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1、“最值”问题的认识与解决策略摘要：本文对代数中最值的求法与几何中最值的求法进入深入探究。充分展示最值的丰富内涵。通过探究一般规律，给出解决问题的基本方法。提高对最值问题有深入的理解，同时在学生及同行中营造良好的探究氛围。关键词：最值，二次函数，基本不等式，判别式，构造图形。数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值。在生产实践中，我们经常带有“最”字问题，如投入多少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等。我们把这类问题称为“最值”问题。最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解决灵活。下面对最值问题进行一些探索，并提出具体的解决方法，供大家学习参考。(一) 代数
2、中的最值问题1 利用一次函数y=kx+b(mxn)的图像是一条线段，根据函数的性质求最大(小)值例1 已知一次函数y=3x+1(1x2)，求最大值与最小 值。 解：如图，当x=1时，ymin=4，当x=2时，ymax=7。 一次函数的最大值是7，最小值是4。2 利用配方法求最值对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)=a+(1) 若a0 当x=时 ymin=(2) 若a0 当x=时 ymax=(3) 若x有范围限制且不能取时，则最值应结合图像分析求得。例2 实数x、y满足2x2-6x+y2=0，则x2+y2+2x的最大值为_ 解：由题意得 y2=6x-2x200x3原式=x2+(-2x2+6x
3、)+2x =-(x-4)2+160x3原式最大值=153 运用不等式或不等分析求最值()20 (a0,b0)a-2+b0 a+b2上述不等式的等号当且仅当a=b时成立。例3 正实数x、y满足xy=1，那么的最小值为_ 解：2 xy=1()min=14 建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值对于方程ax2+bx+c=0 (a0)若方程有解 =b2-4ac0若a、b、c中只有一个字母，则求出该字母的范围。 例4 已知x、y、z为实数，且x+y+z=5,xy+yz+zx=3。试求出z的最大值与最小值。 解：由题意得x+y=5-z，xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z2-5z+3x
4、、y是关于t的方程 t2-(5-z)t+z2-5z+3=0的两实根 =(5-z)2-4(z2-5z+3)0即：3z2-10z-130-1z故z的最大值为，最小值为-1。5 构造图形求最值用图形求最值，在竞赛数学中有广泛的应用，往往有事半功倍的效率。 例5 已知a、b均为正实数，且a+b=6，求的最小值。 分析 本题由题设中数量特征，联想到有关几何图形的性质(勾股定理)，并构造符合条件的图形，通过对图形的研究，使问题获得解决，这是数形结合的解题方法，是重要的数学思想方法。 解：设AB=2，CD=3，BC=a+b=6 且ABBC，CDBC，连AD交BC于E 则BE=a，CE=b，再过D作AB的垂线
5、交AB的延长线于F。由勾股定理：AE=，DE=AD=AE+DE=由矩形BCDF知：BF=CD=3，DF=BC=6，而AF=AB+BF=5AD=即()min= 演变 已知a、b是正实数，且b-a=2，求-的最大值。解：在RtABC中，B=900，DEAB于D，交AC于E，EFBC于F， 令AB=b，AD=a，DE=2，BC=3，则EF=BD=b-a=2 CF=BC-DE=3-2=1，而AE=，AC=，CE= (-)max=。(二) 几何中的最值问题1. 应用几何中的不等量性质、定理解几何最值问题常用以下几何不等量性质：两点间线段最短点直线上各点的连线中，垂线段最短待添加的隐藏文字内容2定圆中直径
6、最长“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”中的有关定理等以上不等量的性质学与轴对称变换、平移变换、旋转变换结合，化曲为直，使分散的条件加以集中，为性质运用创造条件。例6 A点是半圆上一个三等分点，B是的中点，P点是直径MN上一个动点，若O的半径为1，则PA+PB的最小值为_。解：作B关于MN的对称点B，连结AB交MN于P，连结AP、BP、OB A为半圆3等分点AON=600，又B是中点BON=300，NOB=300AOB=900OA=OB=1AB=AP+BP=2. 着眼于揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。具体方法：构造二次方程，利用二次方程必定有解的代数模型，利
7、用判别式求几何最值；构造二次函数求几何最值。例7 已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1，为了合理利用这块钢板，将正方形EABCD内截取一个矩形MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。解：延长NP交EF于Q，设DN=x，PN=y，则s=xy，由APQABF得，即x=10-2y，代入s=xy，得s=xy=y(10-2y)，即s=-2(y-)2+因3y4，而y=不在自变量的取值范围内，所以y=不是极值点，当y=3时，s3=12，当y=4时，s4=8，故smax=12此时钢板的利用率是=80%。将最值问题经过这样的纵横归纳和梳理，不仅知识更加系统了，还能看到知识的相互联系，加深理解，使你解此类题的思路更清晰。
