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1、函数的图像及变换对称变换翻折变换 y f(| x |)翻折 y | f (x)| 翻折、函数图像的变换 左右平移平移变换 上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩 伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩1)对称变换 (几种常用对应点的对称变换)关于 x轴对称： (x,y) (x, y)关于 y轴对称： (x,y) ( x,y)关于原点对称： (x,y) ( x, y)关于 y x对称： (x, y) (y,x)关于 yx对称： (x,y) ( y, x)关于直线 x a对称： (x, y) (2a x, y) (轴对称)关于 y x b对称： (x,y) (y b,x b)关于 y x b对称： (x,y) (
2、b y, x b)关于点 P(a,b)对称： (x, y) (2a x,2b y) (点对称)例 1：已知 f (x) x2 2x，且 g(x)与 f(x)关于点 (1,2)对称，求 g(x) 的解析式 . (相关点法)例 2：已知函数 y f (x)的图像关于直线 x 1对称，且当 x (0, )时，有 f(x) 1 ，则当 xx ( , 2) 时，f (x) 的解析式是).1 A.xB.x2C.x2D.12x例 3 ：下列函数中，同时满足两个条件xR，f (12 x)f (12 x)0 ；当 6 x时，f (x) 0的一个函数是(A.f(x) sin(2 x )B.f (x) cos(2
3、x3)C.f (x) sin(2 x )6D.f (x) cos(2 x2)翻折变换关于形如 y f ( x) 的图像画法：当 x 0 时， y f (x) ；当 x 0 时， y f ( x)y f ( x)为偶函数，关于 y轴对称，即把 x 0时 y f ( x)的图像画出，然后 x 0时的图像与x 0的图像关于 y 轴对称即可得到所求图像 .关于形如 y f (x) 的图像画法当 f (x) 0时， y f (x) ；当 f(x) 0时， y f(x)先画出 y f (x)的全部图像，然后把 y f (x)的图像 x轴下方全部关于 x轴翻折上去，原 x轴上方 的图像保持不变， x 轴下方
4、的图像去掉不要即可得到所求图像.例 3： 画出下列函数的图像 .( 1) y log1 x( 2) y x2 2x 82例 4: 设函数 f (x) x2 4x 5 .( 1)在区间 2,6 上，画出函数 f (x) 的图像；( 2)设集合 A x f(x) 5 ， B ( , 2 0,4 6, ) .试判断集合 A、 B之间的关系，并给出 证明；(3)当 k 2时，求证：在区间 1,5上， y kx 3k 的图像位于函数 f(x)图像的上方 .3)平移 左右平移把函数 y f (x)的全部图像沿 x轴方向向左( a 0 )或向右( a 0)平移 a 个单位即可得到函数 y f (x a) 的
5、图像上下平移把函数 y f (x)的全部图像沿 y轴方向向上 (a 0 )或向下( a 0)平移 a 个单位即可得到函数 y f (x) a 的图像例 4：将函数 ylg(3 x 2) 1 按向量 a ( 2,3) 平移后得到新的图象解析式为例 5: 把一个函数的图象按向量 a ( ,2) 平移后得到的图象的解析式为 y sin(2 x ) 2 ， 84则原来函数的解析式 .(4)伸缩变换.将函数 y f (x)的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a 1)或缩短 (0 a 1)为原来的a 倍得到函数 y af (x)(a 0) 的图像 . 将函数 y f (x) 的全部图像中的每一点纵
6、坐标不变，横坐标伸长 (a 1)或缩短 (0 a 1)为原来的 1倍得到函数 y f (ax)(a 0) 的图像 .a例 6：已知函数 f(x) 22x 1 lg(x 2) ，把函数 y f (x)的图像关于 y轴对称，然后向右平移 1个单位， 最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到 g(x) 的图像，求 g( x)的解析式 .例 7：已知函数 f (x) log2(x 1)，将 y f (x)的图像向左平移 1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸 长到原来的 2 倍，得到函数 y g(x) 的图像 .( 1)求 y g(x) 的解析式和定义域；( 2)求函数 F(x) f(x 1) g(
7、x)的最大值 .练习】1. 为了得到函数 y 2x 3 1的图像，只需要把函数 y 2x 的图像上所有的点(A. 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1个单位长度B. 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1个单位长度C. 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1个单位长度D. 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1个单位长度2. 下面四个图形中，与函数 y 2 log2 x(x 1)的图像关于 y x 对称的是( )3. 若函数 y f (x)(x R) 满足 f (x 2) f (x) ，且 x 1,时， f(x)x ，则函数 y f (x)的图像与函数 y log4 x 的图像的交点
8、的个数为( )A.3B.4 C.6 D.84. 将函数 y b a 的图像向右平移xa像如果关于直线 y x 对称，那么(2 个单位长度后又向下平移 ).2 个单位，所得到的函数图像与原图a 0,b RA. a 1,b 0 B. a 1,b R C. a 1,b 0 D.5.已知 f(x) x 12，且g(x)与 f(x)关于点 ( 1,0)对称，求 g(x)的解析式. x6. 画出下列函数的图像( 1) y ln x22) y x2 x 67. 函数 f (x) 2x 和 g(x) x3的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点A(x1,y1) ，B(x2, y2)，且 x1 x2 .1)
9、请指出示意图中曲线 C1,C2 分别对应于哪一个函数；(2)若 x1 a,a 1,x2 b,b 1，且 a,b 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12 ，指出 a,b的值，并说明理 由；(3)结合函数图像的示意图，判断 f (6), g(6), f (2010), g(2010) 的大小关系 .8.已知函数 f (x)和 g(x)的图像关于原点对称，且 f (x) x2 2x.( 1)求函数 g(x) 的解析式；( 2)解不等式 g(x) f (x) x 1 ；(3)若 h(x) g(x) f (x) 1在 1,1上是增函数，求实数 的取值范围6. 已知函数 y f (x) ，
10、把函数 y f (x)的图像向左平移 1 个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为 原来的 3 倍再向下平移 3 个单位得到 g(x) 的图像，求 g(x) 的解析式 .补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格2 1 1 3 4y x3；y x2；y x2；y x 1；y x3；y x2；y x3；15 y x 2 ； y x3 .函数代号图象代号常规函数图像有：对数函数： 逆时针旋转 , 底数越来越小记住口诀指数函数： 逆时针旋转，底数越来越大 对数函数： 逆时针旋转 , 底数越来越小 幂函数： 逆时针旋转，指数越来越大 其它象限图象看函数奇偶性确定。幂函数： 逆时针旋转，指数越来越大对称性结论1.函数 y f(x)图象关于 x a对称f(a x) f(a x) f (x) f(2a x)f( x) f (2a x) ；2. 若函数 y f (x) 定义域为 R，且满足条件 f(a x) f (b x) ，则函数 y f (x) 的图象关于直线 abx 对称 .23. 函数 y f (x) 图象关于 (a,b)成中心称f (a x) f (a x) 2bf (2a x) f (x) 2b4. 若函数 y f(x)定义域为 R，且满足条件 f(a x) f (b x) c( a, b, c为常数)，则函数 y f (x) 的 a b c图象关于点 ( , ) 对称 .22
