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1、7-3-3加乘原理之图论教学目标1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就是在做一件事
2、时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原
3、理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”例题精讲【例 1】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：5条直线一共形成个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另外有3个点，此外还有三个不共线的点，以这个点为顶点的三角形就有个三角形，以10个点分别为定点的三角形一共有300个三角形，但
4、每个三角形被重复计算3次，所以一共有100个三角形方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出10个点中取出3个点的种数，再减去3点共线的情况这10个点是由5条直线互相相交得到的，在每条直线上都有4个点存在共线的情况，这4个点中任意三个都共线，所以一共有个三点共线的情况，除此以外再也没有3点共线的情况(用反证法可证明之)，所以一共可以构成种情况【答案】【例 2】 如图，有这样的两条线，请问从这个点中任选三个点可以构成个不同的三角形【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第4题【解析】 只要三点不共线，就能构成三角形。个【答案】个【例 3】 直线a，
5、b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题【解析】 画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：在线上找一个点，有5种选取法，在线上找两个点，有种根据乘法原理，一共有：个三角形；在线上找一个点，有4种选取法，在线上找两个点，有种根据乘法原理，一共有：个三角形；根据加法原理，一共可以画出：个三角形【答案】【巩固】 直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 画三角形需要在
6、一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：在线上找一个点，有4种选取法，在线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有： 个三角形；在线上找一个点，有2种选取法，在线上找两个点，有种，根据乘法原理，一共有：个三角形；根据加法原理，一共可以画出：个三角形【答案】【巩固】 直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 画四边形需要在每条线上取2个点，在线上取2个点共有种，在线上取2个点共有种，根据乘法原理，一共可以画出个四边形【答案】【巩固】 三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线
7、上的任意三个点都不共线问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况三个顶点在两条直线上，一共有个三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，所以一共有：个根据加法原理，一共可以画出个三角形(方法二)个点任取三个点有种取法，其中三个点都在第二条直线上有种，都在第三条直线上有种，所以一共可以画出个三角形【答案】【例 4】 一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解
8、答 【解析】 第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有种；第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有种；第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有种；根据加法原理，一共可以画出种【答案】【例 5】 在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形) 【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可
9、以画出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形， 这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之间仅相隔一个点，这样的三角形有个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形有个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有个，所以一共可以画出个钝角三角形【答案】【例 6】 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出 种不同的挑法来(六个数字相同、排列次序不同的都算同一种) 【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答
10、【关键词】迎春杯，决赛【解析】 显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从2，4，6，8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中，下面就按此分类列举：填入2，4，6，这时3与9不能同时填入(否则总有一个与6相邻，或能被3整除)，没有3，9的有1种：1，5，7，经试填，不成立；有3或9的，其它3个奇数1，7中选一个，5必选，有2种选法，因此有种 填入2，4，8，这时1，7不能填入(因为，都能被3整除)，从其余3个奇数中选出1个，有1种选法填入2，6，8，这时1，7不能填入，故无法填填入4，6，8，这时3与9只能任选一个，1与7也只能任选1个，第三个数是5，因而有种选法根据加法原理，总共有种选法【答案】
