初中数学论文:“最值”问题的认识与解决策略.doc

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1、“最值”问题的认识与解决策略摘要:本文对代数中最值的求法与几何中最值的求法进入深入探究。充分展示最值的丰富内涵。通过探究一般规律,给出解决问题的基本方法。提高对最值问题有深入的理解,同时在学生及同行中营造良好的探究氛围。关键词:最值,二次函数,基本不等式,判别式,构造图形。数学问题中常见的一类问题是:求某个变量的最大值或最小值。在生产实践中,我们经常带有“最”字问题,如投入多少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等。我们把这类问题称为“最值”问题。最值问题也是数学竞赛中的热点问题,它内容丰富,涉及面广,解决灵活。下面对最值问题进行一些探索,并提出具体的解决方法,供大家学习参考。(一) 代数

2、中的最值问题1 利用一次函数y=kx+b(mxn)的图像是一条线段,根据函数的性质求最大(小)值例1 已知一次函数y=3x+1(1x2),求最大值与最小 值。 解:如图,当x=1时,ymin=4,当x=2时,ymax=7。 一次函数的最大值是7,最小值是4。2 利用配方法求最值对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)=a+(1) 若a0 当x=时 ymin=(2) 若a0 当x=时 ymax=(3) 若x有范围限制且不能取时,则最值应结合图像分析求得。例2 实数x、y满足2x2-6x+y2=0,则x2+y2+2x的最大值为_ 解:由题意得 y2=6x-2x200x3原式=x2+(-2x2+6x

3、)+2x =-(x-4)2+160x3原式最大值=153 运用不等式或不等分析求最值()20 (a0,b0)a-2+b0 a+b2上述不等式的等号当且仅当a=b时成立。例3 正实数x、y满足xy=1,那么的最小值为_ 解:2 xy=1()min=14 建立二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值对于方程ax2+bx+c=0 (a0)若方程有解 =b2-4ac0若a、b、c中只有一个字母,则求出该字母的范围。 例4 已知x、y、z为实数,且x+y+z=5,xy+yz+zx=3。试求出z的最大值与最小值。 解:由题意得x+y=5-z,xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z2-5z+3x

4、、y是关于t的方程 t2-(5-z)t+z2-5z+3=0的两实根 =(5-z)2-4(z2-5z+3)0即:3z2-10z-130-1z故z的最大值为,最小值为-1。5 构造图形求最值用图形求最值,在竞赛数学中有广泛的应用,往往有事半功倍的效率。 例5 已知a、b均为正实数,且a+b=6,求的最小值。 分析 本题由题设中数量特征,联想到有关几何图形的性质(勾股定理),并构造符合条件的图形,通过对图形的研究,使问题获得解决,这是数形结合的解题方法,是重要的数学思想方法。 解:设AB=2,CD=3,BC=a+b=6 且ABBC,CDBC,连AD交BC于E 则BE=a,CE=b,再过D作AB的垂线

5、交AB的延长线于F。由勾股定理:AE=,DE=AD=AE+DE=由矩形BCDF知:BF=CD=3,DF=BC=6,而AF=AB+BF=5AD=即()min= 演变 已知a、b是正实数,且b-a=2,求-的最大值。解:在RtABC中,B=900,DEAB于D,交AC于E,EFBC于F, 令AB=b,AD=a,DE=2,BC=3,则EF=BD=b-a=2 CF=BC-DE=3-2=1,而AE=,AC=,CE= (-)max=。(二) 几何中的最值问题1. 应用几何中的不等量性质、定理解几何最值问题常用以下几何不等量性质:两点间线段最短点直线上各点的连线中,垂线段最短待添加的隐藏文字内容2定圆中直径

6、最长“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”中的有关定理等以上不等量的性质学与轴对称变换、平移变换、旋转变换结合,化曲为直,使分散的条件加以集中,为性质运用创造条件。例6 A点是半圆上一个三等分点,B是的中点,P点是直径MN上一个动点,若O的半径为1,则PA+PB的最小值为_。解:作B关于MN的对称点B,连结AB交MN于P,连结AP、BP、OB A为半圆3等分点AON=600,又B是中点BON=300,NOB=300AOB=900OA=OB=1AB=AP+BP=2. 着眼于揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等。具体方法:构造二次方程,利用二次方程必定有解的代数模型,利

7、用判别式求几何最值;构造二次函数求几何最值。例7 已知边长为4的正方形钢板,有一个角锈蚀,其中AF=2,BF=1,为了合理利用这块钢板,将正方形EABCD内截取一个矩形MDNP,使点P在AB上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率。解:延长NP交EF于Q,设DN=x,PN=y,则s=xy,由APQABF得,即x=10-2y,代入s=xy,得s=xy=y(10-2y),即s=-2(y-)2+因3y4,而y=不在自变量的取值范围内,所以y=不是极值点,当y=3时,s3=12,当y=4时,s4=8,故smax=12此时钢板的利用率是=80%。将最值问题经过这样的纵横归纳和梳理,不仅知识更加系统了,还能看到知识的相互联系,加深理解,使你解此类题的思路更清晰。

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