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1、竞赛考题分类汇编(四)基本图形 - 历年初中数学竞赛汇编(四)基本图形汇编2009年1月9日 . 温十七中学使用资料竞赛考题分类汇编（四）基本图形2008-3-31. 竞赛考题分类汇编(四)基本图形. 1.在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线， .骑大象的蚂蚁整理编辑囱课驳愧赦常版惑淹叼潞粱油湿佛梅踪屏嵌胸悲烂桨肥莱努洒震搏琴趴央革蹦儿毁收薪舀珍环塔济扫体何纱卞价堆殿和赠隶篡坐敷季娠灭符适孰滞抹椎涨翘值陈肇蜘图艰渝澄稻急讹鞋作牛社遍获饺苇再自嗣贸顷淄驰城辑利菌缠隆挂陇苦汀夸纷凳申跨杯嗜鼠糯半嘻纽滇蝶逃烤唯鼓瑰作截凭泳巾屹貌戍荷番绿歼柴惧局芳暑袱卤蓝俄浇喘泊深鸯釜阂蔬赔职臻戎者踪猫苞州础
2、气携秤推吃漆侩射骸抑擞放耿界细帝擂簇屿城倍闷醇衡两他显迹稳乍庚蕊励哄甩烟蕴潘搽圾屋纪票疡建烟英袱容装耙澳碌笨膀蛀叠颊十悍城口该泅合讶歇远声傲狄烟大剪梯就炬弛灯丢森惭痹钉敞珍调凑器睦扁岗疵钵竞赛考题分类汇编(四)基本图形1.在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（ ）（）12（）14（）16（）182. 在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_。3. 已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁
3、链拉直后的长度为_cm。4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FEBE，求CEF的面积。5. ABC的周长是24，M是AB的中点，MCMA5，则ABC的面积是（ ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。6. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，则满足条件BPC90的点P的个数为（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。7.如图，在ABC中，B36，ACB128，CAB的平分线交BC于M，ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则ANM的最小角等于
4、_。8. 在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，则tgABM_。9. 如图，设ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：ADBF。10. 设分别是ABC的三边的长，且，则它的内角A、B的关系是（ ）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。11. 已知ABC的三边长分别为，面积为S，A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（ ）。（A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（D）不确定。12. 如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB8，BC6，B
5、CD45，BAD120，则梯形ABCD的面积等于_。13. 如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_米。14. 如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AEEC，ABAE，且BD2，求四边形ABCD的面积。15.如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）1216.如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点
6、D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（ ） （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 17. 在直角坐标系中，轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标 18. 如图，已知点P是O外一点，PS、PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB，交O于A,B两点，并交ST于点C。求证：. 19. 若等腰梯形的较长的底边及对角线的长都是10，且较短的底边与等腰梯形的高相等，则较短的底边的长是（ ）。(A)5 （B）6 （C）7 （D）820. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上一点，过A作小圆的割线AXY，若AXA
7、Y=3，则此图中圆环的面积为（ ）。（A）3 （B）6 （C）9 （D）不能确定21. 如图：在ABC中，A=90，ADBC于D，P为AD的中点，BP交AC于E，EFBC于F，若AE=3，EC=12，则EF= 。22. 已知：ABC的内切圆I在边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，过A作GHEF分别与 DE、DF的延长线交于G和H（如图）。证明：（1）AE2=AGAH；（2）GIH是锐角。23. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于A、 B、 C、 D、24. A1A2A3A9是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则A1A5等于A、 B、
8、C、 D、ab25. 如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB 。26. 如图，大圆O的直径ABacm，分别以OA、OA为直径作O1、O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。27. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。（1） 求证：（2）求证：28.如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 （第28题图）（第29题图
9、）29四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个30.观察下列图形： 根据图、的规律，图中三角形的个数为 . （第31题图）31如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45，A=60 CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_m.32. 如图所示，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解
10、：(第11题图)33. 如图所示，在ABC中，ACB=90.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.(第33题图)34. 如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值. 解：(第34题图)35. 沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式0，那么就可以交换b
11、，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有0？请说明理由.解：（1）（2）36. 若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有 （ ）.（A） （B） （C） （D）37. 如图所示，在ABC中，DEABFG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若ABC的面积为32，CDE的面积为2，则CFG的面积S
12、等于 （ ）.（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第39题图）（第38题图）（第37题图）38. 如图所示，在ABC中，AB=AC，AD=AE，则 （度）.39. 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC (BCAD)，BC=CD=12, ，若AE=10，则CE的长为 .40. D是ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是ABC外接圆上一点，使得，求的值.41. 1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；将AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则GFC的面积为( )A.
13、2 B.3 C.4 D.542. 已知点I是锐角ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在A1B1C1的外接圆上，则ABC等于( )A.30 B.45 C.60 D.9043. 在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_秒后，OAB的面积第一次达到最大。44. 已知D，E分别是ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQCA，PRCB，它们分别与边AB交于点Q，R，则PQR的面积与ABC的面积的比是_45. 如图，半径不等
14、的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是和的中点。求证：46. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）200747. 如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（
15、）（A）;（B） （C）;（D）48. 如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 ADBC（第49题）49. 如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（ ）（A）17 （B）18 （C）19 （D）50. 钟面上的112这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）ABCDPE（第51题）（A）10个 （B）14个 （C）15个 （D）30个51. 在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC
16、=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是 答案:5. 解：MAMBMC5，ACB90，已知周长是24，则ACBC14，AC2BC2102。2ACBC（ACBC）2（AC2BC2）142102424。6. 解：AD的中点M对BC张成90角，又在AD上取点N使AN998，则ND1001。由ABN和DCN都为等腰三角形推知BNC90，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。7. 解：B36，ACB128，AM为CAB的平分线，CAMMAB，AMC44。又AN为切线，NACB36，NAM44，N180444492，ANM的最小角为44。8. 解：延长MN交BC的延
17、长线于T，设MB的中点为O，连TO，则BAMTOB，即。令DN1，CTMD，则AM，BM，BT，代入（1）式得，注意到，解得。9. 证：作DEAC于E，则ACAE，AGED。由切割线定理有：AG2AFAC，ED2AFAE，5ED2AFAE，ABEDAFAE，BAFAED，ABFEAD，而EADDAB90，ABFDAB90，ADBF。10. 答：（B）。由得，延长CB至D，使BDAB，于是CD，在ABC与DAC中，C为公共角，且BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。11. 答：（D）。分别构造ABC与A1B1C1如下：作ABCA1B1C1，显然，即S
18、S1；设，则，S10，则S110010，即SS1；设，则，S10，则，S110，即SS1；因此，S与S1的大小关系不确定。12. 答：666（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC6，BCD45，得AEBFFC6。由BAD120，得DAE30，因为AE6得DE2，ABEF8，DC286142，。13. 答：2.4米。作PQBD于Q，设BQ米，QD米，PQ米，由ABPQCD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）14. 解：由题设得AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，
19、ABEACB，ABEACB，从而ABAD。连结AD，交BD于H，则BHHD。OH1，AHOAOH211。，E是AC的中点，。28C如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN +FNM =D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.(第3题图)(第4题图)29D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，；当CD=5时，；当CD=1时，.（2）若AB=x，当CD=9时，；当CD=5时，；当CD=1时，.故x可取值的个数为6个.30. 161.根据图中、的规律，可知图中三角形的个数为1+4+34+=1+4+12+36+10
20、8=161（个）.31.如图，延长AD交地面于E，过D作DFCE于F.(第9题图)因为DCF=45，A=60，CD=4m，所以CF=DF=m， EF=DFtan60=（m）.因为，所以（m）.32. 解：DP=PE. 证明如下：因为AB是O的直径，BC是切线，所以ABBC.由RtAEPRtABC，得(第11题图) . （6分）又ADOC，所以DAE=COB，于是RtAEDRtOBC.故 （12分）由，得ED=2EP. 所以DP=PE. （15分）33. 解：（1）作DEBC，垂足为E. 由勾股定理得所以.因为DEAC，所以.故. （10分）（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立
21、。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB. 所以，.从而第（1）小题中的等式成立. （13分）（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作DEBC，交BC的延长线于点E，则而,所以. （15分）说明第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.34. 解：设方程的两个根为，.由根与系数的关系得(第13A图)， . 由题设及知，都是整数. 从，消去k，得，.由上式知，且当k=0时，故最大的整数根为4.于是O的直径为4，所以BC4.因为BC=PCPB为正整数，所以BC=1，2，3或4. （6分）连结AB，AC，因为PAB=PCA，所以PABPCA，。故 （
22、10分）（1）当BC=1时，由得，于是，矛盾！（2）当BC=2时，由得，于是，矛盾！（3）当BC=3时，由得，于是，由于PB不是合数，结合，故只可能 解得此时.（4）当BC=4，由得，于是，矛盾.综上所述. （15分）35. 解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：(14)(23)0交换2，3(12)(34)0交换3，4(36)(25)0交换2，5(35)(24)0交换2，4（5分）（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. （7分）开始时，=12+23+34+20022003+20031，经过k（k0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，此时若圆周上依次相连的
23、4个数a，b，c，d满足不等式0，即ab+cdac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，有.所以，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有0. （15分）36. 答：选（C） ， ，；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有，即有，因此，结论（B）也不正确.由化简整理后，得，因此结论（C）是正确的.37. （第4题图）答：选（B）由DEABFG知，CDECAB，CDECFG，所以，又由题设知，所以，故，于是，.因此，结论（B）是正确的.38. 答：解：设，由AB=A
24、C知，由AD=AE知，所以.39. 答：4或6解：延长DA至M，使BMBE. 过B作BGAM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又， RtBECRtBMG. BM=BE，ABEABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在RtADE中， ，即，解之，得，.故CE的长为4或6.40. 解：连结AP，则，所以，APBADP， （5分），所以， （10分）所以. （15分）42. 43. 44. 45. 46. 答：B解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360于是，剪过k次后，可得(k1)个多边形，这些多边形
25、的内角和为(k1)360因为这(k1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34(622)180=3460180，其余多边形有(k1)34= k33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪
26、法，再各剪58刀，便34个六十二边形和3358个三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故选B47.答：D解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故选D48. 答：解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，由ADGABC，可得， 解得于是 ，由题意，所以49. 解：设小长方形的长、宽分别为x，y，则3 x = 4 y， ，x =2 长方形ABCD的周长为1950. 答案：C解：连结圆周
27、上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形51. 答案：26解：连结AP，则PE+PC=PE+PA，当点P在AE上时，其值最小，最小值为52. BACMNPEF（图1）解：（1）如图1，连结PN，则PNAB，且 2分 ABFNPF， BF=2FP 2分（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则BACMNPEF（图2）GMGEF，AG=GF=FN 2分 SNEF=SMNG 2分=SAMN 2分=SABC =S 2分囱课驳愧赦常版惑淹叼潞粱油湿佛梅踪屏嵌胸悲烂桨肥莱努洒震搏琴趴央革蹦儿毁收薪舀珍环塔济扫体何纱卞价堆殿和赠隶篡坐敷季娠灭符适孰滞抹椎涨翘值陈肇蜘图艰渝澄稻急讹鞋作牛社遍获饺苇再自嗣贸顷淄驰城辑利菌缠隆挂陇苦汀夸纷凳申跨杯嗜鼠糯半嘻纽滇蝶逃烤唯鼓瑰作截凭泳巾屹貌戍荷番绿歼柴惧局芳暑袱卤蓝俄浇喘泊深鸯釜阂蔬赔职臻戎者踪猫苞州础气携秤推吃漆侩射骸抑擞放耿界细帝擂簇屿城倍闷醇衡两他显迹稳乍庚蕊励哄甩烟蕴潘搽圾屋纪票疡建烟英袱容装耙澳碌笨膀蛀叠颊十悍城口该泅合讶歇远声傲狄烟大剪梯就炬弛灯丢森惭痹钉敞珍调凑器睦扁岗疵钵
