各省高中数学竞赛预赛试题汇编.doc

《各省高中数学竞赛预赛试题汇编.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《各省高中数学竞赛预赛试题汇编.doc（83页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷-第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）-第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）-第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷-第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷-第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷-第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）-第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷-第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷-第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷-第55页11. 2012年高

2、中数学联赛浙江省预赛试卷-第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷-第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）-第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）-第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）-第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_18_.2、在中，已知则_4_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直

3、线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_144_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_24_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长

4、的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1已知集合N，且N，则 1 2已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则3函数的值域为4已知，则5已知数列满足：为正整数，如果，则 5 6在中，角的对边长满足，且，则7在中，设是的内心，若，则的值为8设是方程的三个根，则的值为 5 二、解答题

5、（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列满足且，求的通项公式解 在已知等式两边同时除以，得，所以 -4分令,则，即数列是以4为首项,4为公比的等比数列，所以. -8分所以,即 . -12分于是，当时, ，因此, -16分10已知正实数满足，且，求的最小值解 令，则-5分令 ，则 ，且-10分于是 -15分因为函数在上单调递减，所以因此，的最小值为 -20分11设，其中且若在区间上恒成立，求的取值范围解 由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. -5分（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而

6、，解得或结合得 -10分（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得易知，所以不符合 -15分综上可知：的取值范围为 -20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1函数的值域为_2已知，则_3已知数列满足：为正整数，如果，则 4设集合，是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为 5过原点的直线与椭圆：交于两

7、点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_6在中，设是的内心，若，则的值为_7在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_8设表示不超过的最大整数，则 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列满足且，求的通项公式10已知正实数满足，且，求的取值范围11已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题

8、的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1函数的值域为2已知，则3已知数列满足：为正整数，如果，则 5 4设集合，是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为 185 5过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为6在中，设是的内心，若，则的值为7在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为8设表示不超过的最大整数，则 2012 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列满足且，求的通项公式解 在已知等式两边

9、同时除以，得，所以 -4分令,则，即数列是以4为首项,4为公比的等比数列，所以. -8分所以,即 . -12分于是，当时, ，因此, -16分10已知正实数满足，且，求的取值范围解 令，则-5分令 ，则 ，且-10分于是 -15分因为函数在上单调递减，所以又，所以 -20分11已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点解 所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而则所在直线的方程为，其中，同理可得-5分（1）当时，又，故，于是的面积，当且仅当时等号成立所以，的面积的最小值为. -10

10、分（2），所在直线的方程为，即 -15分又，即，代入上式，得，即 当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点 -20分2012年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数满足: ,则的最小可能值是 .3.若，,，则 .4已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 .5如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，则 .6方程的非负整数解 .7一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从

11、中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 .二、解答题9（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为求的表达式，并写出x的取值范围10（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值11（本题满分16分）正实数满足，求证：（1）；（2）12（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a） ；（b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和（1）求的值；（2）求证：2012年上海市高中数学竞赛答案1、 2、923、11 4、5、

12、 6、7、 8、40259解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 （2分）在OBC中，由余弦定理，所以 ， 由，得 （5分）所以 ，故 ，所以 （10分）由可得，故因为，结合，可得 ，解得（结合） 综上所述， （14分）10解 当时，此时，且当时不等式等号成立，故 （6分） 当时，此时“耐克”函数在内是递减，故此时 综上所述， （14分）11证 （1）记，由平均不等式 （4分）于是 ，所以 ，而，所以，即，从而 （10分） （2）又因为，所以 ，故 （16分）12解 （1）设集合，且A满足（a），（b）则由于不满足（b），故又 都不满足 （b），故而集合满足（a），（b），所以 （6

13、分） （2）首先证明 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于，故又，所以，集合，且B满足（a），（b）从而 （10分）其次证明： 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于 ，所以，且而，从而B满足（a），（b），于是 （14分）由，得 反复利用，可得 （16分）2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，则“”是“在上恒成立”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件

14、D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（ ）A 、 B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是 8、的展开式中的常数项是 （用具体数字

15、作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角满足，则的最大值是 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围16、设函数在上的最大值为（）（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都

16、有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立 2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、 8、 9、0 10、14 11、 12、 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知， （5分）由知，于是所以时，有最小值；当时，有最大值 （10分）（II）由条件可知对任意的恒成立， , （15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得，所以， （20分）14、解：（I）

17、因为 （5分） ，等号成立的条件是，当时，可取最小值2 （10分）（II）当取最小值时，从而，即，令，则 （15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值 （20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得（5分）由题设知方程有两负根，因此，解得（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，其取值范围是所以的取值范围是 （20分）16、解：（I），当时，由知或者， （5分）当时，又，故；当时，又，故；当时，时，；时，；在处取得最大值，即综上所述， （10分） （II）当时，欲证 ，只需证明 所以，当时，都有成立 （15分）（III）当时，结论显然成立；当时

18、，由（II）知 所以，对任意正整数，都有成立 （20分）山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数的最大值是_ ; (王泽阳 供题)解:,其等号仅当即时成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,an.若an=2012.则n=_. (王继忠 供题)解:设为吉祥数,则x1+x2+xm=5,由x11和x2,xm0得(x1-1)+x2+xm=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个,因以1为首位

19、的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,2011时,.则f(2012)=_; (王 林 供题)解:当n=0,1,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根,设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故,.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点

20、染红.一直进行下去,可得到_个红点. (龚红戈 供题)解:将5个点依次编号04,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.ABCDOIEF5.如图，设,分别为的外心、内心，且，的外角平分线交于，已知,则_. (李耀文 供题)解: 连接并延长交于,则为弧的中点.连、，由，易知、均为正三角形.由内心的性质得知：,所以、四点共圆,且圆心为.再延长交于,由题设知、共线，于是, ,又, 从而, 故.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈

21、永高 供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知,所以, p|(n2n-1).取k=pr-1(rN*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1).RABCDPEGFQ7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GEGF. (叶中豪 供题) 证法1: 设CG交AD于Q,由GBAGDA及AGBCGD知ABGQDG。延长DF、CB交于R，由ADBR, AD=BC得 又由CPBQPE及RPBDPE得 由,得,表明F,E是ABG,QDG的相似对应点,故得FBGEDG.所以,FGB=EGD,FGE=BGD=900

22、, 即GEGF.ABCDPEGFQ证法2:联结GB,GD,令GCB=,GCD=,由正弦定理得:,由GBFGDE得FBGEDG.所以,FGB=EGD,FGE=BGD=900, 即GEGF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,A10满足:(1)|Ai|=36,i=1,2,10;(2)A1A2A10=A;(3)|AiAj|=8,ij.请说明理由. (刘裕文 供题)解:答案:存在.考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,10,第j项为1的0,1数列恰有个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j1,2,10(i1,v1.由

23、4v2-3u21(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=1513=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式有三个非零实数根.求证:. (李胜宏 供题)证明:设为p(x)=0的三个根,由根与系数关系得:.原式 .若,则成立.若,不妨设,由的齐次性,不妨设,则,.因 ,所以,.故原式成立.二一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题(

24、本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则点 P 与点Q间的最小距离为_；2.向量为坐标原点，动点满足则点构成的图形的面积 为 3. 设有非空集合且当时，必有，这样的集合A的个数是_；4.设其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有_个；6.若则的最大值是 ；7.设函数，满足且对任意都有，则 ；8.实数满足，则的最大值为 ；二、解答题( 本题满分 64

25、 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，求10.M是抛物线的准线上任意点，过M作抛物线的切线，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求MP的最小值。11.设为正实数，且，求证：12.某校数学兴趣小组由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题

26、.试求m ， n 的值2012年河北省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知，则可化简为（ D ）A B. C. D. 解答：因为，所以= 。正确答案为D。2如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ）A. 2 B. C. D. 解答：由题意得。正确答案为C。3. 设A ，B为两个互不相

27、同的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ B ）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ）A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5. 函数，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）2

28、231 221 22 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是 则数组中的（ B ） A64 B32 C16 D8答案 经计算。正确答案为 B。8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ）A. 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面区域的四个边界点（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。

29、9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10. 已知，则的解为（ C ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数的最小正周期为_4_。解答：最小正周期为4。12. 已知等差数列前15项的和=30，则=_6_.解答：由，而。13. 向量，则的取值范围为 1，3 。解答： = ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为1，3。14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_。解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为。15设为实数，则_4_