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1、八年级数学 寒假教材二次根式第一课 二次根式定义级性质定义：一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）例2(1)当x是多少时，在实数范围内有意义？(2)当x是多少时，+在实数范围内有意义？例3.(1)已知,求的值; (2)若，求的值 例4.做一做：根据算术平方根的意义填空：=_；=_；=_；=_；=_；=_；= ;= ；= ； = 例5.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例6.若-3x2时，试化简。例7.（1）已知：,求，x+2y的平方根。 （2）若,
2、求：x2+y2的值。 例8.已知：，求代数式的值。课堂练习：1.下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D.2.在式子中，二次根式有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下列二次根式中，的取值范围是2的是( )A. B. C. D.5.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A.5 B. C. D.以上皆不对6.下列各式中、,二次根式的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.17.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ） A.a0 B.a0 C.a0 D.a=08.的值是（ ） A.0 B. C.4
3、 D.以上都不对9.a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A. B. C. D.10.若式子-1有意义，则x的取值范围是（ ） A.x B.x C.x= D.以上都不对11.下面的推导中开始出错的步骤是（ ）A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 12.下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）13.面积为a的正方形的边长为_14.若+有意义，则=_15.已知有意义，那么x 16.=_17.若是一个正整数，则正整数m的最小值是_18.先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2
4、a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_19.当x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）；（2）；3）；（4）；（5）；（6） 20.填空： =_；=_；=_；=_；=_；=_ = ；= ；= ；= ；= 21.填空：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？22.当x是多少时，在实数范围内有意义？23.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-524.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？25.若，求的值。 26.当a取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。27.
5、已知a、b为实数，且，求a、b的值课后练习：1.当a0时，化简的结果是（ ） A.aB.-aC.3aD.-3a2.如果是整数，那么（ ） A.a0，且a是完全平方数 B.a0，且-a是完全平方数 C.a0，且a是完全平方数 D.a0，且-a是完全平方数3.使等式成立的x值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是0 D.不能确定4.设实数x满足，则等于（ ） A.x-3 B.3-x C. D.35.把根号外面的因式移到根号内，则原式等于（ ）A. B. C. D.6.若，则等于（ ）A. B. C. D.7.若,则=（ ）A. B. C. D.8.若，则化简后为（ ）A. B. C. D.9.能使
6、等式成立的x的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.计算：的值是（ ）A.0 B. C. D.或11.等式成立的条件是_12.当x_时，二次根式有意义使式子有意义的条件是 。13.当时，有意义。14.若有意义，则的取值范围是 。15. 当x 时，是二次根式。16.在实数范围内分解因式：。17.若，则的取值范围是 。18.已知，则的取值范围是 。19.化简：的结果是 20.当时，。21.把的根号外的因式移到根号内等于 。22.使等式成立的条件是 23.计算：=_ 24.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：则=_25.当x1时，-=_26.若0a1，化简后的结果是 27.已知实数a满足，
7、那么 28.若与互为相反数，则= 29.计算：（1）； （2）； （3）； （4）； (5) 30.求下列分式x的取值范围。(1) (2) 31.在实数范围内因式分解： (1)2x24； (2)x42x2332.已知+=0，求xy的值能力提高：1.若x1，则等于（ ） A.3-2x B.2x-3 C.3 D.12.已知实数a、b、c满足，那么代数式化简后的结果为（ ） A.2c-b B.2c-2a C.-b D.b3.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示. 化简的值等于（ ） A.-a B.2a-2b C.2c-2b D.c4.使式子有意义的未知数x有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.无数
8、5.若a、b、c是ABC的三边,化简= 6.若x、y为实数，且，求的值。7.已知为实数，且，求的值。 8.已知，求的值。9.若，求的值第02课 二次根式的乘除乘法公式：，反之类型：（i）单项二次根式乘以单项二次根式； （ii）单项二次根式乘以多项二次根式； （iii）多项二次根式乘以多项二次根式 除法公式：，反过来类型：（i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算） （ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式） （iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式）。 最简
9、二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例1.完成下列各题填空：（1）=_，=_；（2）=_，=_ （3）=_，=_参考上面的结果，用“、0）是二次根式，那么，化为
10、最简二次根式是（ ） A.（y0） B.（y0） C.（y0） D.以上都不对6.下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.7.已知，化简二次根式的正确结果为（ ）A. B. C. D.8.把二次根式化简，得（ ） A.x2xy B. C. D. 9.把中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A. B. C.- D.-10.在下列各式中，化简正确的是（ ） A.=3 B.= C.=a2 D.=x11.化简的结果是（ ） A.- B.- C.- D.-12.下列各式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 13.化简：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_； =_ ；=_14
11、.当，时，。15.计算：；。16.长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。17.自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_18.分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_.19.已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_20.化简=_（x0）；a化简二次根式号后的结果是_21.如果xy=5,xy=1,那么 = 22.（1）计算： 32 (2) 化简: ; ; ; ; 23判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）；（2）=4=4=4=824.计算下列各题：（1） （2） （3） （4
12、） （5） （6）25.一个底面为30cm30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？26.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为，现用直径为cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？27.已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1）课后练习：1.当a0，b0时，把化为最简二次根式，得（ ） A. B.- C.- D.2.对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A
13、. B. C. D.3.和的大小关系是（ ） A. B. C. D.不能确定4.对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D.它的最小值为35.计算: （6） （7） （8）(9) (10) (11) (12) (13) 6.把根号外的因式移到根号内：探究过程：观察下列各式及其验证过程 （1）2= 验证：2= （2）3=验证：3=同理可得：4, 5， 通过上述探究你能猜测出： =_（a0）,并验证你的结论能力提高：1.化简的结果是（ ） A. B. C.- D.-2.若x、y为实数，且y=，求的值第3课 二次根式的加减同类二次根式：
14、几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同,这些二次根式就称为同类二次根式二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式.例1.计算下列各式（1）; （2）; （3）; （4）例2计算:(1) (2) (3) (4)例3化简下列各式：(1) (2) (3)(4) (5) (6)例4.已知，求的值 例5.若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值例6计算:（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）例7.的有理化
15、因式是_；的有理化因式是_ 的有理化因式是_例8.把下列各式的分母有理化： （1） （2） （3） （4）例9.(1)比较与的大小。 (2)比较与的大小。例10.先化简，再求值：，其中。例11.试解答下列问题：(1)若a是x的整数部分，b是x的小数部分，求：a2-ab+b2的值。(2)已知，求a的值。 （3）若，求x的值。课堂练习：1.以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( )A. B. C. D.3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下面说法正确的是（ ） A.被开方数相同的二次
16、根式一定是同类二次根式 B.与是同类二次根式 C.与不是同类二次根式 D.同类二次根式是根指数为2的根式5.下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个6.（-3+2）的值是（ ） A.-3 B.3- C.2- D.-7.计算（+）（-）的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.18.与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9.下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.10.若，则化简的结果是（ ） A. B. C.3 D.-311.若，则的值等于（ ）A. 4 B. C. 2 D. 12.若的整数部分为，
17、小数部分为，则的值是（ ） A. B. C.1 D.313.下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D.14.、3、-2中，与是同类二次根式的有_15.在中，与是同类二次根式的是 。16.若最简二次根式与是同类二次根式，则。17.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。18.若最简二次根式与是同类二次根式，则。19.计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_20.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式）21.的计算结果（用最简根式表示）是_22.的计算结果（用最简二次根式表示）是_23.若，则x2+2x+1=_24.已知a
18、=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_25.若最简二次根式与是同类二次根式，则a_， b_26.已知，则27.已知，则28.计算：= 29.已知，则a_。30.计算：（1） （2）（3） （4）（5） （6） 31.化简：（1） （2） （3） （4）（5） （6）32.先化简，再求值，其中。33.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值34.如果n是任意正整数，那么=n 理由：=n 练习：填空=_；=_；=_课后练习：1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与2.甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=；乙：=。 其中（ ）。 A.甲、乙都
19、正确 B. 甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确3.已知ab0，则的值为（ ）A. B.2 C. D.4.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是( ) A. B. C. D.5.已知与的小数部分分别是a和b，则的值是 6.化简 。7.的整数部分 ，小数部分是 8.计算及化简： (1) （2）（3） （4）9.已知，求的值。10.已知，求的值。11.已知0，求(xy)x的值12.已知：，求的值。13.已知a=，b=，求-的值14.已知x=，求x2x的值15.比较与的大小。16.已知：为实数，且，化简：。能力提高：1.满足不等式x的整数x
20、的个数是（ ）。 A.4 B.5 C.6 D.72.设的整数部分为m，小数部分为n，则的值为（ ）。 A. B. C.128 D.-1283.化简4.已知：，求的值。5.同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你会算吗？ （4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说
21、明理由6.已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，7.当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示）8.已知|1-x|-=2x-5，求x的取值范围二次根式测试题 011. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。3. 计算：。4. 计算：。5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.8. 对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D.9. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D.不能确定10. 对于二次根式，以下说
22、法中不正确的是（ ）A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D.它的最小值为311. 计算： 12. 化简： 13. 把根号外的因式移到根号内： 二次根式测试题021.若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（ ） A. B.- C. D.2.若式子+|x-2|化简的结果为2x-3,则x的取值范围是（ ） A.x1 B.x2 C.1x2 D.x03.下列说法错误的是（ ） A.是最简二次根式 B.是二次根式 C.是非负数 D.的最小值是44.式子m+6m-5m2的值是（ ） A.正数 B.负数 C.非负数 D.可为正数也可为负数5.等式=成立的条件是（
23、） A.0x1 B.x1 C.x0 D.0x16.下列各组代数式中，互为有理化因式的是（ ） A.+1与1- B.+y与-y C.2-与-2 D.与x7.下列判断中正确的是（ ） A.的有理化因式是 B.3-2的倒数是2-3 C.-的绝对值是- D.不是方程=2的解8.下列计算正确的是（ ） A.+= B.2+=2 C.+=5 D.=+9.已知a0，那么的值是（ ） A.a B.-a C.3a D.-3a10.在，中，是最简二次根式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.不等式(2-)x1的解集为（ ） A.x-2- C.x-2+12.已知-=,那么的值为（ ） A. B. C
24、. D.二、填空题1. 分数（填“是”或“不是”）2.最简二次根式与是同类二次根式，则a= 。3.将a根号外的因式移入根号内的结果是 。4.代数式+的最小值是 。5.代数式2-的最 值是 。6.适合不等式x的整数x的值是 .7.化简： (ab)= 。8.化简：（+）（+1）= .9.分解因式x2(x-)-3(x-)= .10.当a 时，是二次根式。11.若()2=2a，则a= 。12.已知x+=4，则x-= .三、计算与化简1.(+) 2.(2+4-3)3.-(-2)0+ 4.-+(+1)25.- 6.(-) 7. 8.四、化简求值1.已知x=+1,，求的值。2.已知a=,y=+2，求x2+2
25、xy+y2+(x-y)的值。五.解答题1.解不等式：x-10，y0，且有(+2)=(6+5)，求的值。4.若a+b=2(a0,b0),求的值。5.已知实数a满足|2003-a|+=a，则a-20032的值是多少？勾股定理第1节 勾股定理勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：,，化简可证 方法二：四
26、个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，大正方形面积为，所以。方法三：，化简得证。勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股数:能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；1,12,13；7,24,25；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定
27、理的应用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，；知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；可运用勾股定理解决一些实际问题例1.在中，已知AC=6，BC=8求AB的长；已知AB=17，AC=15，求BC的长例2.若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为多少？例3.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例4.已知直角三角形的周长为，斜边上的中线为1，求它的面积.例5.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.例6.如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.例7.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？例8.如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.例9.如图，壁虎在一
