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1、2012年全国大学生数学建模竞赛B题优秀论文太阳能小屋的设计摘要针对问题1，铺设。然后，以太阳能小屋各面发电量最大为目标建立单目标规化模型，运用LINGO编程求得模型的最优解，在实际铺设太阳能光伏电池过程中进一步优化，确定用42块B2和18块C5进行铺设，绘制出各面的光伏电池铺设图。最后，由铺设方案求得35年总发电量为22207.169kw，经济效益为349762.915元，投资回收年限为24.01年。针对问题2，根据山西大同的气象数据及地理经纬度，计算出太阳高度角、经纬角、时角等，建立倾斜面上太阳辐射量与直接辐射量、天空散射辐射量及地面反射辐射量的多层次分析模型，并得出最佳倾斜角为37.3，
2、方位角为朝向正南方。利用与贴附安装方式相同的思路进行铺设，并对铺设后的效益成本进行计算。求得35年总发电量为1749735.91kw，经济效益为641527.955元，投资回收年限为12.73年。针对问题3， 关键词：单目标规划模型，0-1整数规划，Lingo编程，多层次分析法 11问题重述1.1问题背景在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所
3、处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。1.2问题要求参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类
4、型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。问题3：根据给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计
5、算相应结果。 2问题分析2.1问题1分析针对问题1，首先， 2.2问题2分析针对问题二，倾斜面所能接受的太阳辐射总量与直接辐射量，天空散射辐射量，地面反射辐射量的多层次分析模型来求解最佳倾斜角。首先，根据附件2中的太阳高度角以及赤纬角等相关公式依次求解出直接辐射量，天空散射辐射量，地面反射辐射量。然后，对该模型进行求导求解出最佳倾斜角。最后，根据水平面上太阳辐射总量的变化，可以确定每一个月的最佳夹角。对于架空安装方式太阳能电池板的铺设，2.1.2.3问题3分析针对问题三， 3模型假设1、假设p取值3.14；2、假设2月均为28天；3、假设光伏电池在35年寿命期间内不发生损坏；4、假设35年内的
6、每一年的辐射强度均为附件中的所给的数据；5、假设太阳能电池板间距忽略不计；6、假设逆变器将直流电转化成交流电时不发生损耗；7、假设架空方式安装光伏电池时支架费用忽略不计；8、假设风向因素对支架的稳定性无影响。4符号说明q：朝阳面屋顶与水平面的夹角；b：背阳面屋顶与水平面的夹角；z：目标函数；qij：一块第i种光伏电池在第j面上的总电量；xi：第i种光伏电池；si：一块第i种光伏电池的面积；Sj：第j个面小屋的面积；bjcj：太阳能光伏电池B2和C5在第j个面上铺设数量的比值 3Q：产生电量；P：电价0.5元/kWh；T1：电池总成本；T2：逆变器总成本；A：经济效益；B：投资的回收年限；HT：
7、太阳辐射总量；Hbt：直接辐射量；Hdt：天空散射辐射量；Hgt：地面反射辐射量；y：当地纬度；d：赤纬角：w：时角；5模型的建立与求解5.1问题1模型的建立与求解5.1.1模型的建立由附件1中单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量80w/m2、薄膜电池表面总辐射量30w/m2由此可利用0-1规划思想5对山西大同太阳光辐射强度进行有效筛选： 设太阳光辐射强度为ai，i=1,2,3,4,5,6射量： 8759，设V1为启动薄膜电池的太阳光辐1V1=0太阳光总辐射量30W/m2太阳光总辐射量30W/m2设V2为启动单晶硅和多晶硅电池的太阳光辐射量1V2=0太阳光总辐射量80W/m2太阳光总辐射量
8、80W/m2利用筛选后的数据进行计算所选电池的发电量。45由附件1要求：单晶硅和多晶硅电池（A型或B型）启动发电的表面总辐射量80W/m2、薄膜电池（C型）表面总辐射量30W/m2。综合表1可得到符合要求的最优光伏电池是B2和C1。再考虑到逆变器的选择，若使用C1时参考maxz=xiqiji=12约束条件：2sixiSjs.ti=1bx-cx=0j1j2j=1,2,3,4,5,6j=1,2,3,4,5,6 其中：qij为一块第i种光伏电池在第j面上的总电量；xi为第i种光伏电池；si为一块第i种光伏电池的面积；Sj为第j个面小屋的面积； bjcj为太阳能光伏电池B2和C5在第j个面上铺设数量的
9、比值（见附录4）。运用LINGO软件编程求解，将求得的结果与附件2所给的小屋外图综合分析，利用 6背包算法原理，运用CAD软件绘制电池板铺设图4。 5.1.2模型的求解然后对附件3和附件4中数据的研究和分析可得B2和C5在各个面上每块的总电量（见附录5）得表1.2：qij（w）表1.2 B2和C5在各个面上每块的总电量qij（w）结合表2中的已知量，可用LINGO编程（见附录3）求得模型的解为：北面，最大发电量 z1=440142w ，x1=5， x2=10； 西面：z2=486599w ，x1=8 ，x2=5； 南面：z3=174125w ，x1=8， x2=2； 东面：z4=247460w
10、 ，x1=8 ，x2=4； 朝阳面屋顶：z5=200753w ，x1=30 ，x2=1； 背阳面屋顶：z6=67630.7w ，x1=7，x2=1；再根据附件1中的内容，在实际铺设中以上数据为基础，不断优化，最终可确定铺设的方案见图1.11.5。南面由于可铺设面积与预测不相符，所以南面不铺设太阳能光伏电池，同时考虑到其他各面各光伏电池的数量关系，所以在数量上有些差异。 5.1.3电池板的铺设方案铺设方案见图1.11.5：7 图1.1北面电池板的铺设 图1.2 东面电池板的铺设 8 图1.3西面电池板的铺设 9 图1.4朝阳面电池板的铺设 图1.5背阳面电池板的铺设 10 5.1.4组件的连接示
11、意图和逆变器的选择北面组件的连接示意图和逆变器的选择： 11 西面组件的连接示意图和逆变器的选择： 背阳面组件的连接示意图和逆变器的选择： 13朝阳面组件的连接示意图和逆变器的选择： 5.1.5铺设后的计算综上选择B2电池共42块，价值12.5元/Wp*组件功率（w)*个数，总价值为12.5*320*42=168000(元) 14选择C5电池共18块，价值4.8元/Wp*组件功率（w)*个数，总价值为4.8*100*18=8640(元)，应题目要求可得35年总发电量为Q=(c1+c2+c4+c5+c6)*(10+15*90%+10*80%)=22207.169kw其中, Cj是每一面发电量总和
12、（见表2）；注：(10+15*90%+10*80%)来源附件3，,所有光伏组件在010年效率按100%，1025年按照90%折算，25年后按80%折算。 经济效益=电费收入-铺设成本：A=Q*P-T1-T2=349762.915（元）投资的回收年限=投资成本/一年的收益B=T1+T2一年的收益=24.01（年）5.2问题2模型的建立与求解5.2.1模型的建立倾斜角是太阳电池方阵平面与水平地面的夹角，并希望此夹角是方阵一年中发电量为最大时的最佳倾斜角度。 一年中的最佳倾斜角与当地的地理纬度有关，当纬度较高时，相应的倾斜角也大。倾斜面上所接受到的太阳辐射总量HT由直接辐射量Hbt、天空散射辐射量H
13、dt、及地面反射辐射量Hgt组成，即：HT=Hbt+Hdt+Hgt直接辐射量：太阳高度角的大小影响到达地面能量的多少，太阳高度角越大，地面单位面积上获得的太阳辐射量就越多，太阳高度角的计算单位为：sinh=sinysind+cosycosdcosw其中，y为当地纬度；d为赤纬角；w为时角；太阳赤纬角：2p(284+n) d=23.45sin 36515其中，n为日期序号。正午时刻h的计算公式为：h=90o-y+d日出，日落时刻水平面上的太阳高度角为0，即：sin0=sinysind+cosycosdcosw求解上式得w=arccos(-tanytand)上式计算后得到+ws和-ws两个值，+w
14、s为日落时角，-ws为日出时角。5.2.2模型的求解大气质量的计算公式为m=P （1） P0sinh其中，P为大气压；P0为标准大气压；sinh为太阳高度； 到达水平面的太阳直辐射量为：S=S0Pmsinh （2）其中，S0为太阳常数，取1353W/m2；Pm为大气透明系数；sinh为太阳高度角；Hbt与水平面上的直接辐射量Hb(Hb=S)之间有如下关系：Hbt=HbRb对于朝向赤道的倾斜面：Rb=cos(y-b)cosdsinwx+cosycosdsinws+pwxsin(y-b)sindwssinysind （3）180其中，y是当地纬度；b是倾角；d是太阳赤纬；16ws为倾斜面上日落时角
15、；wx为水平面上日落时角；水平面上的日落时角：wx=cos-1-tan(y-b)tand （4）倾斜面上的日落时角：w=minws,cos-1-tan(y-b)tand （5）倾斜面上天空散射辐射量是由太阳光盘的辐射量和其余天空穹顶均匀分布的散射辐射量组成，即：H-HdH-Hd1Hdt=HdRb+(1+cosb)1-2H0H0 （6） 其中，Hb,Hd分别为水平面上直接和散射辐射量；H0为大气层外水平面上太阳辐射量；b为倾角；Rb是倾斜面与水平面上直接辐射量之比；H0=24360npS01+0.wssinfsind （7） cosfcosdsinws+p365180其中，S0为太阳常数；取13
16、67w/m2地面反射辐射量的表达式为：1Hgt=rH(1-cosb) （8） 2其中，r为地面反射率，如下表2.1所示：一般情况下取r=0.2倾斜面上太阳辐射总量为：H-HdH-Hd1HT=HbRb+HdRb+(1+cosb)1-HH2001+2Hr(1-cosb) （9）17在冬半年，太阳赤纬为负数，因此，倾斜面上日落时角ws和水平面日落时角wx相等，可直接推导出最佳倾角的数学表达式。将（9）改写为：HdHbHT=H+bH0Hd1()()R+H-H1+cosbr(1-cosb) （10） 0bb2H20将HT对b求导，得boptHbHbHbp22+21-tanytanws+wsHHh （11
17、）0 =arctanHbHbHbptanytanw-w()+1-+1-rssHH180H0dHT=0 ，可求解出b=37.3o此db 由山西省大同的地里经纬度和相关数据， 并令角度即为太阳能小屋电池板的最佳角度。5.2.3电池板的铺设方案对于架空安装方式太阳能电池板的铺设，考虑到天窗的采光问题，首先运用LINGO编程对电池的所需最优个数进行预算，预算结果为各需15块；然后根据面积对朝阳面的电池板进行了优化铺设；最后解得实际最优个数各需18块。铺设结果见图2.1. 图2.1朝阳面电池板的铺设（注：图中黑框为附件2顶视图中的天窗）18其余方向的电池铺设图与问题1的铺设一致，不进行图示（注意：其余方
18、面的电池与水平面的夹角均为37.3）。 5.2.4组件的连接示意图和逆变器的选择朝阳面组件的连接示意图和逆变器的选择：与附件5对比可选的逆变器 5.2.5铺设后的计算综上选择B2电池共36块，价值12.5元/Wp*组件功率（w)*个数，总价值为12.5*320*36=144000(元)选择C5电池共33块，价值4.8元/Wp*组件功率（w)*个数，总价值为4.8*100*33=15840(元)，应题目要求可得35年总发电量为其中, Cj是每一面发电量总和（见表2）；注：(10+15*90%+10*80%)可见附件3 经济效益=电费收入-铺设成本：A=Q*P-T1-T2=641527.955（元
19、） Q=(c1+c2+c4+c5+c6)*(10+15*90%+10*80%)=1749735.91kw投资的回收年限=投资成本/一年的收益B=T1+T2一年的收益=12.73（年）205.3问题3的求解5.3.1小屋的建立 根据单位面积单位价格功率表，为了使得单位发电量的费用最低， 图3.1小屋的透视图 21 图3.2小屋的北视图 图3.2小屋的东视图 225.3.2组件的连接示意图和逆变器的选择顶面组件的连接示意图和逆变器的选择： 23求得电池组件B2总电流I1=W/V=6.85，B2总电流I2=W/V=3.43 与附件5对比可选的逆变器 西面组件的连接示意图和逆变器的选择：求得电池组件B
20、2总电流I1=W/V=2.29A 与附件5对比可选的逆变器 24表3.2 西面所选逆变器的规格东面组件的连接示意图和逆变器的选择：求得电池组件B2总电流I1=W/V=2.29A， B2总电流I2=W/V=3.43A 与附件5对比可选的逆变器 表3.3 东面所选逆变器的规格 25北面组件的连接示意图和逆变器的选择：求得电池组件B2总电流I1=W/V=2.29 与附件5对比可选的逆变器表3.4 北面所选逆变器的规格 5.3.3铺设后的计算综上选择B2电池共84块，价值12.5元/Wp*组件功率（w)*个数，总价值为12.5*320*84=336000(元)同问题1,2中的计算方法一样，可计算想出3
21、5年的总发电量Q为26303492.95kw。 经济效益=电费收入-铺设成本：A=Q*P-T1-T2=12780646.475（元）投资的回收年限=投资成本/一年的收益26B=T1+T2一年的收益=0.99（年）6模型的评价与分析6.1模型的评价6.1.1优点：（1）多层次分析法把研究对象作为一个系统，运用比较判断，综合的思维方式进行决策，每个层次中的每个因素对结果都是量化的，非常清晰、明确。把定性方法与定量方法有机的结合起来，使复杂的系统分解。（2）建立单目标规划模型，运用Lingo编程求解，计算简单，所得结果简单明了。6.1.2缺点：（1）多层次分析法只能从原有方案中进行选取，不能为决策者
22、提供新方案。（2）多层次分析法带有较多定性色彩。6.2模型的推广（1）（2）在技术允许的条件下，设计的太阳能小房子在底部加上轮子，随着季节的变动，可以移动来获取更多的太阳能辐射量，在节能环保领域可以推广。 7参考文献1 曹炬等，矩形件排样优化的背包算法，中国机械工程，第5卷第2期：1112页，1994。2 钟波等，AutoCAD机械制图，北京：清华大学出版社，2008。3 申政等，太阳辐射接受面最佳倾角的计算与分析，天津城市建设学院学报，第15卷第1期：61页64页，2009。4 孙士保等，AutoCAD 2008中文版应用教程，北京：机械工业出版社，2011。5 胡运权等，运筹学教程（第三版
23、），北京：清华大学出版社，2007。6 林道荣等，数学实验与数学建模，北京：科学出版社，2011。8附录8.1附录1：各面面积及屋顶斜面与水平的夹角屋顶朝阳面面积：Sa=10100*6511.53-1383.70*3600=60785133(mm) 2屋顶背阳面面积：Sb=10100*1389.24=14031324(mm) 2屋顶总面积：S1=Sa+Sb=74816457(mm) 2东面面积：2712S2=7100*3200-1100*2500+7100*1200*=24230000(mm)2南面面积：S3=10100*3200-3.14*9002-1100*1400-3600*2500=1
24、9236600(mm) 西面面积：S4=7100*3200+7100*1200*12=26980000(mm) 222北面面积：S5=10100*3200-1600*2100-1100*510-400*700=28119000(mm) 总面积：S=S1+S2+S3+S4+S5=173382057(mm)2 屋顶斜面与水平的夹角：由附件2顶视图得COSq=640000651153，COSb=70000138924 8.2附录2：每种产品型号的面积产品型号面积(m2) 产品型号 A1 1.27664 B7 A2 1.938396 C1 A3 1.27684 C2 A4 1.637792 C3 A5
25、 1.63515 C4 A6 1.938396 C5 B1 1.63515 C6 B2 1.93836 C7 B3 1.470144 C8 B4 1.51208 C9 B5 1.940352 C10 61.940352C118.3附录3：LINGO编程MODEL:max=x1*1+x2*q2;s1*x1+s1*x2<=14.031324;（14.031324 房屋顶面积） x1-14*x2=0;（1,14 系数比） data:q1=440568.8;（所用电池B2的发电量） q2=140128.8;（所用电池C5的发电量） s1=1.93836;（电池B2的面积） s2=1.43;（电池
26、C5的面积） enddata 28面积(m2) 1.668 1.43 0.939231 1.575196 1.54 1.54 0.11005 0.11007 0.218325 0.3266 0.29039 1.17124end运算结果：Global optimal solution found.Objective value: 67630.68Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 0 Model Class: LP Total variables: 2Nonlinear variables: 0Integer variables:
27、0 Total constraints: 3Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 6Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 6.756177 0.000000 X2 0.4825840 0.000000 Q2 140128.8 0.000000 S1 1.938360 0.000000 Q1 440568.8 0.000000 S2 1.430000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 67630.68 1.000000 2 0.0000
28、00 4819.978 3 0.000000 -9341.8538.4附录4电池板的比值东面：C5东向总辐射强度30-80W/m211021 =B2东向总辐射强度80W/m221182南面：C5南向总辐射强度30-80W/m26311 =2B2南向总辐射强度80W/m31205西面：C5西向总辐射强度30-80W/m214731 =B2西向总辐射强度80W/m22203229北面：C5北向总辐射强度30-80W/m22189=2 2B2北向总辐射强度80W/m899朝阳面：C5水平面散射辐射强度+法向直射辐射强度*COSq30-80W/m21=B2水平面散射辐射强度+法向直射辐射强度*COSq
29、80W/m234背阳面：C5水平面散射辐射强度+法向直射辐射强度*COSb30-80W/m21=B2水平面散射辐射强度+法向直射辐射强度*COSb80W/m2148.5附录5：转化的电量 型号 面积 北面辐射强度 B2 1.93836 132000.71 C5 1.54 243181.05 型号 面积 西面辐射强度 B2 1.93836 795135.47 C5 1.54 872801.59 型号 面积 南面辐射强度 B2 1.93836 1007701.51 C5 1.54 1043402.41 型号 面积 东面辐射强度 B2 1.93836 522399.48 C5 1.54 578672
30、.91 型号 面积 朝阳面辐射强度 B2 1.93836 2227673.36 C5 1.54 2241236.84 型号 面积 背阳面辐射强度 B2 1.93836 1386756.99 C5 1.54 1401890.88辐射量255864.9 374498.82 辐射量 1541258.79 1344114.45 辐射量 1953288.3 1606839.71 辐射量 1012598.26 891156.281 辐射量 4318033 3451505 辐射量 2688034 2158912 16.39% 6.49% 转化率 16.39% 6.49% 转化率 16.39% 6.49% 转化率 16.39% 6.49% 转化率 16.39% 6.49% 实际电量 41936.2565 24304.9732 实际电量 252612.316 87233.0277 实际电量 320143.952 104283.897 实际电量 165964.9 57836.04 实际电量 707725.6 224002.7 实际电量 440568.8 140113.430
