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1、2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2009年3月22日 星期日 上午8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1. 设，则的最小值是 。2. 已知，且，则将表示成的函数，其解析式是 。3. 已知函数，若，且，则的取值范围是 。4. 满足方程的所有实数对 。5. 若 表示不超过实数 的最大整数，则方程 的解是 。6. 不等式的解集是 。7. 设是由不超过的所有正整数构成的集合，即，集合，且中任意两个不同元素之差都不等于，则集合元素个数的最大可能值是 。8. 给出一个凸边形及其所有对角线，在以该凸边形的顶点及所
2、有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有 个。二、解答题9.（本题满分14分）设函数定义于闭区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足，求的值。10. （本题满分14分）如图，是双曲线的右顶点，过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点，问直线是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。11. （本题满分16分）设是集合的两个不同子集，使得不是的子集，也不是的子集，求不同的有序集合对的组数。12. （本题满分16分）设正整数构成的数列使得对一切恒成立。记该数列若干连续项的和为，其中，且。求证：所有构成的集合等
3、于。答案：一、1、； 2、； 3、； 4、5、或； 6、； 7、； 8、。二、9、解：因为，所以 8分由此得，而，所以 14分10、解法一：，将轴向右平移个单位，使点成为新直角坐标系的原点，在新坐标系下，双曲线的方程为，即 (*)若轴，则，即，代入（*）式可得，进而。所以，则点在原坐标系中的坐标为。 5分若不垂直轴，设，则，于是（*）可以改写成，即该方程的两个根既是的斜率。因为，所以， 10分所以，故所以过定点，则点在原坐标系中的坐标为。综上所述，直线过轴上的定点 14分解法二：设直线的斜率为由，同理得当时，所以过 8分当时，由直线的方程得， 10分所以，直线过轴上的定点 14分11、解：集合有个子集，不同的有序集合对有组。 2分若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对有组 8分同理，满足的有序集合对也有组。 10分所以，满足条件的有序集合对的组数为组。 16分12、证明：显然 2分下证对任意，存在用表示数列的前项和，考虑个前项和： （1）由题设 6分另外，再考虑如下个正整数： （2）显然 10分这样（1），（2）中出现个正整数，都不超过，由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，故存在，使得，即，且所以，所有构成的集合等于。 16分
