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1、 高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设具有一阶连续偏导数，若，则 A (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。解：选A 。 两边对 求导：，将 代入得 ，故 。2已知为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为 C (A) 2和2；(B) 3和3；(C)2和2；(D) 3和3； 解：选C 。 3. 设为曲面z=2(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则= D ； 解：选D 。 。4. 设有直线，曲面在点(1,1,1)处的切平面，则直线与平面的位置关系是： C (A) ； (B) ； (C) ； (D) 与斜交 。解：选C 。的方向向量 ，曲面在点
2、(1,1,1)处的切平面的法向量。由于，因此 。5. 设，则下面结论正确的是 B (A) 点（，）是 的驻点且为极大值点 ；(B) 点（，）是极小值点 ； (C) 点（0，0）是 的驻点但不是极值点 ； (D) 点（0，0）是极大值点 。 解：选B 。二. 填空题 (每题3分,共15分)1 设 ，则 。解：或。2函数 ，则 。解：。3. 曲线在点(2,4,5)处的切线方程 。 解：切线方程 。4设L是圆周x2+y2=a2 (a0)负向一周,则曲线积分= _。 解：曲线积分。5交换二次积分的次序：= 。解：=。三.求解下列各题（每题8分，共16分）1设，f具有二阶连续偏导数，求及。解： （2分）
3、 （2分） （2分） （2分）2设函数 具有一阶连续偏导数， 是由方程 所确定的隐函数，试求表达式 。解法一：方程 两端对求导：，同理可求，（6分） 。 （2分）解法二：令 ，则 ， （3分）于是， （3分） （2分）四计算下列各题（每题8分，共32分）1计算积分。 解：极坐标：令 ，则 （3分） （2分） （3分）2计算三重积分，其中为曲面及所围成的闭区域。解：联立的两曲面方程，得交线：，；投影柱面：；在面的投影域为：，用柱面坐标： （2分） （2分） （2分） （2分3计算曲线积分，其中L是由点A（a，0）到点O（0，0）的上半圆周 解：设， 由格林公式得到 （4分） （4分）4计算，其中
4、曲面S为球面上的部分。解：曲面S的方程为z =，其在xoy坐标面上的投影区域为：，=， （3分） =+ （3分）由积分区域和被积函数的对称性得=0，且，所以=。 （2分）五（8分）求幂级数 的和函数，并求数项级数 的和。解： （2分） （2分）， （2分）取 ，得 。 （2分）六（8分）求解微分方程 。解：对应齐次微分方程的特征方程为： （2分）故特征根 ，从而齐次微分方程的通解为： （2分）令非齐次方程特解为：代入方程解得 ，于是特解为 （2分）则原方程通解为： 。 （2分）七（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产件甲产品和件乙产品的总成本为（万元
5、），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。解：因为企业获得的总利润应为总收入与总成本之差，因此这一问题的数学模型应描述如下： （3分）这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令求对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得 （3分）解上述方程组得到唯一驻点，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。二. 选择题 (每题3分,共15分)1. 函数在原点（0，0）处间断，是因为： (A) 函数在原点无定义； (B) 函数在原点无极限；(C) 在原点极限存在，但该点无定义； (
6、D) 在原点极限存在，但不等于它的函数值。选B。2. 曲面在点（2，1，0）处的切平面方程是： (A) ； (B) ；(C) ；(D) 。选C。3. 旋转抛物面在部分的曲面面积为: (A)； (B)；(C) ；(D)。选B 。4. 若幂级数的收敛半径是2，则的收敛半径为： (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。选D 。5. 若连续函数满足，则等于 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。选A 。二. 填空题 (每题3分,共15分)1. 设，其中为可微函数，则 x 。2设可微，其中， 。3曲线在点（2，4，5）处的切线与轴所夹锐角。4交换二次积分的次序： 。5. 若为的外侧，且是其外法
7、线向量的方向余弦，则。注：三.求解下列各题（每题8分，共16分）1设，其中具有二阶连续偏导数，求。解：， （2分） （2分）2设求和 （已知）。解：将所给方程两边对求导并移项，得 （4分）由已知，可得， 四计算下列各题（每题8分，共32分）1计算二重积分，其中： 。解：利用极坐标变换 （3分） （3分） （2分）2计算三重积分其中W为球面所围成的闭区域。解：应用球面坐标计算。即为，则 （3分） （3分） （2分3计算, 其中L为圆周, 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。线段OA：，； （2分）弧AB：，O yBAxx所以 ；
8、（2分）线段OB：，所以 。 （2分）综上，。 （2分）4计算曲面积分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。z = 3z = 0zoyxS解：由于曲面S在坐标面上的投影区域为0，所以；（2分）曲面S在坐标面上的投影区域为,=; （2分）同理，曲面S在坐标面上的投影区域为0 x 1, 0 z 3,=; （2分） 故，=2=。 （2分）五（8分）求幂级数（）的和函数，并求数项级数 的和。解：在（-1，1）上，令= （3分）上式两边积分得： ， （3分） = （2分）六（8分）求微分方程满足初始条件的特解。解：对应齐次微分方程的特征方程为： 故特征根 ，从而齐次微分方程的通解为： （2分） （2分）因 不是特征根，故可令非齐次方程特解为：代入方程解得 ，于是原方程通解为： （2分）代入初始条件得，所以满足初始条件的特解为：。 （2分）七（6分）证明：，其中是正向一周。解：因曲线为封闭曲线，,满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：原式 （2分） （1分） （2分） （1分）
