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1、导数及其应用全章复习与巩固编稿：李 霞 审稿： 张林娟【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上；切点在曲线上；切线斜率等于曲线在切点处的导数值.要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数
2、在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数.要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则.（2）或恒成立，求参数值的范围的方法： 分离参数法：或. 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使.（或是求含参函数 的最大值 ，使）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：先
3、求出定义域一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值.函数最值的问题若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可
4、.若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；(2) 求函数的导数，解方程；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值要点诠释：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中
5、各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际
6、意义的值应舍去【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1若直线与曲线相切，试求的值【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点【解析】设与相切于则，又 ，由得：（），即，.【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式】 已知曲线在处的切线恰好与抛物线相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标【答案】曲线上的切点为A(1,2).,，切线方程为，即.设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为,则, ,得 （1）又点在切线上， （2）由(1)(2)求得，. 故抛物线方程为,切点为(2,8).类型二：
7、利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题例2. 已知定义在R上的函数 ，问：是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数在该区间上都是单调递增的？若存在，求出这样的区间；若不存在，请说明理由.【思路点拨】求出后，要根据题意把它视为关于的函数.【解析】令，则为的一次（型）函数，对任意恒成立不等式对任意恒成立，即，解得或当或时对任意恒成立对任意，在或上都是单调递增的存在区间和，对任意的，函数在该区间内均是单调递增函数.【总结升华】函数单调的等价含义即函数的导数恒正（或恒负）；一次函数的图象多为线段，所以其恒正问题，即线段的两端点值均正.举一反三：【变式1】 若恰有三个单调区间，试确定的取值范围
8、，并求出这三个单调区间.【答案】（1）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；（2）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；（3）当时，则由得，由，得综上可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】【变式2】函数的图象大致是（ ） A B C D【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.例3. 已知aR，函数，（1）求f(x)的单调区间，（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.【思路点拨】（1）求导后对参数进行分类讨论，由导函数的正负号求出原函数的单调区间；（2）首先要考虑去掉绝对值
9、，显然要分类讨论，其次是要证明高次函数在所给区间恒大于零，构造函数，利用导函数的知识解决.【解析】（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为.当时，此时函数的单调递增区间为.(2)由于，当时，.当时，.设，则.则有01-0+1减极小值增1所以.当时，.故.【总结升华】导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点.举一反三： 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】【变式】 已知函数f(x)=ax3+x2+1，x(0，1（1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求f(x)在（0，1）上的最大值.【答案】（1）f(x)=3ax2+2
10、x，f(x)在（0，1）上是增函数， x（0，1）时，f(x)=3ax2+2x0恒成立，即对x（0，1）恒成立，在（0，1）上单调增，x=1时，（2）例4. 设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值.【解析】（）当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（）令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点
11、，一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】【变式1】设函数则 （ ）A. 在区间内均有零点. B. 在区间内均无零点.C. 在区间内有零点，在区间内无零点.D. 在区间内无零点，在区间内有零点. 【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D.【变式2】求函数在上的最大值（其中）.【答案】令，则求在（0，1上的最大值 当时，显然在（0，1上为增函数，所以当时，令 得：，易知时，为增函数时，为减函数. 于是若（此时
12、），则在（0，1上为增函数，此时. 若（此时）， 则在上为增函数，在上为减函数. 所以由以上讨论知当时， ； 当时， .类型三：利用导数解决优化问题例5. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12x)2万件 （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）【解析】（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x（元）的函数关系式为： L=(x3a)(12x)2，x9，11 （2）
13、L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)(18+2a3x) 令L=0得或x=12（不合题意，舍去） 3a5， 在两侧L的值由正变负 当，即时， Lmax=(930)(129)2=9(6a) 当，即时， 综上，若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6a)（万元）；若a5，则当每件售价为（）元时，分分司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（万元） 【总结升华】 在第（2）问中，务必注意实际意义对定义域的影响；在第（2）问中，因的大小不确定，故的符号不确定，故必须对a进行分类讨论 举一反三： 【变式】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，则 ，令，得x=15 当x15时，当10x15时， 因此，当x=15时，取得最小值 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层
