反常积分习题课.doc

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1、 第十一章 反常积分习题课一 概念叙述1叙述收敛的定义答：收敛 存在2叙述（是暇点）收敛的定义答：收敛 存在当，有3 叙述收敛的柯西准则答：无穷积分收敛的柯西准则是：任给，存在，只要，便有4 叙述（是暇点）收敛的柯西准则答：瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：任给，存在，只要，总有二 疑难问题1试问收敛与有无联系？答：首先，肯定不是收敛的充分条件，例如，但发散那么是否是收敛的必要条件呢？也不是！例如，都收敛，因为前两个无穷积分经换元得到，=，则，是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元而得=，它也是条件收敛的 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可

2、能收敛注：若，则发散注：1）若收敛,且存在, 则定有；2）若收敛,且在上为单调，则；3）若收敛，且在上一致连续，则；4）若收敛，且收敛，则证：1）设若（不妨设），则由极限保号性，当时满足于是有 ，于是而这与收敛相矛盾，故2）不妨在上单调增，若在上无上界，则，当时，使类似于1）的证明，推知，矛盾所以在上单调增而有上界，于是由单调有界定理知存在依据已证得的命题1），3）由在上一致连续，则，（设 时，就有又因收敛，故对上述，当时，有现对任何，取，且使此时由便得这就证得 4）因为收敛，则存在，于是存在，由1)得证2收敛，与收敛，收敛的关系？答：1）因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则

3、收敛 收敛2）收敛 收敛，例 条件收敛，但，发散，发散，则发散例 收敛，但发散3）收敛 收敛，例 ，对，总存在，使当时，都有 故但对于，例 绝对收敛，即收敛，因为绝对收敛，即收敛，而，是暇点，取 ，则，因为收敛因为，收敛，是暇点，取 ，则，因为，则发散例 收敛，但发散3（为瑕点）收敛，与收敛 ，收敛的关系？ 答：1）收敛 收敛因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例 2）收敛收敛，收敛收敛反例 收敛，但发散3）若（为瑕点）收敛，则（为瑕点）收敛证 因，则由比较原则，可得收敛，从而收敛3下列说法对吗？1）因为在没有定义，则是瑕积分；2）因为在没有定义，则是的暇点 答：若被积函数在点的近

4、旁是无界的，这时点称为的瑕点1）错误，因为，则在的近旁有界，因此不是瑕点，是定积分若在上连续，（常数），则可看成正常积分，事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。2）错误，因为，则在近旁有界，因此不是瑕点注 我们经常通过证（）来判断为的瑕点例 因为，则是的暇点 4定积分，无穷积分有什么区别？答 1) 在可积 在可积 在可积收敛 收敛 收敛2），但对于不一定具有这个性质，因为此时可能发散3）在可积，则在上有界，但收敛不能保证在上有界，例如，不仅不存在，而且在上无界再如条件收敛，但在上无界5定积分与瑕积分有什么区别？答 收敛（为瑕点） 收敛（

5、为瑕点） 收敛（为瑕点）在可积 在可积 在可积2），但对于（为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时可能发散3）在可积，则在上有界，但（为瑕点）收敛不能保证在上有界注 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中5定积分哪些性质可以平移到反常积分中？答：定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。例如这里由在连续必有原函数，设的原函

6、数为。于是（为瑕点）；（为瑕点）6总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判别的一般步骤：1）首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛,当判得(或)收敛时, (或)绝对收敛；2) 当判得(或)发散时，还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法、阿贝尔（Abel）判别法，或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别(或)是否条件收敛注意：1）看到有限区间上的积分，一定要观察有无瑕点，有瑕点的是瑕积分，没有暇点的是定积分，定积分是一个数，总认为是收敛的2）假如一个积分中既有无穷积分又有瑕积分，首先利用，使变成两个积分的和，使其中一个积分是无穷积分，另一个是瑕积分3）假如积分中有两个暇点，利用，使变成两个积分的和，一个

7、积分中只有1个瑕点 4）假如积分中既有，又有，先利用7 在确定反常积分类型时有哪些值得注意的地方？答 （1）有时，无穷积分与瑕积分存在于同一个反常积分中，例如这个形式上的无穷积分，其实还含有瑕点(当)这时需要先把它拆成几个单纯形式的反常积分：当且仅当这四个反常积分都收敛时，原来的反常积分才是收敛的显然，其中的瑕积分都是发散的，故原来的反常积分亦为发散（2）不要把瑕积分混淆为定积分，例如其实它是一个以为瑕点的瑕积分，必须先化为而后讨论等号右边的两个瑕积分，当且仅当它们都收敛时，等号左边的瑕积分才是收敛的显然，这里两个瑕积分（等号右边）都是发散的，故原来的瑕积分亦为发散需要注意的是，不要误将这个瑕

8、积分当作是定积分，并利用奇函数在-1,1上的积分值为0，轻率地得出这样一个错误的结论8. 两个发散的无穷积分的代数和是否必为发散？答 不一定如果，则有 发散；至于是否收敛，则无肯定结论 三 重要例题1重要结论：1）当时, 反常积分收敛；时反常积分发散 2），当时, 反常积分收敛；时反常积分发散3）与当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散2计算下列反常积分：1）； 2）；3）（）解1）2） 3）法1：为去根号，令，则，于是 法2：为去根号，还可以令，则，于是 3判断下列无穷积分的敛散性： 1）； 2）； 3）；1）分析 ，根据定理3，是比高阶的无穷大量，即不论是何值，而根据柯西判别法，只能判定收敛

9、，因此我们取为任何一个大于的数解 取为任何一个大于的数，不妨取，因为，因此根据柯西判别法知，对任何，无穷积分都收敛2）取使中分子分母最高次数相同，则取因为，因此根据柯西判别法知，是发散的3）解 ，根据定理3，是比的高阶的无穷大量，当，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此需要取，即当时，收敛；当时，而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取，即当时，发散小结：的取法：取法1 若或或，则的选取方法是让中分子分母的最高次数相同，其中 以说明为例，由定理1、2有取，则，根据柯西判别法，若，则收敛，若，则发散取法2 若中含有或，则要借助于下面定理来取定理 对任意的正数和任意常数，当，函数是比的高阶的无穷

10、大量，函数是比高阶的无穷大量4 判别下列瑕积分的收敛性：1）； 2）；3）； 4）；5）解 五个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号上恒为负，在上恒为正，等所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事1）此瑕积分的瑕点为分析 ，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分1）收敛2）此瑕积分的瑕点为分析 ，当，分子分母为无穷小量，考虑等价无穷小替换，取，则取时，由=1，推知该瑕积分发散小结：取法：取法1：先找等价无穷小量，让分子分母中无穷小量次数相同，即当，让的次数相同当，让的次数相同取法2：利用，而极限等于0只能判收敛，取3）此瑕积分的瑕点为

11、， ，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分3）收敛4）此瑕积分的瑕点为，当时，由于，则，而极限为0只能判收敛，而要判收敛，取，因此取的一个数取时，有，所以瑕积分4）收敛5）此瑕积分的瑕点为，对于，此瑕积分的瑕点为， 取时，则，瑕积分发散，因此发散 5讨论下列积分的收敛性1）； 2）1）分析: 被积函数在上为非负函数,为参数 时,0点为瑕点； 时, 1为瑕点； 时为正常积分解: 时原积分为正常积分； 时, 瑕点为 此时 ,故收敛； 时, 瑕点为 当时, ,故原积分在时收敛, 在时发散综上, 时, 收敛, 时发散2)当，是正常积分，当时，当时, , 故时, 收敛, 时, 发散；(由于只要,极限便为零,从而收敛)当时, , 此时收敛, 当时, , 此时发散综上知, 当时, 收敛, 其它情况时发散6证明：若收敛，则亦必收敛分析 由于条件中没有指出是否保持定号，也没有说是绝对收敛，因此不能用比较法则错误地写成：且收敛，故绝对收敛正确的作法应该借助狄利克雷判别法或阿贝尔判别法来证明证 由于而收敛，在上单调有界，故由阿贝尔判别法证得收敛