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1、A题：电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文研究电力变压器铁心柱截面的优化设计问题。针对问题一：确定铁心柱的有效截面积最大，是一个非线性规划问题。我们建立了关于铁心柱的有效截面积最大的多目标最优决策模型，运用了数学软件lingo进行求解的方法，在铁心柱外接圆直径为650mm时，保证有效面积最大的情况下，得出了级数为14时，各级数宽度、厚度以及铁心利用率最大为96.66%，即此时其有效截面积最大为320739.8mm 2的结论。针对问题二：问题二是先通过适当增加铁心柱外接圆的直径，来优化铁心截面设计，再在此基础上设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者各自的公差带。结合问题一，建立规划方程，
2、运用Lingo 软件解得直径增加的最佳值为4mm。通过分析将线圈筒与铁心柱的关系确定为孔与轴的关系，将优化后的直径值654mm 取为基本尺寸，基准值定为基孔制，运用国际孔与轴的基本偏差表的数据及计算公式建立模型并求解，得到的结果为（以公差等级6 为例）：线圈内筒的公差带是，铁心柱外接圆的公差.针对问题三：问题三是要分别针对问题一、问题二给出增加油道后铁心柱的设计及相应的油道位置，根据题给的冷却油道数的选择表，可确定半圆中油道的个数为2。针对问题一，考虑到被油道分割的五个部分的面积要近似相等，建立目标规划模型，运用Lingo 软件，解得半圆中油道的位置在12 级和45 级之间，并此基础上结合第一
3、问中的思路设计出此时的铁心柱截面积。针对问题二，为了使铁心率尽可能的大，结合第二问的思路，得到铁心率值最大时的外接圆的半径值为337.3，求出相应公差带。在直径为674.6 时，通过建立非线性整数规划模型比较分析油道在不同级之间，分割面积的相似度，得出此时油道在半圆的位置为12 级和45 级之间。 关键字：非线性规划、多目标优化决策模型、 一、问题重述电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的
4、同时降低变压器的成本。现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整
5、度以及压紧程度有关。设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。表1 铁心柱截面级数的选择铁心柱直径mm级数80-1955-7200-2658-10270-39011400-74012-14760以上15表2 冷却油道数的选择铁心柱直径mm半圆中6mm油道个数380-4100420-5001510-6902700-8403问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。问题二：实际生产
6、中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙（如图2所示），空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。具体油道数可按表2选取。油道的位置应使其分割的相
7、邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。二、问题分析2.1对问题一的分析问题一给出了铁心柱外接圆直径为650mm时,该如何划分铁心柱截面的级数、各级数宽度和厚度的问题。对此，我们通过分析铁心柱级数、各级数宽度与厚度之间的关系，我们建立了以有效截面积为目标函数，各级数宽度与厚度为约束条件的非线性的多目标优化决策模型。并运用Lingo软件优化出了最佳的级数划分及各级数宽度与厚度的确定。2.2对于问题二的分析问题二要求我们结合铁心柱截面的设计而分别设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者的公差带。2.21优化铁心截面的设计，即为使得铁
8、心柱有更好的截面形状，求出铁心柱的外接圆直径的增加范围。在问题一的基础上，列出规划方程，并运用Lingo 软件求解即可得到优化后的截面设计。2.22通过分析可以认为线圈筒与铁心柱的关系在机械上等价于孔与轴的关系。首先，结合优化后的铁心柱截面设计，将其外接圆的直径定为孔与轴的基本尺寸，其次，确定孔与轴的配合类型，根据题意以及相关资料,可以将该题的孔与轴的关系确定为基孔制，同时根据题目给出的条件“留有一定的间隙以便于安装和维修”，以及相关资料对间隙配合特性的描述，将该题孔与轴的配合关系确定为间隙配合；再者，确定公差等级，因为没有严格的计量方法来定该题的公差等级，根据相关资料对各个等级的定性描述，对
9、公差等级为58 级的范围进行分析；根据各自的公差等级来计算不同基本尺寸下的公差值；最后，通过查基本尺寸处于不同范围下的“国际孔与轴的基本偏差表（见附录II）”分别得到孔与轴在表中的偏差值，再根据孔的基本偏差和标准偏差，运用公式ei = es IT计算它的另一个偏差,同理根据轴的基本偏差和标准偏差，运用公式EI = ES IT 计算得到另一偏值。23对于问题三的分析问题三要求是分别针对问题一和问题二的情况，给出增加油道后铁心柱的设计，并指出油道的位置。首先，确定冷却油道的个数。因为铁心柱外接圆的直径在510 690mm 范围内，查题给的冷却油道数的选择表（如下），得半圆中的油道个数为2 个；铁心
10、柱直径mm 半圆中6mm 油道个数。铁心柱直径mm半圆中6mm油道个数380-4100420-5001510-6902700-8403表2 冷却油道数的选择其次，确定冷却油道的具体位置。因为油道的分布是上下对称的，所以只要考虑上半圆中油道的位置选择即可得到整个圆中四个油道的具体位置。运用目标规划模型可以得到油道分布的最佳位置，即圆被油道分割成的五部分的面积相似程度最高；最后，运用Lingo 软件求解目标规划模型得到相应的最具利用率的铁心柱截面面积；三、模型假设假设一、叠片系数为1，即不考虑绝缘漆膜厚度，硅钢片完全平整，之间没有任何缝隙；假设二、讨论的是心式铁心柱结构；假设三、铁心柱与线圈筒是间
11、隙配合；假设四、配合规定为基孔制；假设五、油道的分布上下对称；四、符号说明铁心柱各级截面面积孔的上偏差 第i级长度孔的下偏差第i级宽度的一半轴的上偏差第一级宽度的一半与第二级到第i级宽度的和轴的下偏差外接圆半径公差单位铁心柱截面外接圆直径公差值标准公差油道的级数，且基本尺寸分段的计算尺寸半圆中第级截面的面积； 铁心柱外接圆半径变化范围铁心的截面率注：表中 五、模型的建立与求解51模型一的建立与求解根据题意，我们建立了以截面积为目标函数，级数与各级数宽度、厚度为约束条件的非线性规划模型，模型如下： 此题给出的截面外接圆直径为650mm.因此，我们通过查阅表（1）得知，此时的铁心柱级数应在1214
12、级之间选择，在运用Lingo软件优化时，当我们选择级数为12时，即模型中n=12时，得到如下优化结果：第i级宽度2w(i)厚度l(i)164056.8262040.8359533.2456529.8553027.5649025.4744523.4839521.2934018.91027517.51120513.91212011.0铁心有效截面积s318927铁心利用率j96.11当我们选择级数为13时，即模型中n=13时，得到如下优化结果：第i级宽度2w(i)厚度l(i)164056.8262040.8359533.2456529.8553523.9650023.1746022.0841520
13、.5936518.81031515.41125514.71219011.9131109.5铁心有效截面积s319920.9铁心利用率j96.41当我们选择级数为14时，即模型中时，得到如下优化结果：第i级宽度2w(i)厚度l(i)164056.8262532.5360035.7457526.6554525.6651521.0748020.9844020.1939518.91035015.81130014.51224512.71318011.3141058.0铁心有效截面积s320739.8铁心利用率j96.66通过观察以上三个优化结果，可明显得知，铁心柱外接圆直径以650mm作为设计标准时，当
14、级数为14时，铁心利用率达到96.66%，铁心柱有效截面积达到最大。铁心柱直径mm级数80-1955-7200-2658-10270-39011400-74012-14760以上15表1 铁心柱截面级数的选择5. 2模型二的建立与求解521优化铁心柱的截面形状根据题意，增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状，即通过增加铁心柱外接圆的半径来增加铁心利用率。问题一中已经求解得到，当直径为650mm时，因此要求得一个的取值范围，使得此时，由此得到规划方程：s.t 通过Lingo 软件（程序见附录V）得到运行结果如下：铁心柱外接圆半径（mm）325326.1326.2326.3326.4
15、326.5对应的铁心率0.9665760.9665660.9665950.9666020.9666070.966611铁心柱外接圆半径（mm）326.6326.7326.8326.9327.0327.1对应的铁心率0.9666130.9666160.9666190.9666210.9666220.966621铁心柱外接圆半径（mm）327.2327.3327.4327.5327.6对应的铁心率0.9666190.9666160.9666110.9666050.966571将数据绘制成曲线图，如下因此根据图表中的数据得到的范围为（0，2），且当r = 327mm时，铁心的利用率最大为96.662
16、2%，即优化后的铁心截面外接圆的直径为654mm。522 优化基础上公差带的计算优化后，铁心柱的外接圆直径为654mm，将此作为孔与轴的基本尺寸，记为 ，当基本尺寸在mm 的范围时，国家标准的公差单位的计算公式为：；由于在公差等级分别为5、6、7、8 时，公差等级的计算方法可类比，所以下面就以公差等级6 为例，来计算公差带。当公差等级为6 时，因为在基本尺寸分段表（见附录III）中的主段落尺寸分段上属于的范围， 根据基本尺寸分段的计算尺寸可得到：从而得到公差单位：根据尺寸大于500mm 时，公差等级58 级的标准公差计算表（见附录II）得到孔和轴的公差值：同时根据标准公差数值表（见附录IV）可
17、得标准公差值为因为孔和轴的配合类型为基孔制，所以孔的基本偏差代号为,相应的根据基本尺寸大于500mm的情况下孔与轴属于同一等级的条件可推知，轴的基本偏差代号为；通过查“基本尺寸在500 3150mm 范围的国际孔与轴的基本偏差表（见附录II）”得到:轴的上偏差：根据计算公式得到轴的下偏差：孔的下偏差：根据公式得到轴的上偏差：由题意知轴的外接圆直径要稍微扩大，即表示轴的最小极限尺寸为650，因此根据该条件我们得到以下图表：单位：孔轴基本尺寸654.071654.071上偏差0.0494-0.022（基本偏差）下偏差0（基本偏差）-0.071标准公差0.050.05最大极限尺寸654.120654
18、.049最小极限尺寸654.071654最大间隙最小间隙配合公差由此得到的结论是：当外接圆的直径（孔与轴的基本尺寸）d = 654mm时，线圈内筒的公差带是，铁心柱外接圆的公差带是.53 模型三的建立与求解531针对问题一问题一中已经得到最优的铁心柱级数为14 级，加入油道仅仅影响各级的厚度，最优级数仍旧不变为14 级；因为油道是上下对称的，所以只要考虑上半圆的油道位置即可得到四个油道的具体位置。由于被油道分割成的五部分的截面积要近似相等，而1/5 铁心柱的截面积为：同时根据题一中已求得的数据知，铁心柱第一、二级的截面积分别为：若在第二级加油道，则此油道间的截面积为：因此确定其中一个油道所在的
19、级数为级之间，通过直径及厚度的计算得到另一油道的位置在级或级的范围内。建立目标规划模型以求得最优级数 ：由Lingo 软件（程序见附录VI）可求得:差值a31365差值a39203由于31365 =13);for(ji:gin(shu);for(ji:shu=4);for(xian(I):width-5*shu=0);for(xian(I)|I #gt# 1:width(I)=13);for(ji:gin(shu);for(ji:shu=4);for(xian(I):width-5*shu=0);for(xian(I)|I #gt# 1:width(I)=13);for(ji:gin(shu)
20、;for(xian(I):width-5*shu=0);for(xian:width=20);for(juli(I)|I #eq# 1:width*width/4+length*length-r*r=0);for(juli(I)|I #ge# 2 #and# I #le# 5:width*width/4+(sum(juli(J)|J #ge# 1 #and# J #le#I:length)+6)2-r*r=0);for(juli(I)|I #ge# 6 #and# I #le# 14:width*width/4+(sum(juli(J)|J #ge# 1 #and# J #le#I:lengt
21、h)+12)2-r*r=0);for(xian(I)|I #gt# 1:width(I)=width(I-1);end八、参考文献【1】陈晔何荣坚郑可逵, 电力变压器铁心柱截面的优化设计, 韶关学院学生数学建模论文集,第三期:54-64,2004.12。【2】邱清泉励庆孚，李涛，基于改进遗传算法的变压器铁心截面优化设计的研究，第41卷第9期：33-35，2004.5。【3】廖念钊莫雨松李硕根等，互换性与技术测量，北京：中国计量出版社，2000.1【4】黄雍检赖明勇，MATLAB 语言在运筹学中的应用，长沙：湖南大学出版社，2005.5.【5】袁新生邵大宏郁时炼，LINGO 和Excel 在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。【6】宋来忠王志明，数学建模与实验，北京：科学出版社，2005。【7】吕同富康兆敏方秀男，数值计算方法，北京：清华大学出版社，2008.10。【8】姚恩瑜何勇陈仕平，数学规划与组合优化，杭州：浙江大学出版社，2001.10。
