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1、一元二次方程主题单元教学设计适用年级八年级所需时间（说明：课内共用15课时，每周5课时；课外共用2课时）主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)一元二次方程的精确求解有直接开平方法、分解因式法、配方法、公式法等。直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 对于一元二方
2、程的应用问题，列出一元二次方程的关键，是帮助学生掌握解题的步骤，要认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答。主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能。）主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过直接开平方法、配方法、公式法、因式分
3、解法降次来解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题过程与方法：（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0 （5）通过复习八年级
4、上册整式的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它 （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题情感态度与价值观：经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）根据课程标准的要求，这一单元主要让学生进
5、一步去体会方程的模型思想，会解一元二次方程，当然是数字系数的一元二次方程，包括用配方法、公式法、因式分解法等等，当然还包括估计一元二次方程的解，然后应用方程解决实际问题，能够根据具体问题的实际意义检验结果是否合理。学习的方式是很多样的，可以让学生去观察、归纳、类比、抽象、估计等等。主题单元问题设计1、判定一个方程式一元二次方程的关键是什么？2、解一元二次方程的方法有哪些？如何选择？3、如何具体用一元二次方程来解决实际问题？专题划分（说明：除了说明主题单元将划分成几个专题以及每个专题所用的课时外，还应说明哪一个专题或专题中的哪一个活动将以研究性学习活动的形式来开展学习活动。）专题一：一元二次方程
6、的定义（2课时）专题二：一元二次方程的解法（9课时）专题三：一元二次方程的应用（4课时）其中，专题三 为研究性学习 专题一一元二次方程的定义所需课时（说明：课内共用2时，每周5时；课外共用1时）专题学习目标（说明：描述学生在本专题学习中所要达到的学习目标，注意与主题单元的学习目标呼应）1、知识与技能：经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。2、过程与方法：经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。专题问题设计1、能正确判定一个方程是否是一元二次方程。2、知道一元二次方程的一般形式。3、理解并会用一元二次方程一般形式中a不为0这个条件
7、。所需教学环境和教学资源(说明：在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源)信息化资源：多媒体、电子白板常规资源：中学数学教材一元二次方程其它：小组合作，课堂小组评价表，小组评价表，优秀小组奖励等学习活动设计（说明：为达到本专题的学习目标，从学生的角度设计学生应参与的学习活动。如本专题由几个课时组成，则应分课时描述每个课时的学习活动设计。请以活动1、活动2、活动3等的形式，提纲挈领地描述每个课时包含哪些学习活动以及每个活动的主要步骤。注意，在这些学习活动中应通过对所设计的本专题的问题的探究完成学习任务）第1课时【自学准备】回忆所学内容回答下列问题：一元
8、一次方程的定义：_ 一元一次方程的一般形式：_ 【自主学习】在学科助理的带领下小组交流自主学习情况：1、艺术设计 一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？ 如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为_米，宽为 _米。根据题意，可得方程_ 。2、趣味数学：如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？由构股定理可知，滑动前梯子底端距墙_m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙_m。根据题意，可得方程_ 。3、梯子移动：先观
9、察下面等式：102112122132142如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为_，_，_，_。根据题意，可得方程_。由上面三个方程总结：一元二次方程：_一元二次方程的一般形式：_整式方程：_4、预习疑难质疑：_【小组探究】在教师的指导下分小组探究下列问题：例1、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：解：【反馈点拨】方法总结：充分利用一元二次方程的定义进行解答。【巩固提高】训练1：完成随堂练习 第1、2题； 训练2：习题7.1 第1、2、3题。【创新提升】例2、莲花问题平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲。出泥不染婷婷立，忽被
10、强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位两尺远。能算诸君请解题：湖水如何知深浅？此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 11141185）之手。诗文简洁，数学內容也不太难。同时，也可介绍九章算术第九章第六题“葭生中央”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。根据上面问题设出未知数列出方程：第2课时【自学准备】回忆所学内容回答下列问题：1、什么叫一元二次方程？ 它的一般形式是什么？ 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2x+1=0(2)x2+1=0(3)x2x=0(4)x2=0【自主学习】在学科助理的带领下小组交流自主
11、学习情况：估算地毯花边的宽地毯花边的宽x(m)，满足方程 (82x)(52x)=18整理成一般形式： （1）x可能小于0吗？ （2）x可能大于4吗？ 可能大于2.5吗？ 为什么？ （3）完成下表x00.511.522.52x213x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？ 预习疑难质疑：_【小组探究】在教师的指导下分小组探究下列问题：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102整理成一般形式： （1）小明认为梯子底端也向外滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？（2）梯子底端向外滑动的距离x(m)的大致范围吗？（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（4）x的整数部分是
12、几？十分位是几？x00.511.52x2+12x15x1.11.21.31.4x2+12x15【反馈点拨】方法总结：充分利用一元二次方程的定义进行解答。【巩固提高】训练1：完成随堂练习 第1、2题； 训练2：习题7.2 第1、2题。【创新提升】五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?评价要点1、能正确判定一个方程是否是一元二次方程。2、知道一元二次方程的一般形式。3、理解并会用一元二次方程一般形式中a不为0这个条件。4、小组评价。 专题二专题二：一元二次方程的解法所需课时（说明：课内共用9课时）专题学习目标（说明：描述学生在本专题学习中所要达到的学习
13、目标，注意与主题单元的学习目标呼应）1、知识与技能：会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程；2、过程与方法：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，增强学生的数学应用意识和能力。3.情感态度与价值观：体会转化的数学思想方法。专题问题设计1、直接开平方法2、配方法3、公式法4、因式分解法5、一元二次方程根与系数的关系所需教学环境和教学资源(说明：在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源)信息化资源：多媒体、电子白板常规资源：中学数学教材一元二次方程其它：小组合作，课堂小组评价表，小组
14、评价表，优秀小组奖励等学习活动设计（说明：为达到本专题的学习目标，从学生的角度设计学生应参与的学习活动。如本专题由几个课时组成，则应分课时描述每个课时的学习活动设计。请以活动1、活动2、活动3等的形式，提纲挈领地描述每个课时包含哪些学习活动以及每个活动的主要步骤。注意，在这些学习活动中应通过对所设计的本专题的问题的探究完成学习任务）第1课时【自学准备】回忆所学内容回答下列问题：平方根的定义： 【自主学习】在学科助理的带领下小组交流自主学习情况：1、解下列方程：（1）x2=4 （2）(x+3)2=9解方程的依据是： 2、什么是完全平方式？ 利用公式计算：（1）(x+6)2 = （2）(x)2 =
15、 3、解下列方程：（1）x2-9=0 （2）4x2-9=0做此题的思路是： 【小组探究】在教师的指导下分小组探究下列问题：解方程： x2+6x+9=25做此题的思路是： 思考：什么样的方程可以用这种方法来解？答： 【反馈点拨】方法总结：根据平方根的意义，通过开平方求简单的一元二次方程的根。【巩固提高】训练1：完成随堂练习 第1、2题； 训练2：习题7.3 第1、2题。第2课时【自学准备】回忆所学内容回答下列问题：平方根的定义： 【自主学习】在学科助理的带领下小组交流自主学习情况：1、解方程：x 十12x一150，解方程的基本思路（配方法）如：x2+12x15=0 转化为 ( + )2=51两边
16、开平方，得x+6=x1= x2=做此题的思路是： 2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x212x+ =(x )2（3）x2+8x+ =(x+ )2【小组探究】在教师的指导下分小组探究下列问题：例1：解方程：x2+8x9=0配方法： 【反馈点拨】方法总结：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征。【巩固提高】训练1：完成随堂练习 第1、2题； 训练2：习题7.4 第1、2题。【创新提升】解下列方程(1) x一l0x7； (2) x十8x-1.第3课时【自学准备】回忆所学内容回答下列问题：1、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）（
17、2）（3）（4）2、解方程：x2+8x9=0【自主学习】在学科助理的带领下小组交流自主学习情况：例3 解方程3x2+8x3=0【小组探究】在教师的指导下分小组探究下列问题：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t5t2小球何时能达到10m高？【巩固提高】训练1：完成随堂练习 第1、2题； 训练2：习题7.5 第1、2题。【创新提升】如图所示：有长16米、宽12米的荒地问题1、要求四周为宽度相同的小路，内部为花池，若花池的面积为荒地面积的一半，求路宽。（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是
18、什么？（3）这两个解都合要求吗？为什么？问题2、要求在荒地的四个角上建扇形花池，若花池的面积为荒地面积的一半，求扇形半径。（1）设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是什么？（3）合符条件的解是多少？评价要点1、直接开平方法2、配方法3、公式法4、因式分解法5、一元二次方程根与系数的关系专题三专题三：一元二次方程的应用所需课时课内共用4课时专题学习目标（说明：描述学生在本专题学习中所要达到的学习目标，注意与主题单元的学习目标呼应）1、使学生能利用一元二次方程解决简单的实际问题，进一步渗透方程的模型思想。2、培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。专题问
19、题设计1、如何用一元二次方程解决简单的实际问题？2、如何通过建立一元二次方程来解决面积问题、利润问题、路程问题、增长率问题等实际问题？3、培养学生解决具体的实践能力和应用能力。所需教学环境和教学资源(说明：在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源)信息化资源：多媒体、电子白板常规资源：中学数学教材一元二次方程其它：小组合作，课堂小组评价表，小组评价表，优秀小组奖励等学习活动设计（说明：为达到本专题的学习目标，从学生的角度设计学生应参与的学习活动。如本专题由几个课时组成，则应分课时描述每个课时的学习活动设计。请以活动1、活动2、活动3等的形式，提纲挈领
20、地描述每个课时包含哪些学习活动以及每个活动的主要步骤。注意，在这些学习活动中应通过对所设计的本专题的问题的探究完成学习任务）第1课时学习过程：前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。想一想，列方程解应用题的关键是什么？一.自主学习例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？分析：这个问题中的等量关系是：解：例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成
21、一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？解：设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长_m.根据问题中给出的等量关系，得到方程_.解这个方程，得 ， 根据题意，舍去_.所以，花圃的宽是_m.二.对应练习1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48 .求原正方形木板的面积.2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽.三.当堂检测1. 两个数的和是20，积是51，求这两个数.2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB1000
22、m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000 ？第2课时一.自主学习例1.某工厂2002年的年产值为500万元，2004年的产值为605万元，求20022004年该厂年产值的增长率.提示：如果设该厂20022004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为_，2004年的年产值为_.例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.提示：如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为_，第二次降价后该药品每
23、盒的售价为_.二.自我练习1. 两个连续奇数的积是323，求这两个数.2. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？三.当堂小结四.当堂检测1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少？2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率.3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.4. （山西）“五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：（1）备用食品费，购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：车型座数租车费（元/辆）A7500B5400请选择最合算的租车方案，（仅从租车费角度考虑）并说明理由。评价要点1、使学生能利用一元二次方程解决简单的实际问题。2、能通过建立一元二次方程来解决面积问题、利润问题、路程问题、增长率问题等实际问题3、培养学生解决具体的实践能力和应用能力。4、小组评价。
