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1、三角形的证明章节复习【知识梳理】1全等三角形的判定和性质性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等3等边三角形的判定与性质判定：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60的三角形是等边三角形；有两个叫是60的三角形是等边三角形性质：等边三角形的三边
2、相等，三个角都是604反证法反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法5直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半6互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两
3、个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.7线段的垂直平分线l 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。l 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。n 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。8角平分线l 角平分线上的点到角两边的距离相等。l 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。n 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】【题型一：全等三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，
4、则能说明AOC=BOC的依据是（）ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等【例题2】如图，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC的度数为（ ）A40B35C30D25【例题3】如图，已知ABCABC，AD、AD分别是ABC和ABC的角平分线（1）请证明ADAD；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗? 【变式1】如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙【变式2】如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A15
5、B20 C25 D30【变式3】如图410，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF 图410（2）如图411，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD图411【题型二：等腰三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】（1）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A12B15 C12或15D18（2）等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A80B80或20C80或5
6、0D20【例题2】如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE过O且平行于BC，已知ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求ABC的周长【例题3】如图，MON=43，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A1个 B2个 C3个D4个【例题4】如图：E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DGAC交BC于G求证：（1）GDFCEF；（2）ABC是等腰三角形【变式1】已知ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A0x3Bx3 C3x6 Dx6【变式2】如图，
7、在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A6B7C8D9【变式3】如图，是一个55的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1点A和点B在小正方形的顶点上点C也在小正方形的顶点上若ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A6B7C8D9【变式4】如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 【题型三：等边三角形判定定理和性质定理的应用】【例题1】如图，AC=CD=DA=BC=DE则BAE是BAC的（）A4倍 B3倍 C2倍 D1倍【例
8、题2】如图，等边ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上若DE=DB，则CE的长为 【例题3】如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q（1）求证：BQM=60；（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由【变式1】如图，等边ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则FAE+AEF的度数是（）A60 B110 C120 D135【变式2】如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形A
9、BC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG的度数；（3）求证：CG=CH【题型四：有关直角三角形定理的应用】【例题1】如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A1 B C D2【例题2】6如图，在55的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，BCD是不是直角? 请说明理由【例题3】如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A6B4 C3 D2【变式1】如图矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与
10、对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3则AB的长为（）A3B4C5 D6【变式2】正方形网格中的每个小正方形边长都是1每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中，画ABC，使ABC的三边长分别为3、；（2）在图2中，画DEF，使DEF为钝角三角形且面积为2【变式3】如图，AC=BC=10cm，B=15，ADBC于点D，则AD的长为（）A3cmB4cm C5cm D6cm【题型五：线段的垂直平分线定理的应用】【例题1】如图，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC= 【例题2】如图，在ABC中，分别以
11、点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（）A7B14C17 D20【例题3】如图，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）A30 B40 C50 D60【例题4】如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【变式1】如图，在ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点EBCE的周长等于50，则BC的长为（
12、）A2lB22C23D24【变式2】如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗? 【变式3】如图，AD为BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MDAC【变式4】如图，在ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DEAB，BCE的周长为8cm，且ACBC=2cm，求AB、BC的长【题型六：角平分线定理的应用】【例题1】如图，RtABC中，C=90，ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A5cm B4cm C3cm D2cm【例题2】如图，直线a、b、c，
13、表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A一处 B四处 C七处 D无数处【例题3】求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）【例题4】（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）设计了如下方案：（）AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（）AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻
14、度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线（1）方案（）、方案（）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA，PNOB此方案是否可行? 请说明理由【变式1】如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A1 B2 C3 D4【变式2】如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：点P到A，B两点的距离相等；点P到直线l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）【变式3】已知：如图所示，ABC中，C=90，AD是BAC的平分线
15、，DEAB于E，F在AC上，BD=DF求证：CF=EB【题型七：反证法、互逆命题、互逆定理】【例题1】否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）Aa、b、c都是奇数 Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数 Da、b、c中至少有两个偶数【例题2】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等【变式1】用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反证假设正确的是（）A假设三内角都不大于60 B假设三
16、内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于60【变式2】证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角【巩固练习】1使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等B两个锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等2在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A B C D3三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A三条中线的交点B三边垂直平分线的交点C三条高的交点D三条角平分线的交点4如图，在ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，则AEG的周长为（）A6.5cmB13cmC26cmD155如图
17、，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，A=35，则D等于（）A50 B65 C55 D706如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的平分线交AD于E，连接EC；则AEC等于（）A100 B105 C115 D1207如图，POA=POB，PDOA于点D，PEOB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，则PE=（）A13 B12 C5 D18如下图左，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分ACB若PB=3，AC=10，则PAC的面积为 9已知：如上图右，ABCD，O为BAC、ACD的平分线的交点，OEAC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE= 10如图，ACB和E
18、CD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论11已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC（1）若连接AM，则AM是否平分BAD? 请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系? 请说明理由12如图，AD为ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论13如图，在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点（1）若BA
19、C=100，求EAN的度数；（2）若BAC=70，求EAN的度数；（3）若BAC=（90），直接写出用表示EAN大小的代数式【课后练习】1利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A已知斜边和一锐角B已知一直角边和一锐角C已知斜边和一直角边D已知两个锐角2如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A4 B6C16 D553如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A在AC，BC两边高线的交点处B在AC，BC两边中线的交点处C在AC，BC两边垂直平分线
20、的交点处D在A，B两内角平分线的交点处4已知：如图，ABC的AABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）A大于B小于C等于D不能确定5如图有一块直角三角形纸片，ACB=90，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（）A2 B2.5 C3 D3.56如图，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4 B3 C2 D17如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PB BPO平分APBCOA=OB DAB垂直平分OP82011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且P到点A、D的距离也相等请用尺规作图作出银杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）9已知，如图，ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P（1）求证：AEBCDA；（2）求BPQ的度数；（3）若BQAD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长10如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上的一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求证：BM=CN
