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1、2014-2015学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x2x0，B=x|2x0，则ARB=（）A B xR|x0C x|0x1D R2复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A r2r40r3r1B r4r20r1r3C r4r20r3r1D r2r40r1r34已知双曲线=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的
2、离心率是（）A B C D 45有以下四个命题p1：x0（，0），45，p2：在锐角三角形ABC中，若tanAtanB，则AB；p3：xR，cosx01；p4：xR，x2x+10其中假命题是（）A p1B p2C p3D p46设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（）A 3B 3C 6D 127已知数列lg（an+1）为等差数列，且a1=9，a4=9999，则数列an的前3项和S3=（）A 1113B 1110C 1107D 9998一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 16B 20C D 9执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（）A 6，23B （
3、12，25C （14，26D 25，5210已知四面体ABCD的棱长均为，则下列结论中错误的是（）A ACBDB 若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3C 直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为D 该四面体的体积为11已知函数f（x）=|2x2|，若mn，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（）A （1，+）B （2，+）C （，1）D （，2）12在ABC中，D为BC边中点，O为ABC内一点，且=2+，则=（）A B C 2D 1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，|），当x=时，f（x）取最大值，则=14现有5人坐成一
4、排，任选其中3人相互调整位置（着3人中任何一人不能做回原来的位置），其余2人位置不变，则不同的调整的方案的种数有15已知抛物线y2=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为16已知数列an满足a1=2，an+1=an+n（nN*），则an的最小值是三、解答题（共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，已知BC=2，=，sinC=，求BC边上的中线AD的长18已知数列an的前n项和Sn=2an2（nN*），数列bn的前n项和为Tn，且bn=2n+1（1）求出数列an的通项an和数列bn的
5、前n项和Tn；（2）求数列的前n项和Gn19有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示（1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率20在三棱锥ABCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=，O为BC的中点（1）求证：AO平面BCD；（2）求二面角ADCB的余弦值21已知椭圆C：+=1（ab0）的短轴长为2，且
6、离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围22已知函数f（x）=lnx+ax2（2a+1）x1（a为常数，且a0）（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）当x（0，e时，f（x）0，求实数a的取值范围2014-2015学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x2x0，B=x|2x0，则ARB=（）A
7、 B xR|x0C x|0x1D R考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：分别求出关于集合A，集合B的补集，再取交集即可解答：解：集合A=x|x2x0=x|0x1，B=x|2x0，RB=（0，+）（，2），则ARB=x|0x1，故选：C点评：本题考查了集合的交、补集的混合运算，是一道基础题2复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限即可解答：解：由题，所以在复平面上对应的点位于第一象限故选A点评：本题
8、主要考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，属于基础题3对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A r2r40r3r1B r4r20r1r3C r4r20r3r1D r2r40r1r3考点：相关系数专题：概率与统计分析：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小解答：解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于1，由此可得r2r4r3r1故选：
9、A点评：本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或1），此题是基础题4已知双曲线=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A B C D 4考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线2x+y+2=0垂直，故=，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率解答：解：双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，渐近线与直线2x+y+2=0垂直
10、，故渐近线的斜率为，=，即a2=4b2=4（c2a2），即5a2=4c2，e2=双曲线的离心率e=故选：B点评：本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，求双曲线离心率的一般方法5有以下四个命题p1：x0（，0），45，p2：在锐角三角形ABC中，若tanAtanB，则AB；p3：xR，cosx01；p4：xR，x2x+10其中假命题是（）A p1B p2C p3D p4考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：根据全称命题和特称命题的性质分别进行判断即可解答：解：p1：当x0（，0），幂函数f（x）=x在（0，+）上为减函数，45，错误命题为假命题p2：在锐
11、角三角形ABC中，函数y=tanx为增函数，若tanAtanB，则AB；正确，命题为真命题p3：x=2k，kZ，有cosx01成立；正确，命题为真命题p4：xR，x2x+1=（x）2+0，正确，命题为真命题故p1是假命题，故选：A点评：本题主要考查命题的真假判断，根据全称命题和特称命题的性质是解决本题的关键6设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（）A 3B 3C 6D 12考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截
12、距最小，此时z最小，由，得，即C（1，1）此时z=1+21=3故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法7已知数列lg（an+1）为等差数列，且a1=9，a4=9999，则数列an的前3项和S3=（）A 1113B 1110C 1107D 999考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式进行求解即可解答：解：数列lg（an+1）为等差数列，设数列lg（an+1）为等差数列的公差为d，则lg（a4+1）=lg（a1+1）+3d，即lg10000=lg10+3d，则4=1+3d，解得d=1
13、，则lg（an+1）=lg10+n1=1+n1=n，则an+1=10n，则an=10n1，则数列an的前3项和S3=101+1021+1031=11103=1107，故选：C点评：本题主要考查数列求和的计算，根据等差数列求出数列的通项公式是解决本题的关键8一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 16B 20C D 考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，求出它们的体积，相加可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，其底面面积S=22=4，棱柱的高
14、h=4，棱锥的高h=54=1，棱柱的体积为44=16，棱锥体积为41=，故组合体的体积V=16+=，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（）A 6，23B （12，25C （14，26D 25，52考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：由框图知，此程序输出的y是循环次数，循环退出的条件是x51，由此关系得出不等式，求出x的取值范围即可解答：解：当输出y=2时，应满足，得12x25故选：B点评：本题考查循环结构，解题的关键是根据框图得出其运算律，从而得到x所满足的不等式，
15、解不等式求出要求的范围，由运算规则得出不等式组是本题的难点10已知四面体ABCD的棱长均为，则下列结论中错误的是（）A ACBDB 若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3C 直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为D 该四面体的体积为考点：棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离分析：分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可解答：解：对于A，如图：在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，DBAH，BD垂直于过CH的直线，CH、AH交于H，BD平面ACH，BDAC，故A正确；对于选项B，如图：，将四面体补成
16、正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：，则此球的体积为：（）3=，故B错误；对于选项C，如图：在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，则ABH=，就是AB在平面BCD所成角，棱长为，由BM为CD边上的高，则BM=，在RtABH中，则BH=BM=，cos=，故C正确；对于D，如图：由选项C得：AH=，SBCD=BMDC=，VABCD=，故D正确；故选：B点评：本题是中档题，考查空间想象能力，考查四面体的体积公式，选项B的判断较难，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，
17、注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的，选项D和选项C联合判断即可11已知函数f（x）=|2x2|，若mn，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（）A （1，+）B （2，+）C （，1）D （，2）考点：指数函数的图像变换专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意f（x）=|2x2|，由f（m）=f（n），可得22m=2n2，故2m+2n=4，再利用基本不等式求解解答：解：不妨设mn，由f（m）=f（n），可得22m=2n2，2m+2n=4，4=2m+2n=，当且仅当2m=2n时，即m=n时取等号，而mn，故上述等号不成立，2m+n4，m+n2m+n的取值范围是（，
18、2）故选：D点评：此题考查了利用绝对值的性质脱去绝对值，同时考查基本不等式的应用，注意，利用基本不等式要验证等号成立的条件12在ABC中，D为BC边中点，O为ABC内一点，且=2+，则=（）A B C 2D 1考点：向量在几何中的应用；向量加减混合运算及其几何意义专题：平面向量及应用分析：先根据所给的式子进行变形，再由题意和向量加法的四边形法则，得到 ，即：结合三角形的面积关系判断四个小三角形的面积都相等即可解答：解：由=2+，得=2，即，D为BC边中点，则 ，即O是AD的中点，则SAOB=SODB，SAOC=SODC，SOBD=SODC，即四个小三角形的面积都相等，则=1，故选：D点评：本题
19、主要考查向量在几何中的应用，根据向量的加法法则，求出O是AD的中点是解决本题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，|），当x=时，f（x）取最大值，则=考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得+=2k+，kZ，再结合|，可得 的值解答：解：由题意可得+=2k+，kZ，即 =2k，再结合|，可得=，故答案为：点评：本题主要考查正弦函数的最值，属于基础题14现有5人坐成一排，任选其中3人相互调整位置（着3人中任何一人不能做回原来的位置），其余2人位置不变，则不同的调整的方案的种数有20考点：计数原理的应用专题：排列组
20、合分析：先考虑从5人中任选3人的方法数，再考虑3人位置全调的方法数，利用分步计数原理可求解答：解：从5人中任选3人有C53种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C53A22=20种故答案为：20点评：本题主要考查排列组合知识，关键是问题的等价转化15已知抛物线y2=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为1考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|1=|AB|1，求得|AB|的最小值即可解
21、答：解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程为x=，由抛物线的定义可得，|AF|=|AC|+，|BF|=|BD|+，即有|AC|+|BD|=|AF|+|BF|1=|AB|1，当直线ABx轴时，|AB|最小令x=，则y2=1，解得y=1，即有|AB|min=2，则|AC|+|BD|的最小值为1故答案为：1点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法及运算能力，属于中档题16已知数列an满足a1=2，an+1=an+n（nN*），则an的最小值是2考点：数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过an+1=an+n可知数列an是递增数列，进而可得结论解答：解：an+1=an
22、+n，an+1an=n0，数列an是递增数列，an的最小值即为a1=2，故答案为：2点评：本题考查数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题三、解答题（共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC中，已知BC=2，=，sinC=，求BC边上的中线AD的长考点：解三角形专题：解三角形分析：首先利用余弦定理求出AC和AB的长度，然后在ACD中利用余弦定理求出AD的长度解答：解：因为sinC=，C是三角形的内角，所以cosC=，设AB=3x，AC=4x，3x+4x2，则x2，所以由余弦定理得到16x2+416x=9x2，解得x=1或x=，所以AB=3，AC=4或者AB=
23、，AC=；当AC=4时，在ACD中，AD2=AC2+CD22ACCDcosC=16+1=，所以AD=；当AC=时，在ACD中，AD2=AC2+CD22ACCDcosC=，所以AD=点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，关键是熟练运用余弦定理18已知数列an的前n项和Sn=2an2（nN*），数列bn的前n项和为Tn，且bn=2n+1（1）求出数列an的通项an和数列bn的前n项和Tn；（2）求数列的前n项和Gn考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过Sn=2an2与Sn+1=2an+12作差、整理得an+1=2an，进而可知数列an的通项an=2n；利用等差数列的求和
24、公式计算可得Tn=n（n+2）；（2）通过（1）、裂项可知=（），并项相加即得结论解答：解：（1）Sn=2an2（nN*），Sn+1=2an+12，两式相减得：an+1=2an+12an，整理得：an+1=2an，又a1=2a12，即a1=2，an=22n1=2n；bn=2n+1，Tn=n（n+2）；（2）由（1）得=（），Gn=（1+）=（1+）=点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示（
25、1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图专题：概率与统计分析：（1）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，然后根据方差是反映稳定程度的，比较方差，越小说明越稳定；（2）从5人中任意派两人的可能情况有10种，每种结果出现的可能性相同，记“A，B二人都没有参加竞赛”为事件M，则M包含的结果有3种，由等可能事件的概率可求解答：解：（1）派B参加
26、比较合适理由如下：=（75+80+80+83+85+90+92+95）=85，=（78+79+80+83+85+90+92+95）=85，S2A=（7585）2+（8085）2+（8085）2+（8385）2+（8585）2+（9085）2+（9285）2+（9585）2=41；S2B=（7885）2+（7985）2+（8085）2+（8385）2+（8585）2+（9085）2+（9285）2+（9585）2=35.5=，S2BS2A，B的成绩较稳定，派B参加比较合适（2）从参加培训的5位同学中任派两个共有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），
27、（C，D），（C，E），（D，E）共10种情况；A、B两人都不参加（C，D），（C，E），（D，E）有3种所以A，B二人都没有参加竞赛的概率P=点评：对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度20在三棱锥ABCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=，O为BC的中点（1）求证：AO平面BCD；（2）求二面角ADCB的余弦值考点：直线与平面垂直的判定；棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得AOBD，AOCO，由此能证明AO平面BCD（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z
28、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ADCB的余弦值解答：解：（1）证明：在三棱锥ABCD中，底面BCD是正三角形，O为BD的中点，AOBD，连结CO，AC=BD=2，AB=AD=，AO=1，CO=，AO2+CO2=AC2，AOCO，又BDCO=O，AO平面BCD（2）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），D（2，0，0），C（0，0），B（1，0，0），=（2，0，1），=（0，1），设平面ADC的法向量 =（x，y，z），则 ，取x=1，得 =（1，2），平面BDC的法向量 =（0，0，1），cos，=，二面角ADCB是锐二面角
29、，二面角ADCB的余弦值为点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，属于中档题21已知椭圆C：+=1（ab0）的短轴长为2，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围考点：椭圆的简单性质专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意可得b=，e=，a2b2=c2，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；（2）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x1）（k0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分
30、线方程，令x=0，得y0=，利用基本不等式，即可求y的取值范围解答：解：（1）由短轴长为2，且离心率为可得b=，e=，a2b2=c2，解得a=2，c=1则椭圆的方程为+=1；（2）当PQx轴时，显然y0=0当PQ与x轴不垂直时，可设直线PQ的方程为y=k（x1）（k0）由消去y整理得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为D（x3，y3），则x1+x2=所以x3=，y3=k（x31）=，线段PQ的垂直平分线方程为y+=（x），在上述方程中令x=0，得y0=当k0时，+4k4；当k0时，+4k4所以y00，或0y0综上y0的取值范围是，点
31、评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键22已知函数f（x）=lnx+ax2（2a+1）x1（a为常数，且a0）（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）当x（0，e时，f（x）0，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（）把a=1代入函数解析式，求其导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间；（）求出原函数的导函数，得到导函数的零点1和，然后分多种情况进行讨论，求出函数在（0，e上的最大值，由最大值小于等于0求得a的范围，最后去并集得答案
32、解答：解：（）当a=1时，f（x）=lnx+x23x1，=（x0），当x，（1，+）时，f（x）0，当x时，f（x）0f（x）在上为增函数；在上为减函数；（）由f（x）=lnx+ax2（2a+1）x1，得=令g（x）=（x1）（2ax1），当a=0时，x（0，1）时，f（x）0x（1，e）时f（x）0，函数f（x）在（0，e上有最大值为f（1）=a2由a20，得a2，a=0；当，即时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）在（0，e上得到递增，当x=e时函数有最大值为lne+ae2（2a+1）e1=ae22aee，由ae22aee0，得a；当0，即a0时，若x（0，1），f（x）0，x（1，e）
33、，f（x）0，在（0，e上有最大值为f（1）=ln1+a2a11=a2由a20，得a22a0；当01，即a时，x（0，），（1，e）时，f（x）0x时f（x）0，函数f（x）在（0，e上有最大值为f（）与f（e）的最大者，=f（e）=ae22aee，f（e），函数f（x）在（0，e上有最大值为ae22aee，由ae22aee0，得a；当1e，即a时，x（0，1），（，e）时，f（x）0x时f（x）0，函数f（x）在（0，e上有最大值为f（1）与f（e）的最大者，f（1）=ln1+a2a11=a2，f（e）=ae22aee，由，解得：，；当e，即0时，x（0，1）时，f（x）0x（1，e）时f（x）0，函数f（x）在（0，e上有最大值为f（1）=a2由a20，得a2，0综上，实数a的取值范围是2，点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了学生的计算能力，正确分类是解答该题的关键，属于难度较大的题目
