“北约”、“华约”自主招生数学试题.doc

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1、2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数；2、求的实数根的个数；3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多

2、项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则：即方程组：，有非0有理数解.由（1）+（3）得： （6）由（6）+（2）得： （7）由（6）+（4）得： （8）由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停

3、放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.3已知，求的值.解析：根据条件知：由两式相减得故或若则，解得.于是知或.当时，.当时.（2）若，则根据条件知：，于是，进而知.于是知：.综上所述知，的值为或.4如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由.解析：如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为

4、线段的垂直平分线，所以.所以.5数列满足，前项和为，求.解析：根据条件知：.又根据条件知：.所以数列.又.令，则，所以.即.对，两边同除以，有，即.令，则，于是知.所以.于是知：.6模长为1的复数，满足，求的模长.解析：根据公式知，.于是知：.所以的模长为1.7最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设

5、其中三个分别为，则，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件.另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件.综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8已知，满足，且，求证：.解析：根据条件知:，（1）另一方面，令，则中每个数或为，或为.设其中有个，个，则：（2）由（1）、（2）知： （3）而为奇数，不可能为0，所以.于是知：.从而知：，即得.同理可知：.命题得证.9对任意的，求的值.解析：根据二倍角和三倍角公式知：.10已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当

6、时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中.若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾.所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在

7、答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数z满足且，则（A）（B） （C）（D）【答案】D2在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为（A）（B） （C）（D）【答案】B3过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（A）2（B）1 （C）（D）【答案】C4若，则的最小值和最大值分别为（A） （B） （C）（D）【答案】BB A O1 O O2 C 5如图，O1和O2外切于点C，

8、O1，O2又都和O内切，切点分别为A，B。，则（A）（B）（C）（D）【答案】B或C？6已知异面直线所成60角，A为空间中一点，则过A与都成45角的平面（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个【答案】B7已知向量，。则 的最小值为（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B8AB过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（A）（B）（C）（D）【答案】ABACDEF9如图，已知ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则BDF面积的最大值为（A）（B）（C）（D）【答案】D10将一个正11

9、边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11（本小题满分14分）已知ABC不是直角三角形。（I）证明：；（II）若，且的倒数成等差数列，求的值。12（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯

10、的重心还在圆柱轴的中点处。（）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13（本小题满分14分）已知函数，令，。（）求数列的通项公式；（）证明：。14（本小题满分14分）已知双曲线（），分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又F1PF2的面积为。（）求C的离心率e；（）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。15（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续3次正面的概率。（）求和；（）探究数列的递推公式，并给出

11、证明；（）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。解答：（1），。（）如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。综上，有（）。其中，。

12、我们先定义几个函数：f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。显然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这个著名数列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)当然，最后的结果是f(n)/2,因

13、为连续正与连续负的情况是相等的2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) （2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C)

14、90种 (D)120种（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，则（ ）(A) (B) (C) (D) （5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) （7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为30，且，则此三棱锥的体积为（

15、 ）(A) (B) (C) (D) （8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，则的长为（ ）(A) (B) (C)10 (D) （9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项和。则（ ）(A) 0 (B) (C) (D) （10）已知，当取得最大值时，在 这十个数中等于的数共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）(本小题满分14分)在中，的对边分别为。已知 求的大小 若，求的值（12）(本小题满分14分)已知两点，动点在轴上的射影是，且 求动点的轨迹的方程 已知过点的直线交曲

16、线于轴下方不同的两点，设的中点为，过于点作直线，求直线斜率的取值范围。（13）(本小题满分14分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。（1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。(14) (本小题满分14分)记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。(15) (本小题满分14分)某乒乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两

17、名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。2012年华约数学参考答案一、选择题ACBCA B略DDC二、解答题11解：（1）C=2/3；（2）=3/412解：（1） 设P(x,y),则H(0，y),由（2） 令CD:代入，整理得因为直线在x轴下方交P点轨迹于C()，D()两点所以上式有两个负根，由根据韦达定理，得CD中点M的坐标为代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得所以，k=,(1.13解答：显然,注意到，所以=因此，当p时，递增，当P时，递减。14证明：用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时，此时有唯一解

18、，且严格单调递增，而无实数解，现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0kn有x+2k+10,于是，所以又因为所以由严格递增知有唯一根0，对于有，所以（，）上，递减，在（，+）上，递增，所以因此，无实数解综上所述，对任意正整数n,当为偶数时无解，当为奇数有唯一解。再证，事实上，由的严格单调性，只需验证，注意到，由上述归纳法证明过程中，所以，因此，综上所述，原命题得证。15假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以=2k，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中lN，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中lN,都可以构造出

19、满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法：（1） 当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2） 设当L=M时结论成立，则L=M+1时，设4M+5选手为A,B,C,D,E，由归纳假设，可以安排E,之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与之间的比赛，A,B,C，D与之间的比赛安排如下：A与B,A与B,C与D,C与D,满足要求。最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。由

20、数学归纳法得证，N=4L时，对L使用数学归纳法，可以类似方法证明（略）。综上所述，N的所有可能取值是N=4L或4L+1，其中LN. 2013年华约自主招生数学试题解析1.设，且中元素满足：任意一个元素的各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9；（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）若从小到大排列中元素，求第1081个元素.解析：将0，1，9这10个数字按照和为9进行配对，考虑（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.（1）两位数有个；三位数有个；（2）存在五位数，

21、只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数；不存在六位数，由抽屉原理易知，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数.（3）四位数共有个，因此第1081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位1，2，3的四位数有个，因此第1081个元素是4012.2.已知，求.解析：由，平方相加得，另一方面由得，由得，除以得，因此.3.点在上，点在上，其中，且在轴同侧.（1）求中点的轨迹；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.解析：（1）设，则，由得，即，又，于

22、是的轨迹方程为，于是中点的轨迹的焦点为，实轴长为2的双曲线.（2）将与联立得，曲线与抛物线相切，故，又因为，所以，且，因此两切点分别在定直线上，两切点为，于是在处的切线方程分别为，即，在处的切线方程分别为，即.4.7个红球，8个黑球，一次取出4个.（1）求恰有一个红球的概率；（2）取出黑球的个数为，求的分布列和期望（）；（3）取出4个球同色，求全为黑色的概率.解析：（1）恰有一个红球的概率为；（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，即的分别列为01234所以.（事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为，无需繁杂计算）（3）取出4个球色，全为黑色的概率为.5.数列各项均为正数，且对任意满足

23、.（1）求证：对任意正数，存在，当时有；（2）设是前项和，求证：对任意，存在，当时有.（1）证明：因为对任意满足，所以，又因为，所以，所以，故对任意正数，存在，当时有.（注：表示不超过的最大整数）（2）由得所以，所以，且由（1）有，所以，对任意，存在，当时有.6.已知是互不相等的正整数，求.解析：本题等价于求使为整数的正整数，由于是互不相等的正整数，因此，不失一般性不妨设，则于是，结合为正整数，从而.当时，即于是，所以，但另一方面，且是正整数，所以矛盾，不合题意.当，此时，所以，即，所以，即，结合知，经检验仅有符合题意.因此符合题意的正整数有7.已知；（1）求证：当时；（2）数列满足，求证：数列递减且.证明：（1）当时在递减，所以.（2）由，因为，所以即，所以数列递减，下列证明，用数学归纳法证明，设，则，由（1）知当时，所以，所以在递增，由归纳假设得，要证明只需证明，即，故只需证明，考虑函数，因为当时，所以，所以在递增，因为，所以，即，由归纳法知，对任意正整数成立.