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1、初中数学三角形全等倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型 : ABC 中, AD 是 BC 边中线思路 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BEE思路 2：间接倍长 ,延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CN思路 3, 作 CF AD于 F，作 BEAD的延长线于 EE1如图，在 ABC 中， AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是（）A1AB29 B4AB24 C5AB19 D9AB2AD4小明遇到这样一个问题，如图 1，ABC 中， AB=7，AC=5，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取 值范围小明发现老师讲过的 “倍长中线法 ”就是将三角形的中线延长一倍
2、，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的 做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，构造BED CAD，经过推理和计算使 问题得到解决请回答：（1）小明证明 BEDCAD 用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在正方形 ABCD中 ，E 为 AB 边的中点， G、F 分别为 AD，BC边 上的点，若 AG=2，BF=4， GEF=90 ，求 GF 的长5已知：在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中
3、线， E 是AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，6已知：如图，ABC（ABAC）中，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DFBA交 AE 于点 F， DF=AC求证： AE 平分BAC7-10,换汤不换药 （多题一解 ）7如图， D 是ABC 的 BC 边上一点且 CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD 的中线求证：C=BAE8如图，已知 D 是ABC 的边 BC 上的一点， CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD 的中线 （1）若B=60，求C 的值；（2）求证： AD 是EAC 的平分线AE是ABD 的中线，求证： AC=2AECE=2CD11已知
4、：如图， ABC 中，C=90，CMAB于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，12如图，点 O 为线段 MN 的中点， PQ 与 MN 相交于点 O，且 PMNQ，可证PMO QNO根据上述结论完成下列探究活动：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中 点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，（图 3 是原题的第 2 问）并证明你的结论；13如图，在ABC 中，AD 交BC 于点D，点 E 是 BC 的中点， EFAD交 CA 的延长线于点 F，14如图，已知在 ABC 中，CAE=B
5、，点 E 是 CD 的中点，若 AD 平分BAE（1）求证： AC=BD；（2）若 BD=3，AD=5，AE=x，求 x 的取值范围15已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角角形，如图，求证： EF=2AD1.解：如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD， AD 是 ABC 的中线， BD=CD， 在ABD 和 ECD中 ，ABDECD（SAS），AB=CE， AD=7，AE=7+7=14，14+5=19，145=9，9CE19，2证明：如图，过点 D 作DGAE，交 BC 于点G；4解：（1）如图 2 中，延长 AD 到E，使DE
6、=AD，连接 BE在BED 和CAD中，BEDCAD（SAS）（2）BEDCAD，BE=AC=5，AB=7，2AE12，22AD12，1AD6解决问题：如图 3 中，解：延长 GE交 CB 的延长线于 M 四边形 ABCD是 正方形， AD CM， AGE=M，在AEG和BEM 中，AEGBEM，GE=EM，AG=BM=2，EFMG，FG=FM，BF=4，MF=BF+BM=2+4=6，GF=FM=65证明：如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BG AD 是 BC 边上的中线已知），DC=DB，在ADC 和GDB 中， CAD=G，BG=AC 又BE=AC，BE=BG， BED=
7、AEF，AEF=CAD，AF=EF ADC GDB（SAS），BED=G，6证明：如图，延长 FE 到 G，使 EG=EF，连接 CG在 DEF和 CEG中，DEFCEG DF=GC， DFE=GDFAB，DFE=BAEDF=AC，GC=ACG=CAE BAE=CAE即 AE 平分BAC7证明：延长 AE 到 F，使 EF=AE，连接 DF，AE是ABD 的中线BE=ED， 在ABE 与FDE中， ABEFDE（SAS），AB=DF，BAE=EFD，ADB 是 ADC 的外角， DAC+ACD=ADB=BAD， BAE+EAD=BAD，BAE=EFD， EFD+EAD=DAC+ACD，ADF=
8、ADC， AB=DC，DF=DC， 在ADF 与ADC 中， ADF ADC（SAS） C= AFD= BAE8（1）解： B=60， BDA=BAD， BAD=BDA=60 ，AB=AD，CD=AB，CD=AD，DAC=C，BDA=DAC+C=2C， BAD=60， C=30 ；（2）证明：延长 AE 到 M ，使 EM=AE，连接 DM，在ABE 和MDE 中， ABE MDE，B=MDE，AB=DM，ADC=B+BAD=MDE+BDA=ADM，在MAD 与CAD，MADCAD，MAD=CAD，AD 是EAC 的平分线9证明：延长 AE 至 F，使 AE=EF，连接 BF，在ADE 与BF
9、E 中， AED FEB，BF=DA，FBE=ADE， ABF=ABD+FBE，ABF=ABD+ADB=ABD+BAD=ADC，在ABF 与ADC 中， ABF CDA， AC=AF，AF=2AE，AC=2AE10证明：取 AC 的中点 F，连接 BF；CE=2CDB为AE 的中点， BF 为AEC 的中位线， EC=2BF；在ABF 与ACD 中，ABF ACD（SAS），CD=BF，11证明：过 T 作 TFAB 于 F，AT 平分BAC，ACB=90 ， CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ACB=90，CMAB，ADM+DAM=90，ATC+CAT=90 ， AT 平分
10、 BAC， DAM=CAT， ADM=ATC，CDT=CTD，CD=CT， 又CT=TF（已证），CD=TF， CMAB，DEAB，CDE=90 ，B=DEC，在CDE和 TFB 中，CDETFB（AAS），CE=TB，CETE=TB TE，即 CT=BE12解：（1）AB=AF+CF如图 2，分别延长 DC、AE，交于 G 点， 根据图得 ABE GCE，AB=CG， 又 ABDC， BAE=G 而BAE=EAF，G=EAF， AF=GF，13解：延长 FE，截取 EH=EG，连接 CH，E 是 BC 中点， BE=CE，BEG=CEH，在BEG和CEH中 ，BEG CEH（SAS），BGE
11、=H，BGE=FGA=H，BG=CH， CF=BG，CH=CF，F=H=FGA， EFAD，F=CAD，BAD=FGA，CAD=BAD， AD 平分 BAC14（1）证明：延长 AE 到 F，使 EF=EA，连接 DF，点 E 是 CD 的中点， EC=ED，在DEF与 CEA 中，DEFCEA，AC=FD，AFD=CAE，CAE=B，AFD=B，AD 平分 BAE，BAD=FAD，在ABD 与 AFD 中， ABD AFD， BD=FD， AC=BD；（2）解：由（ 1）证得 ABDAFD，DEFCEA，AB=AF， AE=x，AF=2AE=2x，AB=2x，BD=3，AD=5，在ABD 中，解得： 1x4，15 证明：延长 AD 至点 G，使得 AD=DG，连接 BG，CG， AD=DG，BD=CD，四边形 ABGC是 平行四边形， AC=AF=BG，AB=AE=CG，BAC+ABG=180， EAF+ BAC=180 ， EAF= ABG，在EAF和 BAG中，EAFBAG（SAS），EF=AG，AG=2AD，EF=2AD
