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1、专题一：有理数及其运算（2讲）在小学学习整数，分数的基础上，引入有理数是对数的范围的巨大飞跃和拓宽。对于教材上有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”体现了这种数的发展模式。但只有深入了解有理数的概念，才能解决有关于有理数的竞赛问题。本讲从有理数的概念入手，体会数形结合的独特魅力，结合求相反数和绝对值简单运算，掌握关于有理数的丰富多彩的运算策略。（一） 有理数的概念1、整数和分数统称为有理数。2、能够表示成既约分数的形式的数，称为有理数。3、有理数的性质：1）有序性；2） 封闭性；3）稠密性。（二） 有理数的表示1、 任何一个有理数都是整数或者分数；2、 任何一个有理数都可以转化成形如：的数；
2、3、 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数；4、 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。基于第4种表示方法，可以得到：1）|a|表示数a在数轴上对应的点到原点的距离；2）|a-b|表示数轴上表示数a,b的点之间的距离；3）|x-a|+|x-b|表示点x到点a和点x到点b之间的距离和。（三） 有理数的运算1、 有理数大小的比较1）做差法：若a-b 0,则ab；若a-b =0,则a=b；若a-b 0,则ab.2）做商法： 2、公式与方法1）等差数列，首项为，公差为d：通项公式为：通项公式描述第n项与首项、公差、项数n之间的关系。前n项和公式为：=注：既然，则。2）等比数列，首项为，公比
3、为q(其中q1)：通项公式为：前n项和公式为：=3）完全平方公式：；平方差公式：；立方和（差）公式：；完全立方公式： 。4），。5），。6）对于有理数运算的技巧与方法主要有：数列求和法凑整法；分组法；拆项相消法；错位相减法；倒序相加法；运用公式法。【练习提高】一、有理数的概念1、试证：设a为有理数，b为大于a的有理数，试证：没有最小的b使ab。2、若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，则等于 ；3、下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点
4、都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ；4、 若有理数满足，则 ；5、数轴上的A，B，C分别对应的数为0,-1,x,C与A的距离大于C与B的距离，求x的取值范围为 ；6、若有理数满足a-1,0bc1,则下列命题正确的是 。（1）abc0；（4）|a|1-bc。7、若ab0c,则判断下列各式的大小关系：(1)-a-b+c 0；(2)a-b-c 0；(3)c+|-a-b| 0；(4)|a-c| b-c；8、整数a,b满足：ab0,且a+b=0,以下判断正确的是 。A.a,b之间没有正分数；B.a,b之间没有负分数；C.a,b之间至多有一个整数；Da,b之间至少
5、有一个整数。9、若|m|=m+1,则 ；10、若a与都是正整数，则a= ;11、有理数a,b,c,d满足|a-b|9,|c-d|16和|a-b-c+d|=25,则|b-a|-|d-c|= ；12、若有理数a,b,c,d,e满足|abcde|=-abcde,则= ；13、已知a,b,c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，若S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3)，则问s的奇偶性是 ；14、已知a2，b3，c5,且abc10，则abc的值等于 ；15、已知则 ；16、已知代数式，当时的值分别为1，2，2，而且不等于0，问当时该代数式的值是多少？17、有理数均不为0，且设试求代数式20
6、00之值。18、一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？19、如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？20、用min（a，b）表示a、b两数中较小者，max（a，b）表示a、b两数中较大者，例如min（3，5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5。设a、b、c、d是不相等的自然数，min（a，b）=
7、P，min（c，d）=Q，max（P，Q）=X；max（a，c）=M，max（b，d）=N，min（M，N）=Y，判断X,Y的大小关系。友情提示：下一次课讲有理数的运算：涉及到七种方法，先提前尝试一下做下面的题目。1、；2、3、 ； 4、5、 ；6、3998+2997+1996+195；7、二、有理数的运算1、计算： （1）= ；（2）= ；（3）= ；（4）= ；（5）= ；（6）123456200320042005= ；（7）= ；（8）= ；2、计算：，按以上式子,那么50 。3、a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则|-|+|-|+|-|=_ 4、用“”定义新运算：对于
8、任意实数a，b，都有ab=b2+1。例如，74=42+1=17，那么53=_；当m为实数时，m（m2）=_。5、有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是_。 。6、若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于 3，且 ca，c236，代数式 2 (a2b2)5c 的值为_ 。7、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值为_ 。8、已知则的大小关系为_ .9、若-3x1,化简：y|x1|x2|x3|=_ 10、设3x3x=1,则9x412x33x27x2001的值为_ 。11
9、、已知a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,，a99+a100=99，a100+a1=100,那么a1+a2+a3+a100= 。12、如果4个不同的正整数m,n,p,q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4，那么m+n+p+q=（ ）13、若a与（-b）是互为相反数，=（ ）。14、的最小值为_ ，此时，的取值范围为_ .15、已知实数满足且则的值为_ .16、计算（1）（2）22223242526272829210（3）（4）（5）（6）17、有一个数列an是按以下规律组成的：、问：（1）是数列中的第几项？ （2）第200项是哪个分数？18、2007加上它的得到一个数,
10、再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得到的又得到一个数, ,依次类推,一直加到上一次得数的,最后得到的数是多少?19、有一种“二十四点”的 游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的 自然数，将这四个（每个数用且只用一次）进行加减四则运算与应视作相同方法的运算，现有四个有理数3，4，-6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，运算式：（1）_;(2)_;(3)_;20、黑板上写有1，2，3，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6
11、；若再擦掉6，6，38，添上0，等等。如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，求另一个数.21、现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活中的一部分，有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分列，其中Q、W、E、N、M这26个字母依次对应1、2、3、25、26这26个正整数(见下表)：QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526给出一个变换公式：x ，(x是正整数，1x26，x被3整除);x 17，(x是正整数，1x26，x被3除余1);x 8，(x是正整数，1x26，x
12、被3除余2). 将明文转换成密文，如：41719，即R变为L；11812，即A变为S.将密文转换成明文，如：213(2117) 210，即X变为P；133(138) 114，即D变为F.相信你已经读懂了吧，那么请解答下面各题：按上述方法将明文NOIC译为密文； 按上述方法将明文译成的密文为FOR ，请找出它的明文。 22、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB。当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，ABOBba-b；当A、B两点都不在原点时，点A、B都在原点的右边ABOBOAb-a=b-a=a-b； 点A、B都在原点的左边，ABOBOAb-a=b-（-a）=a-b； 点A、B在原点的两边,ABOB+OAa+b= a +（-b）=a-b；（2）回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_,数轴上表示2和5的两点之间的距离是_,数轴上表示1和3的两点之间的距离是_； 数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是_,如果AB2，那么x为_ _ ； 当代数式x+1+x-2+x+3取最小值时，相应的x的值是_; 此时代数式x+1+x-2+x+3的值是_.
