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1、在“问题解决”的学习中培养学生的数学素质摘要 在二十一世纪，数学教育是义务教育中一个重要的内容作为数学教育的准则“问题解决的学习”这一理论不断得到丰富和发展本文探讨的就是如何“在问题解决的学习中培养学生的数学素质”关键词 数学问题；问题解决的学习；数学素质的培养Train of Mathematical Quality of the students when they are in “Problem Solving”Zhuang LeiAbstract In the21st century，mathematics instruction is one of the most importan
2、t contents in compulsory educationAs a guide line of mathematics instruction，“Problem Solving”is being developed and perfectedThe present paper probe into how to train of mathematical quality of the students when they are in “Problem Solving”Keywords Mathematical Problem; Problem Solving; Training o
3、f Mathematical Quality一、 引言将“问题解决的学习”（Problem Solving）作为中学数学的核心，这一观点于1980年4月以美国数学教师全国联合会（NCTM）的名义首次提出此后，在国际数学教育会议上多次将“问题解决”列为大会的主要研究课题之一，几次明确提出问题解决的学习必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部分这样，在美国和国际数学教育会议的推动下，问题解决受到了国际数学教育界的普遍重视，成为国际通用的数学教学准则二、研究背景和意义问题解决的研究与开发不仅关系到如何提高学生的科学文化、思想品德素质与教学工作质量的问题，也不只是教师如何转变教育思想、观念、行为与职业
4、规范的各种问题，而且与中学数学教学内容、课程设置、教材教法、教学模式等各项改革密切相关我国数学教育多年来一直致力于素质教育的深入推行，在基础知识教学、基本技能训练、数学情感的培养等方面都有了长足的发展人的思维开始于问题，学生的思维也是伴随着层出不穷的问题而展开的数学课程改革的核心就是改变学生的学习方式，数学教学的最终目标就是教会学生学习数学、运用数学，教会学生自己提出问题、解决问题而不是那种貌似“启发式”教学的“打乒乓球”式的提问教学（即课堂教学采用的是一问一答的形式），如果学生的回答没有符合教师备课中的要求，立即要其他学生回答，直至学生的回答落入教师设计好的“乒乓球桌”上为止这样的提问与教师
5、的讲授没有本质的区别，学生的主动性没有真正发挥出来，不仅压抑了学生的主观能动性，还阻碍了学生创新思维的发展从数学教育与21世纪社会发展更紧密的结合揭示数学教育价值观的变化，即数学教育应该培养人的更内在、更深刻的东西数学素质，数学素质已成为公民文化素养的重要组成部分因此，很有必要探究一下如何在“问题解决的学习”中培养学生的数学素质三、提出好问题在中学数学教学中，每天学生都面临许多问题，那么究竟什么是一个“好”的问题，如何创设“问题解决学习”中的数学问题呢？对于一个“好问题”，张奠宙教授在数学素质教育设计（草案）中提出了五个标准： 对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决； 可以是一种情景，其
6、中隐含的数学问题要靠学生自己去提出、求解并作出解释； 具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战； 不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以有浅入深地作出回答； 解决它往往需伴以个人或小组的数学活动但好问题不一定就是相当复杂的问题，甚至可以是一个非常简单的、在生活中非常常见的问题例如：在七年级下（浙教版）二元一次方程这节课的教学中，结合学生的实际生活，设计的问题是：小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角小红有票额为角和角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？这一问题情景在学生的生活中非常常见，但作为问题出现，却完全是“新的”，引起了学生的学习兴趣，他们会运用已有的设未知数的知
7、识技能，积极的投入到问题解决的探索中去一般来说，作为“问题解决学习”中的一个好的数学问题，其标准应体现在以下三个方面：1、一个好问题应该具有实际性和趣味性数学问题应该具有实际意义，可以从身边的实际生活中选取，使数学问题生活化，使学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强数学的学习意识，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学习数学的信心所谓“数学生活不分家”，比如我在七年级下（浙教版）同底数幂的乘法(1)这节课的教学中，所设计的问题情景是：“利箭破长空神舟号金秋载人航天飞行”，“神州六号”宇宙飞船载人航天飞
8、行是我国航天事业的伟大壮举它飞行的速度约为米/秒,飞行了5天，总时间约为秒求它飞行了多少路程？这是学生所熟悉的、感兴趣的活动，他们从实际情况出发，投入到问题的情景中去在计算路程时，他们发现了两个同底数幂的乘法，从而逐渐找到同底数幂的乘法法则，实现了本节课的教学设想，而且还培养了学生的爱国热情好的问题能够激发学生的兴趣，激起他们强烈的求知欲根据中学生的心理特点，将许多有趣的问题融入到数学课堂中去，来迎合学生新奇、好玩的个性心理如在进行用字母表示数的教学时，通过听唱儿歌的形式寓教于乐，轻松的进入本章情景这是一首脍炙人口的儿歌：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水两只青蛙两张嘴，四只眼睛
9、八条腿，扑通扑通跳下水”那么三只青蛙怎么唱？三百只青蛙怎么唱？只青蛙又怎么唱呢？通过直观地形象演示，让学生体验到用字母表示数的简明方便之处2、一个好问题，应该具有一定的启发性和拓展空间问题解决的学习，其最终目的是在问题获得解决的同时，使学生掌握知识技能，培养学生的探索精神和提高学生的创造力比如在七年级（华东师大版）数学上册教材第122页，有一个以“身份证号码与学籍号”为标题的课题在课上，让学生用一个两位数“”来表示出教室里每个同学的座位很快，学生们就得出答案：用“”表示组号，用“”表示座位号学生们学会了用一个不同的两位数来表示教室里的不同的同学，接着教师又提出一个更广泛的问题：如何用数字来表示
10、学校每一个不同的同学（即学籍号）？这个问题引起了学生的思考，最后，由教师和学生共同讨论、比较，得出最恰当的学籍号设计方法通过研究，学生们和教师一起也分析出了身份证号码各数字所表示的现实意义通过研究身边的两个常识问题，学生们轻松的掌握了如何用数字来代表事物的特点这是一堂课题学习课，只是利用了一些浅显的知识，课堂涉及的是一些具体的学生们感兴趣的问题，只要求学生们发挥想象力和创造力3、一个好问题，应该具有一定的挑战性和思考性学生在学习过程中，以一定的问题背景作为自己思维的明确目标，促使自己自觉思考，使学生进入新的境界，就会激发学生思维的积极性，自觉寻求答案比如：乘方运算一节课中，为了让学生自己理解乘
11、方的增长速度是极快的，让学生事先估算一张厚度仅为毫米的薄纸经过折叠次后应该有多厚，很多学生认为，这么薄的一张纸，再怎么折叠，又能有多厚，无非几十厘米而已，他怎么也想不到，这个厚度比层楼还高，更想不到折叠次后，比座世界最高峰还高在这样一种问题背景之下，学生的脑海中肯定是疑云遍布，他们对问题的渴求无形中就产生了，于是，我们的学生就会自觉地探究数学现象、了解生活中的数学，说出自己对乘方的理解四、问题解决的学习过程问题解决的学习过程，会受到学生的知识水平、思维水平、年龄特征、问题的内容、问题的难度、解决问题的环境等多种因素的影响但就一般规律而言，基本可以分为以下三个步骤：问题的感知顿悟过程；数学问题的
12、解决过程；问题的反思与延伸过程1、问题的感知顿悟过程问题解决原是心理学学习理论的一个重要部分，本世纪50年代，心理学家西蒙（Simon H A）和细威尔（Newell A）发现问题解决往往遵循下述过程：把问题分解为次要的问题在分解成新的次要问题，直到这问题有了解答，就返回到上一层去这是一个探索过程，在这个过程中感知顿悟是关键，所以可以这样说，问题的感知顿悟过程，就是主体（学生）对数学信息进行加工处理，把要考察的问题和已熟知的问题联系起来进行有效的感知顿悟，使新知识在人脑中粗略形成的过程，这是问题解决教学的切入口对于一些情景化的实际生活问题，可以利用原有知识的建构，转化成比较简洁、清晰的数学问题
13、，便于调动已有知识技能去解决例如结合乘法公式两数和乘以它们的差（平方差公式）的知识，设计了围粮囤的数学一课，问题情景是：秋收季节到了，幸福村的人们都用篾席制成的粮囤来储存粮食假设粮囤的高度一定，小明觉得用四根竿子将粮囤围成底面为正方形的柱体储粮教多，而小亮认为把同样长的篾席围成底面为长方形的柱体储粮教多，谁的说法正确？在实际生活中，你观察到的是一个什么现象，并用数学知识做出解释学生面对问题，兴趣盎然的搜索有用的信息，生活中的粮囤究竟是什么样子？如何用数学知识来解决问题？这些都可以培养学生观察问题的能力和学习数学的热情学生的认识问题、分析问题、理解问题、转化问题的数学基本素质，在解决问题的过程中
14、得到良好的运用和培养2、数学问题的解决过程学生经过问题的感知和理解，接下来的重要步骤就是寻求解决问题的方案学生在解决问题时，往往会以自己原有的数学知识为基础“化复杂为简单，化未知为已知，化一般为特殊”这一思想，在数学中有着广泛的应用如九年级（华东师大版）数学弧长和扇形的面积一课中，用情景导入的形式切入问题：如图2所示为圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨所在圆的半径为 m，圆心角为，你能求出这段铁轨的长度吗？（取）图2对于这一全新的问题，教师在“课前热身”中提出了三个问题：（1）这段铁轨的长度与它所在圆的周长有什么关系？（2）已知圆的半径为，圆的周长与面积分别是什么？（3）从刚才的实例中，你是否已感
15、受到：已知圆的半径，若要求出这个圆中某一段弧的长度，关键要知道什么？通过对课前热身中的几个问题的回答，将我们所不熟悉的弧长问题转变为我们已非常熟悉的圆的周长问题，从而使问题得到解决3、问题的反思与延伸过程学生经过一系列的复杂心理活动，终于赢得了问题的解决接下来，就进入了问题的反思和延伸过程，这是培养和体现学生数学素质的一个重要环节通过反思和延伸，体现了数学问题的本质，揭示解题规律，提高分析、探索和创造能力，通常能达到“钻一题，识全章”之效如我国著名数学家华罗庚在一次给中学生讲演中提到的问题：苹果能从树上落到地上，为什么茶杯盖子不会掉到茶杯里去呢？你也许会马上回答：这有什么值得一提的呢？盖子比口
16、大，当然不会掉进去了确实，盖子比口小，它一定会掉进去不过，比口大，是不是就一定不会掉进去呢？这是一个非常有趣的问题，学生们通过试验，发现答案是：不是的！比如常见的正方形的茶叶盒，它的正方形的盖子，也会掉进去由此，学生们一定会想到，大，并不是掉进去的可靠依据究竟掉不掉得进去？还得看形状，作一点具体分析如盖子是圆形的、正方形的、正三角形的、正六边形的、正五边形的，其情况分别如何呢？学生们画画图，找具体的事物演示，会发现其结果不是自己想象的那么简单这样的过程，同样是培养学生数学素质的重要环节五、问题解决的学习评价对发现问题和解决问题能力的考察实际上强调的是对数学学习过程和方法的考察学生的数学学习不能
17、仅仅是掌握一些概念和技能而必须经历探索、猜想、推理等过程，解决有关的问题全日制义务教育数学课程标准（实验稿）明确把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标，为此，数学教学中必须通过讲解、示范和实践等方式帮助学生获得有关解决问题的策略，并对学生掌握这些策略的情况进行评价单从答案是否正确很难对学生解决问题的能力进行正确的评价要评价学生解决问题的能力，一种方法是以波利亚那样的框架作为指导：学生是如何理解这个问题的？是否有证据证明他们有一个解题计划？答案是否正确或合理？每一步是否正确？他们是否对解法进行了检查或概括？它是否符合问题的条件？然后对框架中每一个指标赋予一定的分值，比如理解3分，
18、计划3分，步骤2分，答案2等另一个方法是基于一个更一般的对问题解决性质的理解比如，期望学生能够使用解决问题的方法调查和理解学习内容，即从解决问题的过程中学习数学；从数学内部或外部的情境中发现并提出数学问题；尝试从不同角度分析问题,发展和应用各种策略解决问题；体会到与他人合作解决问题的重要性；用数学语言清楚地表达解决问题的过程，并尝试用不同的方式（文字、字母、图表等）进行表达；根据最初的问题情境证实和解释结果的合理性；对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验或将解法和策略概括到一个新的问题情境；从有意义地使用数学中获得信心教师可以根据学生在这些问题上的表现，给予定性评价当然，除了对发现问题和
19、解决问题的过程加以评价外，我们也可以通过纸笔测验对学生分析和解决问题的能力加以考察对学生分析和解决问题能力的考察意味着对学生较高层次的思维水平进行考察怎样编制这样的试题呢？1、设置一个如同现实生活的情境最简单的办法就是用一段文字编写或描述一个与学生生活贴近的故事或事件，要解决的问题就包含在这个故事或事件之中这个故事或事件实际上就为学生设置了解决身边的数学问题的情境，密切了数学与生活的联系例如，上体育课时，教师让每一个小组排成一行小明注意到在他的前面站着6个同学，在他的后面站着4个同学请问小明所在的小组共有几个同学？有时我们也可以用生活中的真实材料来提问例如，给一堆积木，提问这一堆积木共有多少？
20、或者给一些物体，如别针、铅笔等，让学生测量其长度2、用促进较高层次思维的词语来提问较高思维水平的问题往往用“解释、说明、联系、区别、对比、分析、推断、解决、发现、概括”等词语来提问例如，有一串数如下：3，4，12；3，6，6；3，8，24；3，9，9；你能发现其中的规律吗？说明你的理由3、使用“渐进”式问题这种提问使前面的信息将会作为后面问题解答的依据，而且往往通过后面问题的回答也可以推知前面问题的回答是否正确例如，图3描述了小红放学回家的行程情况，根据该图回答如下问题：(1)小红放学后是径直回家的吗？(2)图中的哪一段表明小红在某处逗留了一段时间？ 图(3)编一个小红放学回家的故事，使得故事
21、情节与图中描述的情况一致这样的问题同时也考察了学生读图的能力4、在问题的后面补充跟踪问题，如“为什么”“怎么样”之类的问题例如，把一元硬币向空中抛10次，记录你的实验结果(1)正面朝上的次数是多少次？(2)这一结果与你的预期一样吗？(3)如果结果与你的预期不一致，你还能做些什么使得结果与你的预期一致呢？(4)你怎么知道这样做能够保证实验结果与你的预期一致呢？参考文献1 高长风，新课标解读与教学案例设计初中数学初中数学（M），中央民族大学出版社，第1版，2004年2 屈晓军，新课标中小学教学经典案例初中数学（M），中央民族大学出版社，第1版，2004年3 于琛，数学问题的解决（M），东北师范大学出版社，第1版，2000年
