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1、自动控制理论 （夏德钤）习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。(a)，则传递函数为：(b) 设流过、的电流分别为、，根据电路图列出电压方程：并且有联立三式可消去与，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以为输入，为输出的传递函数。(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：，对上式进行拉氏变换得到故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：，联立两式消去得到对该式进行拉氏变换得故此传递函数为(c)，且，联立两式可消去得到对该式进行拉氏变换得到故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压为输入量，以电动机的转角为输出量的微分方程式和传递
2、函数。解：设激磁磁通恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差即是无惯性放大器（放大系数为）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为，电流为I。电动机的角位移为。解：2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流与间的关系为。假设电路中的，静态工作点，。试求在工作点附近的线性化方程。解：2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分
3、方程，并根据力电压的相似量画出相似电路。解：分别对物块、受力分析可列出如下方程：代入、得2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为，温度计显示温度为。试求传递函数（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。解：根据能量守恒定律可列出如下方程：对上式进行拉氏变换得到则传递函数为2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数。G1G2G3H1+_+_+C(s)R(s)a)+G1H1G2G4H3G3H2+_R(s)C(s)b)图2-T-8解：(a) 化简过程如下G3G1H1_G2G1R(s)C(s)+C(s)R(s)+_G1+G2G1+H1G3R(s)C(s)G1+G2
4、C(s)R(s)传递函数为 (b) 化简过程如下H3C(s)+_G1G4G3H1G2G2H21/G1_+R(s)R(s)G4+G2G3H3+H2/G1+_C(s)C(s)R(s)传递函数为2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数。_+0.70.50.4+_R(s)C(s)图2-T-9解：化简过程如下+0.70.4Ks_R(s)C(s)+_Ks0.7R(s)C(s)C(s)R(s)系统的传递函数为2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数。G1H1G2H2G4G3_+R(s)C(s)图2-T-10系统的传递函数为2-11 试绘出图2-T-11
5、所示系统的信号流程图，并求传递函数和（设）。+_C1(s)+G1G6G4H1G3H2G2G5+_+R2(s)R1(s)C2(s)图2-T-11解：系统信号流程图如图所示。题2-11 系统信号流程图 2-12 求图2-T-12所示系统的传递函数。解：(a) 系统只有一个回环：， 在节点和之间有四条前向通道，分别为：，相应的，有：则(b) 系统共有三个回环，因此，两个互不接触的回环只有一组，因此，在节点和之间仅有一条前向通道：，并且有，则2-13 确定图2-T-13中系统的输出。R(s)_+G1G2H1H2+_D1(s)D3(s)D2(s)C(s)图2-T-13解：采用叠加原理，当仅有作用时，当仅
6、有作用时，当仅有作用时，当仅有作用时，根据叠加原理得出第三章3-1 设系统的传递函数为求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。解：当输入为单位斜坡响应时，有，所以有分三种情况讨论 （1）当时， （2）当时， （3）当时，设系统为单位反馈系统,有系统对单位斜坡输入的稳态误差为3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为（1） （2）（3） （4）解：（1）；（2）；（3）；（4）3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。（1），（2），（3）解：首先求系统的给定误差传递函数误差系数可求得如下 （1），此时有，于是稳态误差级数为
7、， （2），此时有，于是稳态误差级数为， （3），此时有，于是稳态误差级数为，3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为若输入为，求此系统的给定稳态误差级数。解：首先求系统的给定误差传递函数误差系数可求得如下以及则稳态误差级数为3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。R(s)C(s)a)+_C(s)b)R(s)图3-T-1+_解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：，加入比例微分环节后可见取，可使3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为从实验方
8、法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，。试确定传递函数中的参量及。解：由图可以判断出，因此有代入，可求出G(s)R(s)C(s)+_图3-T-33-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。（2）整个系统的特征方程为求三阶开环传递函数，使得同时满足上述要求。解：设开环传递函数为根据条件（1）可知：；根据条件（2）可知：，。所以有3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为，如要求（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。（2）三阶系统的一对主导极点为。求同时满足上述条件的系统开环传递函数。解：按照条件（2）
9、可写出系统的特征方程将上式与比较，可得系统的开环传递函数根据条件（1），可得解得，于是由系统的开环传递函数为3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。（1） （2） （3）解：系统单位阶跃响应的象函数为 （1）将，s代入式中可求出，为欠阻尼系统，因此得出， （2）将，s代入式中可求出，为欠阻尼系统，因此得出，s， （3）将，s代入式中可求出，过阻尼，无最大超调量。因此只有s。3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。（1）当a=0时， 则系统传传递函数为，其中，所以有。 （2）不变时，系统传
10、函数为，要求，则有，所以可求得求得。3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。1. 单位脉冲响应(a) 无零点时（b）有零点时比较上述两种情况，可见有零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为。2单位阶跃响应(a) 无零点时（b）有零点时加了的零点之后，超调量和超调时间都小于没有零点的情况。3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图3-
11、T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节，当误差信号时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。3-14 上述系统，如在为常量时，加于系统的扰动为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？ 在为常量的情况下，考虑扰动对系统的影响，可将框图重画如下图A-3-2 题3-14系统框图等效变换根据终值定理，可求得为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 。从系统的物理
12、作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。 （1）劳斯表有 则系统系统稳定。（2）劳斯表有 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。（3）劳斯表有 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。（4）劳斯表有 系统处于稳定的临界状态，由辅助方程可求得系统的两对共轭虚数极点。
13、3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。 （1）K0时,系统稳定。 （2）K0时，系统不稳定。 （3）0K s=tf(s); G=1/(s*(1+s)2); margin(G2);程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。（1）解：命令如下： s=tf(s); G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1); margin(G);如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。（2）解：命令如下： s=tf(s); G=2/(s2)*(0.1*s+1)*(10*s
14、+1); margin(G);如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。5-7 已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。（a） 解：低频段由得， =2处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节。由上可得，传递函数。相频特性。汇出系统的相频特性曲线如下图所示。（b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。=2处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节。在剪切频率处，解得传递函数为：（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加；处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节；处，斜率下降2
15、0dB/dec,对应一阶惯性环节传递函数形式为：图中所示Bode图的低频段可用传递函数为来描述，则其幅频特性为。取对数，得。同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用来描述，则其对数幅频特性为。由图有，dB,则有。再看图，由可解得综上，系统开环传递函数为（参考李友善做法）系统相频特性： 曲线如下：5-8 设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。(a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P0，所以闭环系统不稳定。(b) 解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。(c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。5-9根据系
16、统的开环传递函数绘制系统的伯德图，并确定能使系统稳定之最大值范围。解：时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率，在剪切频率处系统的相角为由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有的相角滞后，即解得。因此使系统稳定的最大值范围为。5-10 已知系统的开环传递函数为试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。解：由知两个转折频率。令，可绘制系统伯德图如图所示。确定所对应的角频率。由相频特性表达式可得 解出 在伯德图中找到，也即对数幅频特性提高，系统将处于稳定的临界状态。因此为闭环系统稳定的临界增益值。5-11 根据图5-T-3中的伯德图求传递函数。解：由知；由知是惯性环节由的转折频率
17、；从1增大到10，下降约，可确定斜率为，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振荡环节。由和知系统有一串联纯滞后环节。系统的开环传递函数为 由解得。可确定系统的传递函数为 第六章6-1 试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。解：（a），超前网络的传递函数为，伯德图如图所示。题6-1超前网络伯德图 （b），滞后网络的传递函数为，伯德图如图所示。题6-1滞后网络伯德图6-2 试回答下列问题，着重从物理概念说明：（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？（2）如果错误！未找到引用源。型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。型系统，应采用哪种校
18、正规律才能满足要求，并保证系统稳定?（3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？（4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？（5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？解： （1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。 （3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度 ，从而改善系统的暂态性能。（4）
19、当减小，相频特性朝方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。 （5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。6-3 某单位反馈系统的开环传递函数为（1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。（2）串联传递函数为的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕度。（3）串联传递函数为的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕度。（4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。解： (1) 用MATLAB求得校正前（2）串联超前校正后（3）串联滞后校正后 （4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系
20、统的响应速度加快。 在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。6-4 设控制系统的开环传递函数为（1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （2）采用传递函数为的串联超前校正装置。试求校正后系统的相角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。解：（1）校正前 （2）加串联超前校正装置后，经超前校正，提高了系统的稳定裕度。题6-4系统校正前、后伯德图6-5 单位反馈系统的开环传递函数为设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度，并保持原有的开环增益。解：原系统的相角裕度为。 计算未校正系统中对应相角裕度为时的频率。解得
21、 。当时，令未校正系统的开环增益为，故有，于是选， 选定 则 。于是，滞后校正网的开环传递函数为。校验校正后系统的相角裕度为 6-7 单位反馈系统如图6-T-2所示。系统的输入和输出均为转角，单位是（）。对系统进行超前校正，使满足相角裕度大于45，在单位斜坡输入（单位是（）下的稳态误差为，剪切频率小于7.5。解：，超前校正装置，校正后系统的开环增益为，满足设计要求。 6-8 单位反馈系统的开环传递函数为设设计滞后校正装置以满足下列要求：（1）系统开环增益；（2）相角裕度。解：当时，画出未校正系统的伯德图。由于伯德曲线自开始以-40dB/dec的斜率与零分贝线交与，故存在下述关系：故 。 于是未校正系统的相角裕度为说明未校正系统是不稳定的。计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为时的频率。由于得。当时，令未校正系统的开环增益为，从而求出串联滞后校正装置的系数。有：于是选：选定：则：于是滞后网络的传递函数为6-9 设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。试用MATLAB比较校正前后系统的相角裕度和带宽。解：未采用反馈校正时，带宽为。采用反馈校正后，调整，使，此时。带宽为。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图所示。
