全国高中数学联赛试题详解复习必备.doc

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1、高中数学竞 赛 讲 义2007-2009全国高中数学联赛试题解答河南大学附中目录 2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准1 2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准6 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准10 2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准212007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准26 2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准322009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标

2、准的评分档次给分,不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)1 若函数且,则 【答案】【解析】 ,故2 已知直线和圆,点在直线上,为圆上两点,在中,过圆心,则点横坐标范围为 【答案】【解析】 设,则圆心到直线的距离,由直线与圆相交,得解得3 在坐标平面上有两个区域和,为,是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,则和的公共面积是函数 【答案】【解析】 由题意知 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】【解

3、析】 设显然单调递减,则由的最大值,可得5 椭圆上任意两点,若,则乘积的最小值为 【答案】【解析】 设,由,在椭圆上,有 得于是当时,达到最小值6 若方程仅有一个实根,那么的取值范围是 【答案】 或【解析】 当且仅当对由求根公式得, 或()当时,由得,所以,同为负根又由知,所以原方程有一个解()当时,原方程有一个解()当时,由得,所以,同为正根,且,不合题意,舍去综上可得或为所求7 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)【答案】【解析】 易知:()该数表共有10

4、0行;()每一行构成一个等差数列,且公差依次为,()为所求 设第行的第一个数为,则=故8 某车站每天,都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为到站时刻概率一旅客到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分)【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为候车时间(分)1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1 (本小题满分14分)设直线(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由【解析】 由消去化简整理得设,则 4分由消去化简整理得设,则 8分因为,所以,

5、此时由得所以或由上式解得或当时,由和得因是整数,所以的值为,当,由和得因是整数,所以,于是满足条件的直线共有9条14分2 (本小题15分)已知,是实数,方程有两个实根,数列满足,()求数列的通项公式(用,表示);()若,求的前项和【解析】 方法一:()由韦达定理知,又,所以,整理得令,则所以是公比为的等比数列数列的首项为:所以,即所以当时,变为整理得,所以,数列成公差为的等差数列,其首项为所以于是数列的通项公式为;5分当时, 整理得,所以,数列成公比为的等比数列,其首项为所以于是数列的通项公式为10分()若,则,此时由第()步的结果得,数列的通项公式为,所以,的前项和为以上两式相减,整理得所以

6、15分方法二:()由韦达定理知,又,所以,特征方程的两个根为,当时,通项由,得, 解得故 5分当时,通项由,得 , 解得,故 10分()同方法一3 (本小题满分15分)求函数的最大和最小值【解析】 函数的定义域为.因为当时等号成立故的最小值为5分又由柯西不等式得 所以 10分由柯西不等式等号成立的条件,得,解得故当时等号成立因此的最大值为15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(A卷)说明:1评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档

7、次一、如图,分别为锐角三角形()的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点,为的内心,连接并延长交圆于求证:;在弧(不含点)上任取一点(,),记,的内心分别为,求证:,四点共圆【解析】 连,由于,共圆,故是等腰梯形因此,连,则与交于,因为,所以同理于是,故四边形为平行四边形因此(同底,等高)又,四点共圆,故,由三角形面积公式于是因为,所以,同理由得由所证,故又因,有故,从而因此,四点共圆二、求证不等式:,2,【解析】 证明:首先证明一个不等式:,事实上,令,则对,于是,在中取得令,则, 因此又因为从而 三、设,是给定的两个正整数证明:有无穷多个正整数,使得与互素【解析】 证法一:对任意正整数,令我们证

8、明设是的任一素因子,只要证明:p若pk!,则由 及,且p+1k!,知且从而p 证法二:对任意正整数,令,我们证明设是的任一素因子,只要证明:p 若pk!,则由 即不整除上式,故p 若,设使,但故由 ,及,且p+1k!,知且从而p四、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质:对于数表中的任意一列(,2,9)均存在某个使得求证:()最小值,2,3一定自数表的不同列()存在数表中唯一的一列,2,3使得数表仍然具有性质【解析】 ()假设最小值,2,3不是取自数表的不同列则存在一列不含任何不妨设,2,3由于数表中同一行中的任何两个元

9、素都不等,于是,2,3另一方面,由于数表具有性质,在中取,则存在某个使得矛盾()由抽届原理知,中至少有两个值取在同一列不妨设,由前面的结论知数表的第一列一定含有某个,所以只能是同样,第二列中也必含某个,2不妨设于是,即是数表中的对角线上数字 记,令集合显然且1,2因为,所以故于是存在使得显然,2,3下面证明数表 具有性质从上面的选法可知,这说明 ,又由满足性质在中取,推得,于是下证对任意的,存在某个,2,3使得假若不然,则,3且这与的最大性矛盾因此,数表满足性质下证唯一性设有使得数表 具有性质,不失一般性,我们假定 由于,及(),有又由()知:或者,或者如果成立,由数表具有性质,则 , , 由

10、数表满足性质,则对于至少存在一个使得由及和式知,于是只能有类似地,由满足性质及可推得从而2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)说明:1评阅试卷时,请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1函数在上的最小值是 ( C )A0 B1 C2 D3解 当时,因此,当且仅当时上式取等号而此方程有解,因

11、此在上的最小值为22设,若,则实数的取值范围为( D )A B C D解 因有两个实根 ,故等价于且,即且,解之得3甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 ( B )A. B. C. D. 解法一 依题意知,的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有,故解法二 依题意知,的所有可能值为2,4,6.令

12、表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得, , ,故4若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3解 设这三个正方体的棱长分别为,则有,不妨设,从而,故只能取9,8,7,6若,则,易知,得一组解若,则,但,从而或5若,则无解,若,则无解此时无解若,则,有唯一解,若,则,此时,故,但,故,此时无解综上,共有两组解或体积为cm3或cm35方程组的有理数解的个数为 ( B )A. 1 B.

13、2 C. 3 D. 4解 若,则解得或若,则由得 由得 将代入得 由得,代入化简得.易知无有理数根,故,由得,由得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或6设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是 ( C )A. B. C. D. 解 设的公比为,则,而 因此,只需求的取值范围因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且即有不等式组即解得从而,因此所求的取值范围是二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7设,其中为实数,若,则 5 .解 由题意知,由得,因此,8设的最小值为,则解 ,(1) 时,当时取最小值;(2) 时,当时取最小值1;(3) 时,当时取最小值又或时,的最

14、小值不能为,故,解得,(舍去)9将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种解法一 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“”占领的一种“占位法”“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“”,故有种又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知,满足条件的分配方法共有25331222种解法二设分配给

15、3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数,即方程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知,满足条件的分配方法共有25331222种10设数列的前项和满足:,则通项=解 ,即 2 =,由此得 2令, (),有,故,所以11设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足,则=解法一 由题设条件知 ,因此有,故 解法二 令,则 ,即,故,得是周期为2的周期函数,所以答12图112一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球

16、永远不可能接触到的容器内壁的面积是 解 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面/平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,垂足为的中心因,故,从而记此时小球与面的切点为,连接,则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2记正四面体的棱长为,过作于答12图2 因,有,故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分) 又,所以由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题(本题满分60分,每小题20分)答13图13已知函数的图像与直线

17、 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证: 证 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,5分 由于,所以,即10分因此 15分 20分14解不等式:解法一 由,且在上为增函数,故原不等式等价于即 5分分组分解 , 10分所以, 15分所以,即0成立的事件发生的概率等于( D )A. B. C. D. 解:甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个。由不等式a2b+100得2ba+10,于是,当b=1、2、3、4、5时,每种情形a可取1、2、9中每一个值,使不等式成立,则共有95=45种;当b=6时,a可取3、4、9中每一个值,有7种

18、;当b=7时,a可取5、6、7、8、9中每一个值,有5种;当b=8时,a可取7、8、9中每一个值,有3种;当b=9时,a只能取9,有1种。于是,所求事件的概率为。4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立,则的值等于( C )A. B. C. 1D. 1解:令c=,则对任意的xR,都有f(x)+f(xc)=2,于是取,c=,则对任意的xR,af(x)+bf(xc)=1,由此得。一般地,由题设可得,其中且,于是af(x)+bf(xc)=1可化为,即,所以。由已知条件,上式对任意xR恒成立,故必有,若b=0,则由(1)知a=

19、0,显然不满足(3)式,故b0。所以,由(2)知sinc=0,故c=2k+或c=2k(kZ)。当c=2k时,cosc=1,则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k+(kZ),cosc=1。由(1)、(3)知,所以。5. 设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是( A )解:设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2,|O1O2|=2c,则一般地,圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2,且离心率分别是和的圆锥曲线(当r1=r2时,O1O2的中垂线是轨迹的一部份,当c=0时,轨迹是两个同心圆)。当r1=r2且r1+r22c时,圆P的圆心轨迹如选项B;当02c|r1r2|时,

20、圆P的圆心轨迹如选项C;当r1r2且r1+r22c时,圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合,因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。6. 已知A与B是集合1,2,3,100的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为AB空集。若nA时总有2n+2B,则集合AB的元素个数最多为( B )A. 62B. 66C. 68D. 74解:先证|AB|66,只须证|A|33,为此只须证若A是1,2,49的任一个34元子集,则必存在nA,使得2n+2B。证明如下:将1,2,49分成如下33个集合:1,4,3,8,5,12,23,48共12个;2,6,10,22,14,30,18,38共4

21、个;25,27,29,49共13个;26,34,42,46共4个。由于A是1,2,49的34元子集,从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A,即存在nA,使得2n+2B。如取A=1,3,5,23,2,10,14,18,25,27,29,49,26,34,42,46,B=2n+2|nA,则A、B满足题设且|AB|66。二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A(3,0),B(1,1),C(0,3),D(1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 。解:如图,设AC与BD交于F点,则|PA|+|PC|AC|

22、=|FA|+|FC|,|PB|+|PD|BD|=|FB|+|FD|,因此,当动点P与F点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。8. 在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,若,则与的夹角的余弦值等于 。解:因为,所以,即。因为,所以,即。设与的夹角为,则有,即3cos=2,所以。9. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。解:如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过

23、顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为,AA1=1,则。同理,所以,故弧EF的长为,而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为,所以弧FG的长为。这样的弧也有三条。于是,所得的曲线长为。10. 已知等差数列an的公差d不为0,等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若a1=d,b1=d2,且是正整数,则q等于 。解:因为,故由已知条件知道:1+q+q2为,其中m为正整数。令,则。由于q是小于1的正有理数,所以,即5m13

24、且是某个有理数的平方,由此可知。11. 已知函数,则f(x)的最小值为 。解:实际上,设,则g(x)0,g(x)在上是增函数,在上是减函数,且y=g(x)的图像关于直线对称,则对任意,存在,使g(x2)=g(x1)。于是,而f(x)在上是减函数,所以,即f(x)在上的最小值是。12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 3960 种(用数字作答)。解:使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种,同样,使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种,故由乘法原理,这样的填法共有722

25、种,其中不符合要求的有两种情况:2个a所在的方格内都填有b的情况有72种;2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=1672种。所以,符合题设条件的填法共有722721672=3960种。三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13. 设,求证:当正整数n2时,an+1an。证明:由于,因此,于是,对任意的正整数n2,有,即an+10(1),(2),(3),由此解得。对求导,得,则,于是直线l1的方程为,即,化简后得到直线l1的方程为(4)。同理可求得直线l2的方程为(5)。(4)(5)得,因为x1x2,故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)

26、得(7),其中,代入(7)式得2yp=(32k)xp+2,而xp=2,得yp=42k。又由得,即点P的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x),求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+)=fi(x);(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。证明:记,则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的xR,g(x+2)=g(x)

27、,h(x+2)=h(x)。令,其中k为任意整数。容易验证fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的xR,fi(x+)=fi(x),i=1,2,3,4。下证对任意的xR,有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时,显然成立;当时,因为,而,故对任意的xR,f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的xR,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时,显然成立;当x=k时,h(x)=h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k),所以h(x)=h(k)=0,而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0,故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x;当

28、时,故,又f4(x)sin2x=0,从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是,对任意的xR,有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述,结论得证。2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、(本题满分50分)如图,在锐角ABC中,ABAC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点。过P作PEAC,垂足为E,作PFAB,垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外心。求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。证明:连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PDBC,PFAB,故B、D、P、F四点共圆,且BP为该圆的直径。

29、又因为O1是BDF的外心,故O1在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆,且O2是的CP中点。综合以上知O1O2BC,所以PO2O1=PCB。因为AFAB=APAD=AEAC,所以B、C、E、F四点共圆。充分性:设P是ABC的垂心,由于PEAC,PFAB,所以B、O1、P、E四点共线,C、O2、P、F四点共线,FO2O1=FCB=FEB=FEO1,故O1、O2、E、F四点共圆。必要性:设O1、O2、E、F四点共圆,故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP,又因为O2是直角CEP的斜边中点,也就是CEP的外心,所以PO2E=2ACP。因为O1是直角BFP的斜边中点,也就是BFP的外心,从而PFO1=90BFO1

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