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1、极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、 极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_立意与点拨本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题解答本题先进行极直互化，再求距离二、 参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：，因为，令，则有X+2y=+=,最大值，最小值三、 根据条件求直线和圆的极坐标方程四、 求曲线的交点及交点距离4(2015湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(
2、t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_【解析】直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2x24，联立 解得或 所以点A，B.所以|AB| 2.5.在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A、B两点，求线段AB的长解析解法1：将l的方程化为普通方程得l：xy3，yx3，代入抛物线方程y24x并整理得x210x90，x11，x29.交点A(1,2)，B(9，6)，故|AB|8.解法2：将l的参数方程代入y24x中得，(2t)24(1t)，解之得t10，t28，|A
3、B|t1t2|8.6.(2015陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标立意与点拨考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解解析(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2) 设P(3t，t)，又C(0，)，则|PC|， 故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为
4、(3,0)五、 利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )立意与点拨(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8(2015新课标高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的
5、极坐标方程为(R，0)，其中0.(此题C1代表的是一条过原点的直线)因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.9(2015商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：sin，曲线C的参数方程为：(1)写出直线l的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解析(1)sin，yx，即l：xy10.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(22cos，2sin)，所以，曲线C上的点到直线l的距离d. 所以最大距离为.解法二：曲线C为
6、以(2,0)为圆心，2为半径的圆圆心到直线的距离为，所以，最大距离为2.10(文)(2014新课标理，23)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解析(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为：2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan. (将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin()1时，|PA|取
7、得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.六、 直线参数方程中的参数的几何意义方法一： 方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长=|t1-t2|. 得：，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t1-t2|=.13.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(，)作倾斜角为的直线l与曲线C：x2y21相交于不同的两点M、N.(1)写出直线l的参数方程；(2)求的取值范围(根据直线参数方程中t的几何意义,用参数t表示所求量，然后用t的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)解析(1)(t为参数)(2)将(t为参数)代入x2y21中，消去x，y得，t2(co
8、s3sin)t20，由(cos3sin)2812sin2()80sin()，sin()(，七、求动点坐标、求变量的值14.(2015陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标立意与点拨考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解解析(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设
9、P(3t，t)，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0) (此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值) 15.(2016全国卷I)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求【解析】：（均为参数）,为以为圆心，为半径的圆方程为,即为的极坐标方程,两边同乘得,即,：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为,得：，即为,（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16(文)(2015唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：2acos(a0)，l：cos，C与l有且仅有一个公共点(1)求a； (2)O为极点，A，B为C上的两点，且AOB，求|OA|OB|的最大值解析(1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为xy30.由直线l与圆C相切可得a，解得a1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A的极角为，B的极角为，则|OA|OB|2cos2cos3cossin2cos，当时，|OA|OB|取得最大值2.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)
