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1、随机信号与系统,第3章 平稳性与功率谱密度,2,第3章 平稳性与功率谱密度,平稳性(Stationarity)的概念 随机信号的某些统计特性对于参量值“稳定不变”的性质被称为平稳性，相应的随机信号被称为平稳随机信号。,3,e.g.,4,e.g.,5,e.g.,其中Au-1,1,，为常数,6,e.g.,X(t)=acos(t+),其中 u0,2,a,为常数,7,第3章 平稳性与功率谱密度,3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度3.5 白噪声与热噪声3.6 应用举例,8,3.1 平稳性与联合平稳性,平稳性（Stationarity
2、）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。包括严格平稳性（Strict-sense stationarity）与广义平稳性（Wide-sense stationarity）,9,3.1.1 严格与广义平稳信号,定义3.1 随机过程，如果对任意的 和任意满足 的值，成立。则称X(t)具有严格平稳性（或强平稳性），也称X(t)是严格平稳随机信号（或强平稳随机信号）,记作SSS R.S.。,10,严格平稳性,11,SSS R.S.X(t)的特性,（1）X(t)的一维概率分布函数、概率密度函数、均值与时间t无关，即：,12,SSS R.S.X(t)的特性,（2）X(t)的二维概率分
3、布函数与两时刻的绝对值无关，只与相对差有关；如果其二维概率密度函数与相关函数存在，它们也只与两时刻的相对差有关，即,13,严格平稳性,14,严格平稳性随机信号举例,贝努里随机信号（SSS）,n,X（n，sn）,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,n,X（n，s1）,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,15,严格平稳性随机信号举例,二元传输信号（非SSS R.S.）,16,严格平稳性随机信号举例,随机信号U(t)N(0,A0/2)，而不同时刻的随机变量之间彼此统计独立。,17,广义平稳性 Wide-sense stationarity,定义3.2 随机过程，满足：1）
4、均值为常数；2）相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差有关 t1t2，即 则称X(t)具有广义平稳性（或弱平稳性、宽平稳性），也称X(t)是广义平稳随机信号（或弱平稳随机信号、宽平稳随机信号）,记作WSS R.S.。,18,广义平稳性,二阶矩过程：若随机信号 X(t),t T满足则称随机信号 X(t),t T为二阶矩过程（功率有限）。,19,举例,例3.1 广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘法调制器得到随机信号Y(t)，图中是确定量，是-,+均匀分布的随机相位，与X(t)是统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。,20,例3.1续,解：由图可知（1）均值函数为：（2）
5、相关函数可以表示为 均值是常数且相关函数仅与有关，Y(t)是广义平稳的。,21,定理3.1,高斯随机信号X(t,s),-t+的严格平稳性与广义平稳性是一致的。即对于高斯随机信号有：,22,思路：SSS,高斯随机信号,23,N维分布,其中均值向量 随机向量的协方差矩阵可表示为高斯信号的n维p.d.f为,24,定理3.1证明,证明：由于X(t)是WSS R.S.所以,25,举例续,的协方差阵C都相等（只与n个不同时刻的相对位置有关，而与绝对位置无关）,26,27,3.1.2 联合平稳性,定义3.3 对于随机过程 与，如果任取 与，以及 与，对于 的任意值，始终有成立。则称X(t)与Y(t)具有联合
6、严格平稳性（或强平稳性），也称X(t)与Y(t)是联合严格平稳随机信号（或联合强平稳随机信号），记作JSSS R.S.。,28,联合严格平稳性,t,Y(t),29,JSSS R.S.的特性,X(t)和Y(t)都是SSS R.S.,30,联合广义平稳性,定义3.4 WSS R.S.与，如果其互相关函数存在，且与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差 有关，则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性（或联合弱平稳性、联合宽平稳性），也称X(t)与Y(t)是有联合广义平稳随机信号（或联合弱平稳随机信号、联合宽平稳随机信号），记作JWSS R.S.。即：,31,举例：相关检测,32,举例续,若 显然：,33,第3章 作业1,3.13.43.53.6,
