞跃和拓宽。对于教材上有理数的定义:“整数和分数统称为有理数”体现了这种数的发展模式。但只有深入了解有理数的概念,才能解决有关于有理数的竞赛问题。本讲从有理数的概念入手,体会数形结合的独特魅力,结合求相反数和绝对值简单运算,掌握关于有理数的丰富多彩的运算策略。(一) 有理数的概念1、整数和分数统称为有理数。2、能够表示成既约分数的形式的数,称为有理数。3、有理数的性质:1)有序性;2) 封闭性;3)稠密性。(二) 有理数的表示1、 任何一个有理数都是整数或者分数;2、 任何一个有理数都可以转化成形如:的数;

2、3、 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数;4、 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。基于第4种表示方法,可以得到:1)|a|表示数a在数轴上对应的点到原点的距离;2)|a-b|表示数轴上表示数a,b的点之间的距离;3)|x-a|+|x-b|表示点x到点a和点x到点b之间的距离和。(三) 有理数的运算1、 有理数大小的比较1)做差法:若a-b 0,则ab;若a-b =0,则a=b;若a-b 0,则ab.2)做商法: 2、公式与方法1)等差数列,首项为,公差为d:通项公式为:通项公式描述第n项与首项、公差、项数n之间的关系。前n项和公式为:=注:既然,则。2)等比数列,首项为,公比

3、为q(其中q1):通项公式为:前n项和公式为:=3)完全平方公式:;平方差公式:;立方和(差)公式:;完全立方公式: 。4),。5),。6)对于有理数运算的技巧与方法主要有:数列求和法凑整法;分组法;拆项相消法;错位相减法;倒序相加法;运用公式法。【练习提高】一、有理数的概念1、试证:设a为有理数,b为大于a的有理数,试证:没有最小的b使ab。2、若a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,则等于 ;3、下列四个命题:(1)任何有理数都有相反数;(2)一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数;(3)任何有理数都有倒数;(4)一个有理数如果有倒数,则它们之间至少还有一个有理数;(5)数轴上点

4、都表示有理数;(6)任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中,说法正确的是 ;4、 若有理数满足,则 ;5、数轴上的A,B,C分别对应的数为0,-1,x,C与A的距离大于C与B的距离,求x的取值范围为 ;6、若有理数满足a-1,0bc1,则下列命题正确的是 。(1)abc0;(4)|a|1-bc。7、若ab0c,则判断下列各式的大小关系:(1)-a-b+c 0;(2)a-b-c 0;(3)c+|-a-b| 0;(4)|a-c| b-c;8、整数a,b满足:ab0,且a+b=0,以下判断正确的是 。A.a,b之间没有正分数;B.a,b之间没有负分数;C.a,b之间至多有一个整数;Da,b之间至少

5、有一个整数。9、若|m|=m+1,则 ;10、若a与都是正整数,则a= ;11、有理数a,b,c,d满足|a-b|9,|c-d|16和|a-b-c+d|=25,则|b-a|-|d-c|= ;12、若有理数a,b,c,d,e满足|abcde|=-abcde,则= ;13、已知a,b,c三个数中有两个奇数,一个偶数,n是整数,若S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3),则问s的奇偶性是 ;14、已知a2,b3,c5,且abc10,则abc的值等于 ;15、已知则 ;16、已知代数式,当时的值分别为1,2,2,而且不等于0,问当时该代数式的值是多少?17、有理数均不为0,且设试求代数式20

6、00之值。18、一辆公共汽车由起点站到终点站(含起点站与终点站在内)共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人,除终点站外共下车总计80人,问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人?19、如图,在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙,在第30秒时追上丙,第60秒时甲再次追上乙,并且在第70秒时再次追上丙,问乙追上丙用了多少时间?20、用min(a,b)表示a、b两数中较小者,max(a,b)表示a、b两数中较大者,例如min(3,5)=3,min(3,3)=3,max(3,5)=5,max(5,5)=5。设a、b、c、d是不相等的自然数,min(a,b)=

7、P,min(c,d)=Q,max(P,Q)=X;max(a,c)=M,max(b,d)=N,min(M,N)=Y,判断X,Y的大小关系。友情提示:下一次课讲有理数的运算:涉及到七种方法,先提前尝试一下做下面的题目。1、;2、3、 ; 4、5、 ;6、3998+2997+1996+195;7、二、有理数的运算1、计算: (1)= ;(2)= ;(3)= ;(4)= ;(5)= ;(6)123456200320042005= ;(7)= ;(8)= ;2、计算:,按以上式子,那么50 。3、a,b,c都是质数,且满足a+b+c+abc=99,则|-|+|-|+|-|=_ 4、用“”定义新运算:对于

8、任意实数a,b,都有ab=b2+1。例如,74=42+1=17,那么53=_;当m为实数时,m(m2)=_。5、有理数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示,则它们从小到大的顺序是_。 。6、若正数 a 的倒数等于其本身,负数 b 的绝对值等于 3,且 ca,c236,代数式 2 (a2b2)5c 的值为_ 。7、已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2,则x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值为_ 。8、已知则的大小关系为_ .9、若-3x1,化简:y|x1|x2|x3|=_ 10、设3x3x=1,则9x412x33x27x2001的值为_ 。11

9、、已知a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,,a99+a100=99,a100+a1=100,那么a1+a2+a3+a100= 。12、如果4个不同的正整数m,n,p,q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么m+n+p+q=( )13、若a与(-b)是互为相反数,=( )。14、的最小值为_ ,此时,的取值范围为_ .15、已知实数满足且则的值为_ .16、计算(1)(2)22223242526272829210(3)(4)(5)(6)17、有一个数列an是按以下规律组成的:、问:(1)是数列中的第几项? (2)第200项是哪个分数?18、2007加上它的得到一个数,

10、再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得到的又得到一个数, ,依次类推,一直加到上一次得数的,最后得到的数是多少?19、有一种“二十四点”的 游戏,其游戏规则是这样的:任取四个1至13之间的 自然数,将这四个(每个数用且只用一次)进行加减四则运算与应视作相同方法的运算,现有四个有理数3,4,-6,10.运用上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于24,运算式:(1)_;(2)_;(3)_;20、黑板上写有1,2,3,1997,1998这1998个自然数,对它们进行操作,每次操作规则如下:擦掉写在黑板上的三个数后,再添写上所擦掉三个数之和的个位数字,例如:擦掉5,13和1998后,添加上6

11、;若再擦掉6,6,38,添上0,等等。如果经过998次操作后,发现黑板上剩下两个数,一个是25,求另一个数.21、现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活中的一部分,有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分列,其中Q、W、E、N、M这26个字母依次对应1、2、3、25、26这26个正整数(见下表):QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526给出一个变换公式:x ,(x是正整数,1x26,x被3整除);x 17,(x是正整数,1x26,x被3除余1);x 8,(x是正整数,1x26,x

12、被3除余2). 将明文转换成密文,如:41719,即R变为L;11812,即A变为S.将密文转换成明文,如:213(2117) 210,即X变为P;133(138) 114,即D变为F.相信你已经读懂了吧,那么请解答下面各题:按上述方法将明文NOIC译为密文; 按上述方法将明文译成的密文为FOR ,请找出它的明文。 22、(1)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB。当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,ABOBba-b;当A、B两点都不在原点时,点A、B都在原点的右边ABOBOAb-a=b-a=a-b; 点A、B都在原点的左边,ABOBOAb-a=b-(-a)=a-b; 点A、B在原点的两边,ABOB+OAa+b= a +(-b)=a-b;(2)回答下列问题: 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_,数轴上表示2和5的两点之间的距离是_,数轴上表示1和3的两点之间的距离是_; 数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是_,如果AB2,那么x为_ _ ; 当代数式x+1+x-2+x+3取最小值时,相应的x的值是_; 此时代数式x+1+x-2+x+3的值是_.

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