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1、让思维发展成为数学课堂的主线 摘要：针对现行数学课堂教学中，偏重于以知识体系为线索或情境为线索展开教学的现况，提出让思维发展成为数学课堂的主线.即通过适当的数学活动，揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来.并结合课例着重阐述了在数学概念和数学思想的教学中，如何以思维发展为主线的课堂教学设计.关键词：数学思维 教学设计 课堂主线 有效的数学教学设计是三维目标的和谐达成：知识与技能（认知目标）、过程与方法（策略目标）、情感态度与价值观（情感目标）.在设计课堂教学线索时，一是由于知识与技能的目标更易表述更为显性，二是由于当前的学业考试很难体现数学思
2、维的发展水平，更难体现情感态度，认知目标仍占主体，所以数学课堂中以知识体系为教学线索的，占据了多数.而从新课改以来，在各类课堂技能的比赛课、观摩课中，情感目标受到应有的重视，由此发展而来的以情境为主线的数学课堂设计也日渐普及.然而“数学是思维的体操”.认知目标是基础，策略目标是核心，情感目标是“伴生物”.所以让思维发展成为教学主线，才能更好地凸显数学教学的思维价值.以思维发展为教学主线，其关键是遵循学生思维的发展规律展开教学.按数学教学内容分，数学课堂类型主要是数学概念的教学、数学原理与方法的教学、数学问题策略的教学.数学思维在数学原理与方法的教学中容易体现，也为大多教师所采用.但对数学概念的
3、教学普遍作为陈述性知识进行传授，对数学思想的教学容易混同于数学具体方法教学重于概括而非领悟，效果不佳.为此针对数学概念教学和数学思想方法教学两个方面，谈谈以数学思维发展为主线的设计思路：1、数学概念教学中思维主线的设计学生获得概念的方式主要是“概念形成”和“概念同化”.概念形成主要依靠对感性材料的抽象概括，而概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括.在概念教学中贯穿思维主线，就是通过提供充分而典型的感性材料，或通过唤醒学生已有的感性经验，从而获得数学概念的过程.现以人教版“多边形”一课的设计为例：环节一：多边形的概念（分步依次呈现三角形、四边形、五边形，）师：这是我们非常熟悉的图形，叫三角形，请
4、你说说“三角形”的定义.生：由三条线段首尾顺次连接组成的图形，叫“三角形”.师：这个图形呢？叫四边形，你能说说它的定义吗？生：由四条线段首尾顺次连接组成的图形，叫“四边形”.师：这个图形叫五边形，它的定义是生：由五条线段首尾顺次连接组成的图形，叫“五边形”.师：像这些图形三角形、四边形、五边形、六边形等我们把它统称为多边形.你能给“多边形”下一个定义吗？生： 这一设计不是直接给出“多边形”的概念，而是通过具体的感性材料三角形、四边形、五边形、六边形等，供学生辨别，从中分化出它们的共同属性，从而形成“多边形”的概念.变陈述性知识（直接传授）的教学为策略性知识（观察抽象对比归纳）.环节二：多边形的
5、分类，（同时呈现下列9个图形）先让学生逐一判断是不是多边形.然后擦去不是多边形的图形，让学生对剩下的7个图形加以分类.通过交流讨论，学生得出两种分法：一是按边数分成：三角形、四边形、五边形、六边形等；二是按内角有没有大于180分.教师引导学生观察如何辨认内角大于180的图形特征，有的学生说：“凹进去的这个角.”有的学生说：“延长角的一边看看就清楚了.”这样一来学生不仅能自已给出多边形的分类，还能对“凸多边形”和“凹多边形”名称有个感性的认识，并能用自已的话给凸多边形和凹多边形下描述性的定义. 这一设计不苟同于课本，课本的思路是：结合图（1）（2），介绍像图（1）画出多边形的任何一边所在的直线，
6、整个多边形都在这条直线同侧，这样的多边形叫做.而像图（2）画出多边形的任何一边所在的直线，整个多边形位于这条直线的两侧，这样的多边形叫做.这样只注重结果的教学，学生缺乏感性认识，没有思维可言，只能通过识记去学习.而本课这一环节的设计则通过提供充足的感性素材，让学生经历分类活动的过程，把对多边形的分类作为“凸多边形”“凹多边形”概念获得的基础.通过分类活动有助于学生更深刻地理解这三个概念之间的关系，进而形成概念系统，有利于记忆和检索.充分体现了概念教学的过程性，让学生经历比较、辨别、分类、归纳、抽象、概括等各种思维活动.更为可贵的是学生想到不是按边与边的位置关系来分类，而是按内角大小的不同，这一
7、想法可能源于三角形的分类：一是按边分，二是按角分.这一叙述角度出乎教师的预设之外，但从思维的发展来看，又是那么地自然.所以以思维发展为主线进行概念教学，还有助于提高学生概括的能力和类比学习的能力.环节三：正多边形的概念 （通过课件，逐步呈现正三角形、正方形、正五边形、正六边形等）师：在你所见到过的所有三角形中，那一类最特殊？生：等边三角形？师：说说它的特殊之处？生1：三条边都相等.生2：三个角都相等.师：在所有四边形中，你见到最特殊的是什么四边形？生：正方形？师：为什么说它特殊呢？生：因为正方形的四条边都相等，四个角都相等.师：如果只有四个角相等的四边形是正方形吗？生：不一定，如矩形.师：如果
8、只有四条边相等的四边形是正方形吗？生：不一定，如菱形.师：可见要使四边形为正方形，那么四个角都相等，四条边都相等这两条件缺一不可.师：那么最特殊的五边形呢？六边形呢？生：师：我们把等边三角形也叫正角三形，像这样正三角形、正方形、正五边形、正六边形等，我们统称为生：正多边形.师：请给正多边形下一定义.生：各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做正多边形. 课本是先给出正多边形的概念，再把正三角形、正方形、正五边形、正六边形作为正多边形的例子.从“多边形正多边形正三角形、正方形、”也即采用概念同化的方式.概念的同化属于接受学习，要使学生有意义地同化新概念，新概念必须具有逻辑意义，学生的认知结构中必
9、须具备同化新概念的适当知识.但学生对正多边形缺乏足够的感性知识，以致对“各个角都相等”“各条边都相等”这两条件缺一不可的认识不到位，感到抽象而硬加记忆. 本课在这一环节的设计，从“三角形正三角形”、“四边形正方形”、“五边形正五边形”等，继而再由“正三角形、正方形、正五边形、正六边形等正多边形”合理运用概念的同化和概念的形成两种方式.使学生对新概念与已有认知结构中的有关概念建立更为广泛的联系，理解这些概念之间的层次关系，形成结构功能良好的概念体系，从而准确地掌握概念的本质，形成比较完善的数学认知结构.更为重要的是，让学生经历“一般到特殊”，再从“特殊到一般”的两个思维活动过程，把原来陈述性的知
10、识正多边形的概念，变为策略性的教学如何研究一类几何图形.2、数学思想教学中思维主线的设计数学思想与数学方法两者联系甚密，有时难以区分.但两者有明显的不同：数学方法往往与程序性知识相联系，可通过具体数学问题解答后，加以概括，通常有步骤可遁.而数学思想往往与策略性知识相联系，在同一数学思想指导下，可能有多种不同的数学方法.所以在教学中，数学方法的教学可通过解题反思、归纳、运用等环节加以掌握，而数学思想的教学则靠体验感悟，逐步形成.2、1 对众多类似数学方法的对比归纳中，感悟出它们的共同思路，形成数学思想.如“多边形的内角和”一课的教学中，对内角和定理的发现及证明设计如下：（根据教学进程，逐步呈现三
11、角形、四边形、五边形及辅助线）师：我们知道三角形的内角和是180.你知道四边形的内角和吗？生：360师：你是怎么得到的？生：把它分成两个三角形.师：如何分？生：师：那五边形的内角和呢？谁有什么方法把它求出来吗？生1：把它分成四边形和三角形.待添加的隐藏文字内容3生2：把它分成三个三角形.师：那么六边形呢、七边形呢、你能求出n边形的内角和吗？生：师生共同归纳得出n边形的内角和=（n-2）180师：你是怎样推导出这个公式的？还有不同推导方法吗？学生讨论交流，教师利用几何画板动态演示：让辅助线的交点从多边形的一个顶点处，移到多边形的一边上，再移到多边形的内部.从而得出三种不同的推导方法.在此基础上教
12、师引导学生对这三种方法进行比较、归纳，从而让学生领悟到“转化思想”：这一设计体现了数学思想的教学不同于数学方法的教学，而是在一系列的探究活动中，得到多种解决问题的方法，并对这些方法进行反思、归纳、提炼形成一种思维方向转化思想.以思维的发展为主线展开教学，就是通过数学思维活动，包括数学实验、数学游戏、数学实践活动等，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程.2、2 从学生生活经验中提炼出解决问题的基本策略，形成数学思想.认知是思维的基础，但学生的数学思维的产生往往不是来自数学知识的本身，而来自于数学的有效活动.斯托利亚：“数学教学是数学活动过程的
13、教学”.所以数学思维教学的关键是设计合适思维载体，通过学生已有的经验自然萌发数学思维.如在消元法解二元一次方程组第一课时的教学中，对“消元思想”教学设计如下：先引导学生对问题“如图，两天平都达到平衡，你能算出1个正方体的质量吗？”独立思考,交流算法.得出一题多解：200200方法一，设一个正方体的质量为x克,则由第一个天平可知一个圆柱的质量为3x克,再由第二个天平可列出方程: 3x+x=200, 解得x=50. 所以1个正方体的质量为50克.方法二，由第一个天平可知一个圆柱的质量就等于3个正方体的质量,如果把第二个天平中的圆柱用3个正方体代替,也就相当于4个正方体的质量等于200克,所以每个正
14、方体为50克.方法三，设一个正方体的质量为x克,一个圆柱的质量为 y克,则由两天平的平衡关系,可列出方程组师：对于采用方法一的同学,能将一个实际问题符号化,转化成数学问题,能力值得肯定.对于采用方法二的同学,能想到用正方体来代替圆柱,从而直接找到正确答案,思路值得借鉴.而采用方法三的同学尝试用刚学过的二元一次方程组来解决这一问题，勇气可嘉.只是这个方程组如何解呢？让学生通过交流讨论，由解法二得到思维启迪，y就是3x,那么方程x+y=200,也就是x+3x=200,那么x=50.至此教师可加以引导和归纳：通过把y用3x去代替，原来有两个未知数x,y,现在化成了一个未知数x,而且我们不难发现这一方
15、程也正是方法一所列的方程.这个过程我们称之为”消元”.”消”即减少,”元”即未知数,所以”消元”也就是减少未知数的个数.这一设计，针对学生缺乏”消元”数学经验,老师设法从学生类似的生活经验中提取素材,帮助学生形成正确的思维方向.而探讨一题多解不只是为训练学生思维的灵活性，更为“消元思想”的形成埋下伏笔.方法一为代入法解二元一次方程组提供对比.方法二能促进学生萌生朴素的消元思想.通过探讨方法三中求方程组的解，用这一具体而又现实的问题引领学生思维的顺次展开，在这一系列的思维活动之后，教师进一步提炼学生的思维成果,渗透”消元”思想，水到渠成.以思维发展为教学主线就是：通过适当的数学活动，揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来.把数学教材编者的思维活动过程、数学教师本身的思维活动过程、学生学习的思维活动过程有机地结合，围绕数学思维活动的逐步展开的同时，不断运用旧知、获取新知，并伴以成功的体验和情感的发展.参考文献：1、曹才翰 章建跃数学教育心理学（第二版）M北京师范大学出版社2006、62、吴增生周福群等初中数学课堂的实践与研究M北京艺术与科学电子出版社2007、1
