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1、牛吃草问题牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数。例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新
2、长出的草是不变的下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量设1头牛一天吃的草为1份那么， 10头牛20天吃200份，草被吃完； 15头牛10天吃150份，草也被吃完前者的总草量是200份，后者的总草量是150 份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草20015050(份)，201010(天)，说明牧场10天长草50份，1天长草5份也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草由此得出，牧场上原有草(105)20100(份) 或(155)10100( 份)现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份当有25头牛时，
3、其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100205(天)所以，这片草地可供25头牛吃5天在例1的解法中要注意三点：(1) 每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的(2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量(3)在所求的问题中， 让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，
4、那么5分钟后水池空那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化， “水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2816( 份)，3个出水管5分钟所排的水是3515(份)，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的
5、进水量两者相减就是在853(分)内所放进的水量，所以每分钟的进水量是水管排原有的水，可以求出原有水的水量为解：设出水管每分钟排出的水为1份每分钟进水量答：出水管比进水管晚开40分钟例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量设1头牛1天吃的草为1份20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，1009010( 份)，说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也
6、就是说，寒冷相当于10头牛在吃草由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草(2010) 5150(份)由1501015知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己
7、的速度，另一部分是自动扶梯的速度男孩5分钟走了205100( 级)，女孩6分钟走了15690( 级)，女孩比男孩少走了1009010(级)，多用了651(分)，说明电梯1分钟走10级由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(2010) 5150(级)解：自动扶梯每分钟走(205156)(65)10(级)，自动扶梯共有(2010) 5150(级)答：扶梯共有150级例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解
8、：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客设1个检票口1分钟检票的人数为1份因为4个检票口30分钟通过(430)份， 5个检票口20分钟通过(520)份，说明在(3020)分钟内新来旅客(430520)份，所以每分钟新来旅客(430520)(3020) 2(份)假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为(42)3060( 份) 或(52)2060(份)同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新
9、来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60(72)12(分)例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天问：第三块草地可供19头牛吃多少天？分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来 5，6，8120 因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120 524，所以120公顷草地可供1124264(头)牛吃10天因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120 620，所以120公顷草地可供1220240(头)牛吃14天120815，问题变为： 120公
10、顷草地可供1915285(头)牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”这与例1完全一样设1头牛1天吃的草为1份每天新长出的草有(2401426410)(14 10)180(份)草地原有草(264 180) 10840(份)可供285头牛吃840(285 180) 8(天)所以，第三块草地可供19头牛吃8天_公务员考试数量关系之行程问题解题原理及方法两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从
11、同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差时间=追及（或领先的）路程追及（或领先的）路程时间= 速度差追及（或领先的）路程速度差= 时间对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的At+bt=s t=s/a+b s甲=a*t=a*s/a+b S乙=b*t=b*s/
12、a+b【例1】甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1 千米，那么5 小时相遇。A、B 两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1 千米）仍然走4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5 小时相遇，换句话说，再行1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。【解】相隔路程：142行完相隔路程所需时间：（5-4） 速度和42/（5-4） 全程=40（千米）这道
13、题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8 千米和5.4 千米。小李骑车的速度为每小时10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5 分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？【分析】为便于分析，画出线段图36-1：图中C 点表示小张与小李相遇地点，D 点表示他们相遇时小王所在
14、地点。根据题意，小王从D 点、小李从C 点同时出发，相向而行，经过5 分钟相遇。因此，DC的长为这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为 1.3（5.4-4.8）60=130（分）这就是说，小张行完AC 这段路（也就是小李行完CB 这段路）用了130 分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.85.4）倍，所以小李行完AC 这段路只需小张的一半时间（65分）。【解】（留给读者完成，答案是195 分钟。）【例3】上午8 点8 分，小明骑自行车从家里出发， 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4 千米的地方追上小明。
15、然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米。问这时是几点几分？【分析】先画出示意图图37-1 如下（图37-1 中A 点表示爸爸第一次追上小明的地方，B 点表示他第二次追上小明的地方）。从图37-1 上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A 点到B 点，行完（8-4=）4 千米；爸爸先从A 点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12 千米。可见，爸爸的速度是小明的（124=）3 倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到A 点），小明所用的时间就是爸爸的3 倍。由于小明从家出发8 分钟后爸爸去追他，并且在A 点追上，所以，小明从家到A 点比爸
16、爸多用8 分钟。这样可以算出，小明从家到A 所用的时间为 8（3-1）3=12（分），小明爸爸到达A 点所用时间4 分。 AB 之商等于3，AB 之差等于8，则AB 数分别是：A=12,B=4B（小的数）=差（商1）【解】8（3-1）32=24（分）【例4】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45 千米，乙车每小时行36 干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40 千米。A、B 两地相距多远？【分析】我们同样还是画出示意图37-2（图37-2 中P、M、N 分别为第一次、第二次、第三
17、次相遇地点）：设AB 两地的距离为“ 1 ”。由甲、乙两车的速度可以推知： 在相同时通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3 个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了5 个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。下面，我们只要找出与“40 千米”相对应的分率（也就是MN 占全程的几分之几）。【解】注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。我们来讨论封闭线路的行程问题。解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程
18、问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。【例5】甲、乙两名同学在周长为300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5 米，乙每秒钟跑4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍（30010=3000 米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5 米
19、，乙的速度为每秒钟跑4 米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400知道甲还需行100（=300-200）米。1400300=4（圈）200（米）300-200=100（米）【例6】如图38-1，A、B 是圆的一条直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C 点第一次相遇，在D 点第二次相遇。已知C 点离A 点80 米，D 点离B 点60 米。求这个圆的周长。【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了80 米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C 点同时开始前进
20、，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2 倍。也就是，前者所花的时间是后者的2 倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80 米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160 米，一共行了240 米。这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。【解】（80+802-60）2=360（米）【例3】2 点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？【分析】分针的速度比时针快，2 点整时，分针在时针后面2 格，要使分针与时针第一次垂直，
21、分针应在时针前面3（=124）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走5 格。而分针每小时走12 格，时针每小时走1 格。后，时针才能与分针第一次垂直。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17 格。所以要经日期问题一、平年过1 年，星期过1 天；闰年过1 年，星期过2 天。这个很容易论证的，365/7=521；366/7=522。所以有平年过1 年，星期过1 天，闰年过1 年，星期过2 天的说法。例如，2006 年8 月1 号星期二，问2008 年8 月1 号星期几？解析：07 年平年加1 08 年闰年加2 就很容易地计算出是星期五。注意：
22、以“00”结尾的年份，能被400 整除的才是闰年，其余能被4 整除的是闰年；星期：星期7 天一循环，一年约52 个星期（所以有“幸运52”），还要注意是平年的2 月还是闰年的2 月，若是闰年的，还要注意该2 月是否包含在计算期间内。二、紧邻的两日：多的在前，垫后；多的在后，垫前（看多，前后相反）。解释：例如某月有5 个星期四，4 个星期五。星期四多，且星期四在星期五之前，则星期四垫后，该月月底必是星期四；例如某月有4 个星期四，5 个星期五。星期五多，且星期五在星期四之后，则星期五垫前，该月月初必是星期五。分析：第一种情况，星期五在星期四之后，为什么会少了一个呢？一定是被挤到下月初去了，可立即
23、推出该月月底是星期四。第二种情况，星期四在星期五之前，为什么会少了一个呢？一定是被挤到上月底去了，可立即推出该月月初是星期五。如果不是求月初或者月底，而是求其他日的星期数，则通过加减7 的倍数之后的余数来求解要求解答的那一天是星期几。例如：1 日、8 日（1+7）、15 日（1+14）、22 日（1+21）、29 日（1+28）的星期数相同。不信的拿出自己的手机日历好好试试。题目：2008 年8 月8 日奥运会开幕日是星期五!请问1981 年10 月1 日是星期几?答案：周四口诀：平年就是1,闰年再加1,小月就是2,大月要补1,7 天一循环,28 年一周期解答： 28 年一周期，所以2008-
24、28=1980 ，1980 年的8 月8 日是周五1 年就是1，从1980 年8 月8 日到1981 年8 月8 日经历365 天，一年就是1,周期数加1，所以1981 年8 月8 日是周六，81 年8.8-81.10.8 ,中间隔2 个月,一月就是2 所以加4,有个大月,再加1,一共加5，也就是10 月1 日应该是周六加上五天，那天是周四闰日(该年经过了2 月)再加1:意思是例如1980 是闰年;1980.1 月1 日是星期2,;那么1999年1 月1 日呢?解:99-80=18,中间19 年;19 年就是1980,84,88,92,96 年是闰年,5 个闰年,其中的2 月都在其中,根据润日
25、再加1,加5,19+5=24:24/7=3.余3所以1999 年1 月1 日是星期2 加3=星期5时钟问题详细讲解一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？（2006 国家考题）A、10 B、11 C、12 D、13 答案B2、中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？A、60 B、59 C、61 D、62 答案B讲讲第2 题，如果第2 题弄懂了第1 题也就懂了！给大家介绍我认为网友比较经典的解法：考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的
26、60 倍，秒针和分针一起从12 点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1 格/秒，那么秒针的速度就是60 格/秒，设追上的时候路程是S，时间是t，方程为(1+60)tS 即61tS，中午12 点到下午1 点，秒针一共走了3600 格，即S 的范围是0S3600，那么t 的范围就是0t3600/61,即0t59.02，因为t 只能取整数，所以t 为159，也就是他们相遇59 次。第1 题跟这个思路是一样的，大家可以算算！给大家一个公式吧61TS （S 为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S 后算出T 的最大值就知道相遇多少次了）如第1 题，题目
27、中最小单位为分针，题目所要求的时间为12 小时，也就是说分针走了720 格T(max)=720/61.8，取整数就是11。1、钟表指针重叠问题中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？A、10 B、11 C、12 D、13考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12 格/分分针的速度是:1 格/分.追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11 分从12 点到12 点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11 次二、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你
28、：设X 时时，夹角为30X ， Y 分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）钟面分12 大格60 小格每一大格为360 除以12 等于30 度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5 度，能追5.5 度。1.【30X5.5Y】或是360【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义（求角度公式）变式与应用2.【30X5.5Y】=A 或是360【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个的公式。3.由变式2.可以变为30(X-Y/5)Y/60=A 或30（ X+12)-Y/5Y/60=A说明变式3.实质上完全等同变式2.例题32000 年国家考题某时刻钟表时间在10 点到11 点之
29、间，此时刻再过6 分钟后的分针和此时刻3 分，钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为（）A.10 点15 分B.10 点19 分C.10 点20 分D.10 点25 分思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2 解出30105.5Y=180 解出Y=21 又9/11 分，Y-6=15 又9/11 分,本题最接近A.(说明此国考题不够严谨！）胡伟东见解：上面解法不严紧30*10-5.5y-9*0.5=180（不懂的慢慢理解）思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10 点到11 点之间，那么根据“正好方向相反且在一条直线上”分针必在4 点到5 点之间（相对时针而言），那么
30、在6 分钟以前分针必在3 点附近（相对时针而言），运用排除法选A知识网络时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。时钟盘面被等分为12 个大格，那么每个大格之间的夹角为36012=30。每个大格又被分成5 个小格，每个小格之间的夹角为305=6。在钟表上时针与分针是同时运动的，它们的关系是：时针走1 小时转过30，分针转过360，恰为一个圆周。重点难点在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问
31、题的扩展和延伸。因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。学法指导解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。经典例题例1 如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？思路剖析将时钟盘面分成12 个分格，那么在1 点45 分，分针必落在9 这个位置上，而时钟针不在1 这_个位置上，而是在1 和2 之间的某个位置上，也就是要求出从1 点到1 点45 分，45分钟的时间时钟转过的角度。时针走60 分钟转过36012=30，那么走45 分钟，转过。而且从1 点45 分时时钟盘面上时针
32、、分针的位置易知，从9 点整到13 点整之间包含有4个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。解答点津或用变式2. 360-（3015.545）142.5（思考为什么用360 来减，当然在考题中选择题答案是唯一的好办！）对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例1 的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结论：在1 点45 分时，两针夹角：，那么在a 点b 分时，两针夹角：，为了避免ab5（分针在时针后），则a 采用12时计时法。如果所求的角度是大于180的，那么需与360求差后求出的值为最后结果。例2 从5 时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？思路剖析时针与分
33、针直线也就是说两针的夹角为180。从5 时整开始时，时针在一个小时之内从5运转到6，分针从12 开始在一个小时之内会旋转360，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图2 中易知此时刻必然落在11 与12 之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1 正好是个相反的过程。我们仍可按照例1 得出的规律求解。当两针成直线时，时间为5 点几分，那么a=5，由于分针位置在11 至12 之间，则b55，那么b511，a11，而a=56，而a=6b5，可采用12 时计时法，设从8 时整开始，经过b1 分后，时针与分针第一次垂直，夹角为90。得方程：（2）时针在分针后，a=8，ab5，可采用24 时计
34、时法，设从8 时整开始，经过b2 分后，时针与分针第二次垂直，夹角为2700。得方程：由于求得b2=60 分，那么经过60 分钟，即在9 点钟时，两针第二次垂直。但题意要求是在8 点几分时垂直，所以此种情况可舍。答：在8 小时点分时，时针与分针垂直。例5 如图5 所示的时间是8点20分差一些。如果时针和分针同6 的距离正好相等，试问是几点几分？思路剖析由于时针和分针同6 的距离正好相等，从图中可知，时针和分针与6 的距离都是两个大格再加上部分大格。注意到时针多走的部分大格是时针与8 的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多出的部分大格是分歧针与4 的距离，即40 个大格减去分针几分钟内走的格
35、数。而这两部分是相等的。由于分针走5 分钟走1 个大格，那么1 分钟就走个大格，而时针60分钟走1 个大格，那么1 分钟走个大格。由此可以将经过几分钟后时针与8 的距离和分针与4 的距离表示出来，得到方程，进而求出结果。解答发散思维训练1.求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。（1）3 时25 分；（2）8 时40 分；（3）9 时12 分2.从9 点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？3.小明同时开动两个钟后发现，其中的一个钟每小时慢3 分钟，而另一个钟每小时快2 分钟。过了一段时间他再去看这两个钟，发现那个快的钟正好比慢的钟快1 小时，问小明过了多长时间去看的钟？4.时
36、针现在表示的时间是15 时整，那么分针旋转2002 周后，时针表示的时间是几时？5.钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？6.一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？7.时钟的分针和时针在24 小时中，形成过几次直角？8.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？9.在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差3 分的距离就重合。求现在是几点钟？参考答案1.解：2.解：时针与分针第一次成直线，即它们的夹角为180。设从9 点整开始，经过b 分后，时针与分针第一次成直线，这时针针必落在3 与4 之间，即b5b5，
37、可采用12 时计时法，得到方程：3.解：快的钟比慢的钟每小时快3+2=5（ 分钟），1 小时=60 分钟，快出60 分钟则需经过605=12（小时）答：小明过了12 小时去看的钟。4.解：分针旋转1 周经过的时间是1 小时，那么2002 周后经过的是2002 个小时，一天有24 小时，200224=8310，即旋转2002 周之后经过了83 天，还多10 个小时，而现在的时间是15时，15+10=25，25-24=1（ 小时）。答：当分针旋转2002 周之后，时针表示的时间是1 时。5.解：由于在相同的时间内分针旋转的度数是时针旋转度数的多少倍是一个固定的值，那么不妨看经过1 个小时，两针各旋
38、转多少度。1 小时，时针旋转整个表盘的，而分针旋转一周。因此有：1=12（ 倍）。答：相同时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的12 倍。6.解：分针追上时针即两针重合，设在9 点b 分时两针重合，夹角为360，采用24 时计时法。7.解：因为时针在1 分钟内转动3060=0.5，分针1 分钟转动3606=6，设：经过x 分后，时针与分针成为直角，那么有方程x（6-0.5）=90，故x=16。即：一天的开始时，两针都指12，两针在16 分钟以后，第一次形成直角。所以，下式成立： 16n=6024，故n=88。但是，两针到下次重合前，形成的角依次是90、180、270wwwGG、360（相当于0
39、），其中，符合题意的只有90和270二个。因此，24 小时内，时针和分针可以形成44 次直角。8.解：设时针和分针成一条直线，所需时间为x 分钟，这样，分针在表盘上转动6x，因为分针1分钟转6，时针1 分钟转0.5，时针则转了0.5x，那么两针之差相差180。6x-0.5x=1805.5x=180x=32。答：经过32 分钟两针可以成一条直线。9.解：一天的第六个小时，应从5 点钟开始算起。设从5 点开始经b 分钟，时针和分针满足题中给出的要求。由于分针在一分钟里，顺时针旋转6，而时针一分钟里旋转0.5，分针与时针相差3 分，那么两针夹角63=18。a=5，ab5，则采用12 时计时法时钟问题
40、1“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60 格，分针每走60 格，时针正好走5 格，所以时针的速度是分针速度垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。例1 现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2 点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面 例2 在7 点与8 点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分
41、析与解：7 点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后面5735（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15 格，在7 点与8 点之间，有下图所示的两种情况：（1）顺时针方向看，分针在时针后面15 格。从7 点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需（2）顺时针方向看，分针在时针前面15 格。从7 点开始，分针要比时针多走351550（格），需例3 在3 点与4 点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析与解：3 点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后面5315（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180角两种情况（见下图）：（
42、1）时针与分针重合。从3 点开始，分针要比时针多走15 格，需15（2）时针与分针成180角。从3 点开始，分针要比时针多走1530 例4 晚上7 点到8 点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？分析与解：这道题可以利用例3 的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30 格，所以播出时间为例1例4 都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路
43、程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。例5 3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？分析与解：假设3 点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15 个格。 例6 小明做作业的时间不足1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A 走到B，分针从B 走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B 出发，反向而行，它们在A 点相遇。两针所
44、行的时间是： 解题在于实践1.时针与分针在9 点多少分时第一次重合？2.王师傅2 点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。5 点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。王师傅工作了多长时间？3.8 点50 分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？4.小红8 点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？5.3 点36 分时，时针与分针形成的夹角是多少度？6.3 点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？7.早晨小亮从镜子中看到表的指针指在6 点20 分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告诉他刚到6 点20 分。问：小亮跑步用了多长时间？练习24 解：分针比时针多转5-2=3（圈），所以王师傅工作了解：从9 点开始，分针还要比时针多走15 格，所求时间为解：8 点分针在时针后面40 格，第一次垂直分针要比时针多走40-15=25（格），第三次垂直要多走25302=85（格）， 5.108。解：分针走36 格，时针走3612=3（格）。3 点36 分时，分针在时针前面36-（53
