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1、2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1已知A=x|x24x+34或0x1 或 1x6、 【解】首项为a为的连续k个正整数之和为由Sk2000，可得60k62.当k=60时，Sk=60a+3059，由Sk2000，可得a3，故Sk=1830,1890,1950；当k=61时，Sk=61a+3061，由Sk2000，可得a2，故Sk=1891，1952；当k=62时，Sk=62a+3161，由Sk2000，可得a1，故Sk=1953.于是，题中的n有6个.7、 【解】令lgx=t，则得t22=t作图象，知t=1，t=2，及1t2内有一解当1t
2、2时，t=1，t=故得：x=，x=100，x=10，即共有3个实根。8、 【解】首先q1，于是，(q101)=10，(q301)=70， q20+q10+1=7q10=2(3舍) S40=10(q401)=150二、解答题：本大题共3小题，共56分 9、【解】对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为34；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为342，从而不难得到Pn的边数为34n 5分 已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P0有3条边，故S1=S0+3=1+ 再比较P2
3、与P1，容易看出P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P1有34条边，故S2=S1+34=1+ 类似地有：S3=S2+342=1+ 5分 Sn= =1+ = () 10分 下面用数学归纳法证明()式 当n=1时，由上面已知()式成立， 假设当n=k时，有Sk= 当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而Pk有34k条边。故Sk+1=Sk+34k= 综上所述，对任何nN，()式成立。 16分10、【解】 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ， 5分故，易知，上式化简得， 同理有 10分所以，则因是抛物线上的点，有，则 ， 15分所以当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分11、 【证明】（）如果，则，。 （5分）（）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 （15分）（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），我们有。 （20分）
