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1、“数学周报杯”2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）1、（甲）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，代数式可以化简为（ ）c02baA、 B、 C、 D、a1、（乙）如果，那么的值为（ ）A、 B、 C、2 D、2（甲）、如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（，），那么另一个交点的坐标为（ ）A、（2，3） B、（3，） C、（，3） D、（3，2）2（乙）、 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）A、10 B、9 C、7 D、53（甲）、如果a，b为给定的实数，且，那么1，这四个数据的平均数
2、与中位数之差的绝对值是（ ）A、1 B、 C、 D、ACBD3（乙）、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，是等边三角形，则CD的长为（ ）A、 B、4C、 D、4.54（甲）、小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、44（乙）、如果关于x的方程（p、q是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）A、 5 B 、6 C、7 D、85（甲）、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4
3、，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则，中最大的是（ ）A、 B、 C、 D、5（乙）、黑板上写有1，共100个数字。每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A、2012 B、101 C、100 D、99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）、按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否？”为一次操作。如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .6（乙）、如果a，b，c是正数，且满足，那么的值为 7（甲）、如图，正方形ABCD
4、的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则的面积是 .第7题图甲CFMNEABD第7题图乙COEAB7（乙）、如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是 .8（甲）、 如果关于x的方程的两个实数根分别为，那么 的值为 8（乙）、设n为整数，且. 若能被5整除，则所有n的个数为 .9（甲）、 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分。 比赛结束后，所有同学的得分总和为13
5、0分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数。若（a，b，c）和（，）均为三角形数，且，则的取值范围是 .10（甲）、如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，. 分别延长BA，CD，交点为E. 作，并与EC的延长线交于点F. 若，则CF的长为 .OCFD第10题图甲EAB10（乙）、已知n是偶数，且若有唯一的正整数对（a，b）使得成立，则这样的n的个数为 三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）、已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于，求m的取值范围。yxOCDAB
6、11（乙）、如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，.点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且.试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12（甲）、如图，O的直径为AB，过点O，且与O内切于点BC为O上的点，OC与交于点D，且点E在OD上，且，BE的延长线与交于点F，求证：EO1FOCDAB12（乙）、如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是的内心. 求证：OIACBD（1）OI是的外接圆的切线；（2）.13（甲）、 已知整数a，b满足：是素数，且ab是完全平方数。 当时，求a的最小值。13（乙）、给定一个正整数
7、n，凸n边形中最多有多少个内角等于？并说明理由。14（甲）、 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）、将2，3，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值。“数学周报杯”2012年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分意见一、选择题1(甲) 、C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且所以1（乙）、B解：2（甲）、D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）2（乙）、B解：由题设，得因为x，y均为整数，所以有，解得，以上共计9对（x，y）3（甲）、D解：由题设知，所以这四
8、个数据的平均数为中位数为于是CABDE3（乙）、B解：如图，以CD为边作等边，连接AE，又在中，4（甲）、D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数，由题设可得消去x得： ，为正整数的值分别为1，3，5，15y的值只能为4，5，6，11n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，74（乙）、C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为故方程的根为一正一负由二次函数的图象知，当时，所以，即由于p，q都是正整数所以，；或 ，此时都有于是共有7组（p，q）符合题意5（甲）、D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别
9、是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，最大。5（乙）、C解：因为所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变。设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则解得：，二、填空题6（甲）、解：前四次操作的结果分别为，由已知得：解得：容易验证，当时，故x的取值范围是：6（乙）、7解：在两边乘以得即7（甲）、8解：连接DF，记正方形ABCD的边长为. 由题设易知第7题图甲CFMNEABD在中，由题设可知， 又7（乙）、 M第7题图乙COEAB解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则，8（甲）、解：根据题意，关于x的方程有由此得：又所以从而此时方程为，解得故8（乙）、1610解：因此
10、所以因此或所以共有个数。9（甲）、8解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知，由此得又 所以于是，由此得，或当时，；当时，不合题设故9（乙）、解：依题意得：所以，代入（2）得两边乘以a得：，即化简得，两边除以得：所以另一方面：，所以综合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得解得：另一方面：，所以，综合得OC.FD第10题图甲EAB10（甲）、解：如图，连接AC，BD，OD由AB是O的直径知依题设，四边形ABCD是O的内接四边形OD是O的半径，OD垂直平分AC，由，知， 故10（乙）、12解：依题意得 由于n是偶数，、同奇偶，所以n是4的倍数，即当时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件
11、的唯一正整数对（a，b），则：或，其中p是素数因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。三、解答题11（甲）、解：当时，恒有，即当时，；当时，即且，解得设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得，解得，或11（乙）、解：，由勾股定理，得易知于是A（0，），B（6，0），C（，0）EyxOCDAB设点D的坐标为（m，n）由，得，解得：D为AB的中点，点 D的坐标为（3，） CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为的重心点E的坐标为（0，）（也可由直线CD交y轴于点E来求得）设经过B，C，E三点的二次函数的解析式
12、为将点E的坐标代入，解得故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为12（甲）、 证明：连接BDMEO1FOCDABOB为的直径又是等腰三角形设BC与交于点M，连接OM，则又又，分别是等腰，等腰的顶角12（乙）、证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：，EOIACBD，同理，故点C是的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且，即故OI是外接圆的切线 （2）如图，过点I作于点E，设OC与BD交于点F由，知，又I是的内心故也可由托勒密定理得：，再将代入即得结论13（甲）、解：设（m是素数），（n是自然数），（1）当时，因为与都是正整数，且 （m为素数)，所以，解得：，于是又
13、，即又m是素数，解得此时，当时，此时，a的最小值为2025（2）当时，因为，所以，从而得a的最小值为2017（素数）综上所述，所求的a的最小值为201713（乙）、解：设凸n边形最多有k个内角等于，则每个内角的外角都等于，而凸n边形的n个外角和为，所以，只有当时，k才有最大值12下面我们讨论时的情况：（1）当时，显然，k的值是11；（2）当，4，5，6，7时，k的值分别为1，2，3，4，5；（3）当，9，10，11时，k的值分别为7，8，9，10综上所述，当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有12个内角等于150；当时，凸n边形最多有1
14、1个内角等于150。14（甲）、解：由于，都是正整数，且所以，于是当时，令，则当时，其中，令 ，则综上，满足条件的所有正整数n为1，2，2012 14（乙）、解：当时，把2，3，n分成如下两个数组：和在数组中，由于，所以其中不存在数a，b，c，使得在数组中，由于所以其中不存在数a，b，c，使得所以，下面证明当时，满足题设条件不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立。故不妨设在第二组。同理可设在第一组，在第二组。此时考虑数8如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时综上，满足题设条件所以，n的最小值为注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536
