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1、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论,?,圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯,?,圆锥曲线的定义,?,圆锥曲线的方程和性质,?,圆锥曲线的应用,一、圆锥曲线的由来,?,圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的统,称，因为他们都可以通过“用平面截圆,锥”来得到，所以叫圆锥曲线。,?,第一个考察圆锥曲线的事希腊学者梅内,赫莫斯（公元前,375-,前,325,）,圆锥曲线的雏形,他取三个顶点分别为直角,锐角和钝角的正圆锥，然后各作一个平面分别垂直于三,个圆锥的一条母线，并与圆锥相截：他把所得三条截线,分别称为“直角圆锥截线”，“锐角圆锥截线”和,“钝角圆锥截线”，实际上就是今天我们所说的抛物线,，椭圆，一支等轴双曲线：这是圆
2、锥曲线最早的名称。,?,当时，这三种曲线均以圆锥曲面为基础,得到，但这三种曲线是分别以三种不同,的圆锥曲面作为基础得到的。,?,约一百年后，古希腊的著名数学家阿波,罗尼奥斯更详尽、更系统地研究了圆锥,曲线。,阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论,?,阿波罗尼奥斯发现，所有三种曲线只要,以一种圆锥曲线为媒介就够了，需要改,变的只是界面的位置，而且作为媒介的,圆锥曲面可以取上面三种中的任何一种,阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论,拋物線,雙曲線,?,当截面与圆锥地面的夹角小于圆锥母线,与圆锥地面的夹角时，截面是椭圆，当,这两角相等时，截线是抛物线，当前一,个角大于后一个角时，截线是双曲线。,简介,阿波罗尼奥斯（,Apo
3、llonius),公元前,262,年出生于小亚细亚,的玻尔加，公元前,190,年卒于,古埃及的亚历山大。亚历山大,时期第三位重要的数学家，与,欧几里得、阿基米德齐名，其,贡献涉及几何学和天文学。,生平,?,圆锥曲线论是一部,经典巨作，可以说代表,了希腊几何的最高水平，,直至,17,世纪笛卡尔、帕,斯卡出场之前，始终无,人能够超越。阿波罗尼,奥斯写此书被后世译者,称为“大几何学家”。,?,圆锥曲线论全书共八卷，含,487,个命题。,?,此书集前人之大成，且提出很多新的性质。,他推广了梅内克缪斯的方法，证明三圆锥,曲线可以由同一个圆锥体截取而得，并给,出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。,?,他
4、以圆锥体底面直径为横坐标，过顶点的,垂线为纵坐标，这给后世坐标几何的建立,以很大的启发。,?,他在解释太阳系内,5,大行星的运动时，提出,了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说,提供了工具。,学习生涯,?,阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧,几里得的后继者学习，那时是托勒密三,世（,246BC,221BC,）统治时期，到了,托勒密四世（,221BC,205BC,）时代，,他在天文学研究方面已颇有名气。,?,后来到过小亚细亚西岸的帕加马王国居,住与工作，晚年回到亚历山大，并卒于,该城。,贡献,?,阿波罗尼奥斯的主要成就,是建立了完美的圆锥曲线,论，总结了前人在这方面,的工作，再加上自己的研,究成果
5、，撰成了圆锥曲,线论，将圆锥曲线的性质,网罗殆尽，几乎使后人没,有插足的余地。,?,除圆锥曲线论外，阿波罗尼奥斯还有,好几种著作，为后世学者（特别是帕波斯）,所提及。列举如下：,?,1,截取线段成定比,?,2,截取面积等于已知面积,?,3,论接触,?,4,平面轨迹,?,5,倾斜,?,6,十二面体与二十面体对比,?,此外还有无序无理量、,取火镜、圆周率计算,以及天文学方面的著述等。,?,阿波罗尼奥斯和欧几里得、,阿基米德合称为亚历山大,前期的三大数学家（约,300BC,200BC,），这是,古希腊数学的全盛时期或,“黄金时代”。,二、圆锥曲线的定义,?,椭圆：平面上到两定点,F1,F2,（焦点）
6、的,距离之和为定长的动点的轨迹称为椭圆,?,双曲线：平面上到两定点,F1,F2,（焦点）,的距离之差的绝对值为定长的动点的轨,迹称为双曲线,?,抛物线：平面上到一定点,F,的距离与到,一定直线的距离相等的动点的轨迹称为,抛物线。,圆锥曲线的统一定义,?,平面上到一定点,F,的距离与到一不过该定,点的定直线,L,的距离之比为常数,e,的动点,的轨迹称为圆锥曲线。,?,e1,为椭圆,?,e1,为双曲线,?,e=1,为抛物线。,离心率的变化过程,离心率的连续量变,?,从上图可以看出：离心率的连续量变导致了,曲线的之变：当,e,从小于,1,逐渐趋于,1,时，椭圆,从右边逐渐趋近于抛物线,?,当,e,从
7、大于,1,逐渐趋于,1,时，双曲线的左支逐渐,远离原点，而右支从左边逐渐趋近于抛物线。,?,可以将抛物线看成是,e,趋向于,1,时椭圆和双曲,线的极限形式,圆锥曲线统一形式,?,在直角坐标系下，三种不同的圆锥曲线,的方程也可以具有统一的形式。见,P163.,?,17,世纪的开普勒和,18,世纪的欧拉就已经,有了这种从运动的、变化的观点，把各,种圆锥曲线看做是在同一个系统中的看,法。,数学的统一美,?,从给出三种圆锥曲线分别的定义到统一,的定义，让我们看到数学的“统一美”。,只有抓住了不同事物共同的本质，才能,用统一的观点，统一的语言来描述几种,不同的事物。事物的本质是内在的，当,我们用统一的语
8、言把它叙述出来时，这,种内在的本质就外化了，让我们有一种,透过现象看到本质的快感。,开普勒的行星定律,开普勒（,1571,?,1630,）,开普勒的行星定律,?,开普勒的行星定律,是以布拉赫數十年,對於行星運行的觀,察數據為基礎，,?,再花十多年功夫才找,到一個吻合布拉赫數,據的數學模型。,?,他終於在,1609,年完,成了火星運行的數學,理論。,开普勒的行星定律,?,第一定律：,行星沿橢圓軌道繞太陽運行，,太陽位於橢圓的一個焦點之上。,?,第二定律：,在相等時間內，連接每顆行,星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等。,?,第三定律：,每顆行星繞太陽運動的公轉,周期的平方與它們到太陽的平均距離的,立
9、方成正比。,开普勒的行星定律,太陽,火星,开普勒的发现，为圆锥曲线的研究添,上了一层实际的意义。,三个宇宙速度与发射体的轨迹,?,第一宇宙速度,(,环绕地球速度,)V1=7.91km/s,，,?,第二宇宙速度,(,脱离地球速度,),：,V2=11.2km/s,?,第三宇宙速度（脱离太阳系速度）,V3=16.7km/s,?,在,V1VV2,发射体的轨道是椭圆,?,V=V2,，发射体的轨道是抛物线（的一半）,?,VV2,发射体远离，轨道是双曲线一支（的,一半），不再回到地球。,?,V2=VV3,发射体的轨道是以太阳为一个焦,点的椭圆，发射体成为一个人造行星。,?,V=V3,，发射体将挣脱太阳的引力
10、，飞到太,阳系以外去。,三、抛物线的应用,?,能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物,线，它有一个特性：从置放在抛物线焦,点的点光源发出的光线，经抛物线反射,后的光线都是平行的；反之，入射的平,行光线经抛物线反射后的光线都经过焦,点,抛物线的应用,汽车前灯,?,抛物线的应用,?,太阳灶：利用太阳光为平行光，经过抛,物镜面的反射而集中于焦点，在焦点处,产生高温（焦点的由来）,F,90,285,抛物线的应用,?,矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的,轨迹是不同的抛物线。根据地质、炸药,的因素可以算出这些抛物线的范围。这,个范围的边界又是一条抛物线，叫做,“安全抛物线”。见教材,P168:,图,3.5.1
11、3,双曲线的建筑方面的应用,?,双曲线绕虚轴旋转形成单叶双曲面，单,叶双曲面上有两族直母线。在建筑上可,以把钢筋作为两族直母线，使他们构成,单叶双曲面。这样设计的建筑物非常轻,巧又坚固。,单叶双曲面之冷却塔,27,12,14,55,广州电视塔小蛮腰,?,其设计师是荷兰,IBA,事务所的马克,海默,尔和芭芭拉,库伊特。,?,有一天，我在厨房把一些弹性橡皮绳绑,在两个椭圆形的木盘之间，一个在底部，,一个在顶部。当我开始旋转顶部椭圆的,时候，一个复杂的形状出现了。我开始,激动起来，要从这个简单的想法开始，,把它发展成一个建筑物。,小蛮腰,小蛮腰,双曲线在航海中的应用,?,海上航行的轮船有一种“双曲线时差定,位法”，就是利用“双曲线上的点到两,焦点的距离之差为一个常数”的原理设,计的。,圆锥曲线在其他方面的应用,?,桥梁一般采用共性，并常常采用抛物拱,形，是考虑到建筑物的平衡条件，也考,虑到桥梁所受的是连续均匀分布的竖直,向下的荷载。,?,隧道的拱形常常采用椭圆拱形，这是因,为它除了承受上面的竖直压力外，还承,受两侧泥石的水平压力。,?,以上见教材,P168,，图,3.5.12,39,本节结束,谢谢,
