冶金过程数值模拟.doc

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1、内蒙古科技大学冶金工程研究所冶金过程数值模拟工学硕士2006ZHZW2007-3-4冶金过程数值模拟1 绪论1.1科学研究的第三种方法论1.1.1实验研究1.1.2理论研究1.1.3科学计算1.2数值模拟的思路与方法1.2.1数学模型的建立1.2.2数值方法1.2.3结果分析1.3课程内容1.4课程要求2 代数方程模型例1 风力作用下自由落体小球偏移量计算例2转炉内液滴喷溅与传热计算例3烟囱排烟问题3 微分方程模型3.1微分方程模型的完备性3.2传输问题的通用输运方程模型3.2.1输运方程3.2.2定界条件4 层流与湍流流动的数学模型4.1层流流动数学模型4.2湍流流动数学模型4.2.1混合长

2、度模型4.2.2双方程模型4.2.3雷诺应力模型4.2.4直接数值模拟5 数值计算方法5.1区域离散化5.2微分方程的代数化5.3常微分方程的初值问题5.4稳态扩散问题5.5非稳态扩散问题5.6对流扩散问题5.7层流流动问题5.8湍流流动问题6 辐射传热模型6.1辐射传热也是传输问题6.2区域法6.3MonteCarlo法6.4热流法6.5随机热流法6.6辐射传热的输运方程模型6.7离散坐标法6.8其它方法7 湍流燃烧模型7.1简单化学反应机理与复杂化学反应机理7.2快速化学反应模型7.3设定的PDF模型7.4二阶矩模型7.5PDF输运方程模型7.6直接数值模拟8 电磁场的数学模型8.1电磁现

3、象8.2电磁场的基本规律8.3电磁场的数学模型8.4多层介质中的电场问题8.5连铸电磁搅拌问题9 复杂过程数学模型9.1复杂过程的定量认识9.2转炉二次燃烧问题分析10 数值模拟理论的现代进展与展望1绪论这门课叫“冶金过程数值模拟”，是我们学校的特色课程。首先，我们学校起步早。是在上个世纪八十年代，我们学校的贺友多教授带领课题组就开始做这一方面的工作，与清华大学一起起步。经过近二十多年的发展，我们形成了我们自己的特色，而且走在了冶金院校的前列，培养的研究生也受到行内人士好评。其次，人员结构合理。从最早贺老师组织的课题组开始，包括有各种专业的人材，有冶金、物理、数学、热能等，这样就会产生思想的冲

4、击，便于对问题进行深入的讨论与认识。对科学问题或是自然问题本质的认识中，知识只是第二位的，方法论是第一位的。对科学或工程问题提出自己的想法，有时做不到，有时做得到，如果做到了那就是科学上的进步，或是技术上的改进。1.1科学研究的第三种方法论科学研究的方法论最基础的有两种：实验研究与理论研究，今天有产生了第三种方法论，就是我们这里要讲的数值模拟，或者称之为科学计算。1.1.1 实验研究通过仪器或设备，依靠人的感观进行观察与测量，以发现过程中存在的现象，经归纳总结得到过程进行中存在的规律，这就是实验研究。（实验的概念、测量方法与优缺点权威说法）实验是一种科学研究的重要的方法，对人类认识自然与科学的

5、发展发挥了巨大的作用，随着现代实验方法与测试手段的进步，实验研究依然在发挥着重大作用，只是测试方法与工具在不断发生着变化，研究的领域也在不断发生着变化，如长度的测量，以前只能用各种度量尺来测量，使用不方便，使用环境也收到极大的限制，现在可以采用红外等进行远距离测量，也可在恶劣环境下进行测量，如高炉炉墙测厚。实验研究的最大特点是直观、可信（？），其最大缺点是测量的因果关系不明了，且得到测量的场一般是不可能的，经常是进行关键点的测量，而关键点的确定也是一个制约性环节，需要根据经验与不断地尝试来得到。但实验研究是否是我们研究问题的唯一的方法？答案当然是否定的。如勾股定理诞生以前，对于直角三角形的斜边

6、长度，要靠测量来获得，但有了勾股定理并且能进行开方计算的时候，这个斜边长度就完全没有必要测量了，采用勾股定理计算比测量更准确；又如追击问题，实验室实验、真实实验测量、方程计算，现在说来，当然采用方程计算更好、更准确。这两个例子说明如果过程清晰，认识到位，做法严谨，算法准确，那么计算结果就是可靠的，没有必要进行实验，况且实验有时候也是会存在问题的，比如测量仪器的精度、模型的相似性问题等等，如“磁单极”问题，就是设备把人骗了。1.1.2 理论研究理论研究是建立在定理、定义、规律基础上的，当然，这些定理、规律是通过此前的实验研究总结归纳并不断经实验验证的。在进行理论研究时要在定理、规律基础上增加许多

7、假设，这是必须的，且理论研究最主要的贡献就在这儿，现在的理论研究一般把假设与哲学、与美学联系起来。杨振宁先生80寿辰来临前，90多岁高龄的数学大师陈省身先生专门作了一场题为数学与美的演讲相贺，去年数学大师陈省身先生90华诞前夕，杨振宁先生做物理与美的报告相贺， 两位大师这样的独特贺寿方式，在学届传为佳话。中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理” 。什么是美呢？一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。美的表现就是简单、对称、完备、统一、和谐和奇异，这是科学和艺术共同追求的东西。如能量守恒是最基本的规律之一，而在以前有人

8、就要破坏这种守恒，多次有人提出“永动机”的概念，但最后没有人能够推翻“守恒性”，为什么会这样？后来人们发现这些规律的基本性与哲学、与美学相对应，守恒性与哲学、美学中的对称性是相对应的，从对称性出发，采用数学、物理的方法，就可以产生守恒规律，如时间平移的不变性就对应着能量守恒，所谓的时间平移的不变性就是在不同的时间重复同一个实验会得到同样的结论；又如空间平移的不变性就对应着动量守恒，所谓空间平移的不变性就是在不同的地点（不考虑地球半径的差异，不考虑地磁作用）重复同一个实验会得到同样的结论；又如空间旋转的不变性对应着 ；又如 。美的东西都是简单的，如狄拉克，在1928年写了一篇文章，提出了一个很简

9、单的一个方程式，p+mc= E，这是一个非常简单的一个方程式，可是这个方程式有不得了的贡献，它奠定了今天原子、分子结构的基础，它解释了为什么电子有自旋，自旋的意思就是每一个电子都是在那儿象陀螺一样在那儿转，电子有自旋这个事情不是狄拉克发现的，在那以前几年，已经有人提出来，电子一定有一个自旋，可是不知道为什么要有自旋，刚才我所念出来的这个简单的方程式，你去了解了它的真正的意义以后，你自然而然就知道，电子一定要有一个自旋。而且这个电子的自旋跟自旋在一起的是一个磁矩，就是象一个小磁铁，这个磁铁，电子这个有自旋有磁铁这件事情也不是狄拉克发现的，是当时已经知道了，可是没有人知道为什么要有磁矩，而用刚才所

10、念出来这个方程式就很自然的知道有磁矩，而且这个磁矩可以定量的用这个方程式算出来。而且这个磁矩跟电子轨道行动的关系，也是一个本来猜想到了，可是不懂为什么缘故是那样，也是被他的这个方程式所解释了。你想这样简单的一个方程式，把当时困扰大家的三个重要的问题都解决了，所以这个当然是震惊了当时物理学界。这是一个神来之笔，可是这个神来之笔并不这么简单，就被所有的人都认为是绝对对的，因为它出了一个新的问题，这个新的问题叫做负能问题，Negtive energy，大家知道通常“能”都是正的，他这个方程式，你去算了一下以后，会得出来一个非常稀奇的现象，说电子可有负能，这个负能当时是不可思议的一件事情，所以很多人懂

11、了他的这个工作的第一步以后，觉得这个东西是妙不可言，可是又觉得这个里头有非常奇怪的、不能够了解的、绝对不会对的事情，那么所以以后几年，就有种种人批评狄拉克，说他这个工作，看起来对是碰巧，其实是不对的，受到玻尔、海森堡、泡利等当时的大物理学家的质疑，但他始终坚持自己的理论，而最后得到全胜。可是狄拉克坚持，到了1931年，他更进一步，他说“不但这个负能是应该有的，而且有了这个负能以后，就会发现一个新的，重要的一个现象”，当时还没有看见，就是说任何一个电子，都会跟它俱来的有一个叫做反粒子，anti-particle，每一个粒子都有一个反粒子，这个反粒子跟这个粒子完全一样，可是它的电荷是相反的，这个当

12、时又是大家所不能接受的。人家说你从来没有看见过任何一个反粒子，你怎么随便就讲有个反粒子呢？可是过了一年以后，加州理工大学有一个年轻的，他其实是博士生，叫做卡尔安德森，他在第二年，用云雾室照出来了一个轨道，这个轨道是一个正电子，就是正是狄拉克所讲的电子的反电子，因为它反粒子，因为它是带着正电，这一来的话，大家知道狄拉克的这个方程式不但是对，而且完全是对的，他预言出来了一个从前大家不晓得的一个新的现象。（1981年安德森撰文回忆往事时特别提到了早在1930年中国科学家赵忠尧的实验，说是该实验引导他终于发现了正电子。）摘自凤凰卫视世纪大讲堂美与物理（上）杨振宁自然界中存在四种力：万有引力（重力）、电

13、磁力、弱力、强力，有三位科学家认为不同的力是同样的作用，只是其中的介子不同，如万有引力交换的引力子，弱力交换的是W介子，非常重，交换不同，力就小，且只能作用在原子核内，提出弱中性流，获得了诺贝尔奖，这一理论研究完全是从美学中推广出来的，80年代进行了激烈的探讨，最后该理论为实验所证实。1.1.3 科学计算科学计算是科学研究的第三种方法论，进行数值计算有几个限制性环节。（1） 工具：计算机计算机体现的是合作，人类从不文明到文明的进化过程中，上帝赐予人类的工具很多，但最重要的是计算机，上帝赐予人类“牛顿”，提出了万有引力、运动规律及其因果关系等，解决了力学问题，上帝赐予人类“麦克斯韦”，解决了电磁

14、学问题；上帝赐予人类“爱因斯坦”，提出了相对论，解决了复杂性问题；而上世纪人类又遇到了更为复杂的问题，上帝感觉赐予人类任何人都解决不了了，给个工具吧，你们团结协作，就会解决这个复杂的问题，于是计算机产生了。（2） 计算数学和计算方法的突破理论数学研究的是解的存在性、唯一性和稳定性，现在大多数数学家都转向了计算数学，计算方法也越来越好，越来越准确。上世纪80年代初，人们采用中心差分来计算导热问题，结果很好，但用到流动中时，就不行了，当时对方法研究的很少，不知道为什么不行，现在都清晰了，方法本身的特性在起作用。科学计算是一种行之有效的科学研究方法，在某些领域是唯一的方法，如天气预报，凡是预言性质的

15、研究实验方法是不行的，理论研究会得到一些方程，由于方程的复杂性，没有解析解可以用，这是一个混沌系统，具有短时效应，时间长了不适用，采用科学计算的方法是非常合适的。又如，天体物理中的三体问题，涉及到恒星的起源、演化、死亡及以后，理论研究可以计算二体问题，三体问题没有办法进行，如月球的运行轨道计算，就可以采用科学计算方法来进行。这方面科学计算的贡献是巨大的，如海王星就是算出来的，没有观察和认识海王星以前，人们对天王星的运行轨道计算算的不准，当时怀疑有两个可能：一是计算有问题，二是还存在另外一颗星，影响了天王星的轨道，后来就计算出在海王星的位置如果有颗星的话，天王星的轨道计算就准确了，定点观察，终于

16、发现了海王星。又如原子弹的设计，理论上很容易把48.8Kg的铀放在一起就可以爆炸，但美国在二战时仅存储了大约50Kg的铀，却爆炸了两颗原子弹，实际上原子弹也是算出来的，冯.诺依曼说过原子弹的设计中的计算比人类有史以来所有的代数计算的总和还要多。上图为2003年行星科学5月期杂志上发表的海王星照片。由美国国家航空和航天局哈勃望远镜拍摄到的照片显示，海王星南半球的亮度逐年增加，说明在海王星上发生了季节变化。1846年9月23日，德国天文学家伽勒发现了海王星,海王星是太阳系八大行星之一，按离太阳由近及远的次序排列为第八颗。他的亮度只有7.85等，必须使用望远镜才能看到。海王星为太阳系八大行星中的第八

17、个，亦是最後一個，是一个巨行星。海王星是第一个通过天体力学计算后被发现的行星。因为天王星的轨道与计算的不同，1845年英国人约翰可夫亚当斯和法国人埃班勒维叶推算了在天王星外的一个未知行星可能的位置。1845年9月23日柏林天文台台长约翰格弗里恩伽勒真的在这个位置发现了一颗新的行星：海王星。目前海王星是太阳系内离太阳最远的行星。海王星的名字是罗马神话中的海神涅普顿（Neptune）数值模拟，是指将工业过程的现象用计算机模拟出来，再现出来。它是一种定量的研究方法，而不是定性的。它能比较准确的把握和认识事物的本质。比如，从窗户外吹来的风，对室内温度的影响，能准确的知道室内温度的分布，比如在拐角处的温

18、度，不用温度计测量，就能知道。在进行数值模拟之前，必须建立数学模型。建立数学模型，还必须能够进行计算。在美国，理论数学向应用数学转变，推动数值计算的发展。在以前，靠人工，有许多方程不能解，而能解的也只有那么几个，比如伯努力方程、笛卡尔方程等，这时，计算机的出现，使得方程的求解变成了可能。这好比是过长江，以前只能靠人游泳，而游过去的也只有几个人，而船的出现，使的普通人也能过长江。计算机是一种数学计算的工具。数学的长项在于逻辑的推导，只有经过严密逻辑推理的东西，才能经受得验证。如海王星的发现，就是经过数学计算发现的，没有观察和认识海王星以前，人们对天王星的运行轨道计算算的不准，当时怀疑有两个可能：

19、一是计算有问题，二是还存在另外一颗星，影响了天王星的轨道，后来就计算出在海王星的位置如果有颗星的话，天王星的轨道计算就准确了，天文学家经过观察，终于发现了海王星。中央电视台有一个人物访谈节目，叫数学的美与数学家的自信，讲的挺好的，严密逻辑推理就是数学家的自信。归结如下 数学模型 几个重点 数值模拟 计算今天，科学计算更加重要，人们应用的已经得心应手，使用范围也越来越大。能力思想+方法+知识知识结构一般包括数学、物理学、计算机、外语等方面。电磁搅拌为什么重要？有些人会说很多理由，但都没有涉及到本质问题，我们说连铸结晶器需要搅拌，机械搅拌不行，只有采用无接触力，而无接触力有四种：引力（重力）方向是

20、确定的，不可用；弱力与强力力程太短，只能作用于原子核内部，不可用；只剩下电磁力，而钢、铝、铜等对电磁有响应，可以用，这就是采用电磁来搅拌的原因。1.2数值模拟的思路与方法1.2.1 数学模型的建立有三种方法：1） 基本规律的具体化将自然界中最基本的规律缩小或具体化到你的问题中去，如钢锭导热，最基本的规律就是能量守恒，具体化后就得到了能量方程，加上傅立叶定律及相应的初边值条件，就形成了这里的数学模型。2） 建立自己的数学模型二次燃烧，3） 物理模型的计算机直接模拟中间包夹杂物的生长过程，分形1.2.2 数值计算：方法、编程、调试前面讲的数学模型，重点要求如下：1） 自然现象和工程现象如何描述成数

21、学问题2 ) 数学问题如何求解数学方程模型有 代数方程模型 常微分方程模型 偏微分方程模型 常微分方程组模型。数学是一种非常重要的工具，它也是一种科学的研究方法。什么叫做微分？，由于自变量的变化引起应变量的变化，叫做微分，含有自变量的方程，就叫做常微分方程，它们构成了因果关系。代数方程仅仅是一种等量关系，而没有因果关系。在于常微分方程，只有一个因素影响，而没有其它的因素影响。有多个因素影响，就构成了偏微分方程，它的自变量可以相互交换。1.2.3 计算结果分析，非常重要作业：做一个独立的大作业，选一个问题认真做下去1.3 课程内容教材：目前没有教材，学习起来也不方便，要求阅读大量的资料，文献。

22、1）选择研究对象；正确选定研究的对象，将来研究结果能否有用，如果将来的研究结果没有实际的用处，那么研究对象变可能选错了。 2）选择研究方法； 数值模拟是一种非常经济的方法，它可以大量的节省实验经费。比如研究追击问题，有多种研究方法。做实验也可以得到结果，但最简单的方法就是数学计算，知道了出发的速度、时间，就知道出发后什么时间能追上。数值模拟往往是最聪明的方法，也是最经济的方法，想起来也非常简单。做研究，是探索和认识一些自然界不清楚的问题，寻求现象与对应的规律。看到一个现象，看它有没有规律，目前自然界中有的现象，人类还没有掌握其规律。这门课重点学习以下几类现象：a) 传输现象 是一种流体流动的现

23、象。讲NavierStokes方程，如果仅讲从牛顿定律推导出NavierStokes方程，那就是在学习传输。NavierStokes方程，引进了变形和应力之间的关系，就是牛顿液体，不能用于非牛顿液体。讲NavierStokes方程，将会挑其中的一部分重点讲述如何建立数学模型的，这一部分属于动力学范畴，它完全是由推动力引起运动的变化。b) 电磁现象 讲述电磁现象与其对应的规律。自然界中有四种力，它们是强力、弱力、电磁力和引力。这四种力构成场，称为无接触力。比如，流体在电磁场中的流动，是电磁力和引力共同作用的结果。工程上就是这两种力，电磁力和引力。微观世界中，在原子核内，存在强力、弱力。在自然界中

24、，由于物体运动快，接近光速，而不能再应用牛顿力学，引出了光子力学；同样在微观原子核内引入了量子力学。相对而言，电磁场是最完美的，它的基础是麦克斯威理论，只要真正掌握了克斯威理论，就掌握了电磁场。人们认为在冶金材料中，电磁力应用很大。电磁力的大小和方面可以控制，大小可以改变它的强弱，方向可以通过改变电荷或螺旋管的位置，它是唯一可以改变大小和方向的无接触力。要求看一下普通物理学中的电磁场或工程学中的电磁场理论。c) 随机现象 它是自然界中很大的一类现象，前两类属于决对论的，有什么原因，引起了什么样的结果发生。而随机现象，却不是这样的，比如，向上抛的硬币，落地是正面还是反面，它没有确切的结果，还有高

25、斯分布等。对于这一类现象，一定要清楚这种分布的现象和分布的规律。比如，室内温度20度，我们就要知道室内气体分子运动速度的规律。随机现象和决对论现象是自然界中最重要的现象，谁也代替不了谁，也不存在谁重要谁不重要的问题。比如在中间包内的夹杂，它的生长是随机的，但是它随钢液的流动的速度却是必然的，它是随机现象和决定论共同作用的结果。d) 燃烧现象以上三种现象包括自然界中大部分现象，在讲授中，会讲一些典型的例子，如二次燃烧，传热模型。留一些作业，要求同学们建数学模型，找出自然界和工程中的现象、找出它们规律，最后计算出来。1.4课程要求 真正学会一种科学研究方法。当遇到实际问题的时候，首先要想到数值模拟

26、，能算最好，不能算再考虑用别的方法。主动要用这种方法对付自然界中的现象。学完这门课，至少有这样一种方法论。 补一些数学物理和计算机方面的知识。我们培养的研究生知识结构有两大块，叫做3+1的知识结构。3块基础知识加1块专业知识，将来能够用数学物理方程来描述一个问题，并能用计算机算出。还有一块基础知识是外语。外语很重要，它是一门工具，有人做过统计，全世界有用的信息用英语发表的占到了76%，掌握好外语，可以了解同行中顶尖人物在做什么，他们有什么最新的想法。同时，做一流的研究水平也必须要求阅读大量的典型资料，典型人的论文（本领域内的专业）。同时，掌握了外语，就可以了解到同行做什么，怎么做，同时还可以了

27、解到自己的专业的前沿方向。 结课：大作业 要求独立完成，并获得同学们认可；考试2.代数方程模型列方程解应用问题，是一种非常常用的方法，是将一个实际的问题转化为数学问题求解。在代数方程中，最常用的关系是等量关系，等号左边和右边是绝对相等。它是一种最简单和最基本的数学模型，它包含了数学模型最基本的特征。例如：勾股定理。 知道两边a，b，求第三边x，是一个最简单不过的数学问题， a，b，x三边有关系吗？当然有，它就是他们之前的关系，这就是方程，就是数学模型。实际问题为已知a，b三边的长，不知x边长，但可以计算出x边长来，而且我们计算机出来的结果一定要比经过实验测量的还要准确，并且不需要进行验证，反映

28、了数学模型的准确性。基本规律清楚、基本的现象也是清楚的、基础的是自然的，那么，对作出的结果不用做实验进行验证。代数方程模型是最原始，最基本的东西，后面讲的最复杂现象的过程是一样的。代数方程表现形式简单，计算方式简单，而其它的计算复杂的，只能用计算机进行求解。例好追击问题、射击问题（炮弹以什么样的角度，什么样的初速度发射才能打中飞机，自然规律很清楚，知道炮弹的出口速度，角度；飞机运动，就可以计算出如何才能打中飞机）、逻辑问题。例1：从高度为h的地方，落下一质量为m的小球，受到正西风的作用，力为F，小球与空气的磨擦很小，可以忽略，问小球落地的偏离量。在以前不知自由落体运动和其它规律以前只能靠做实验

29、来求，现在可以通过计算来求，它的基础是自然的。在y方向上它是自由落体运动， 在x方向正西风作用力下为匀加速直线运动 对以上问题进行计算就可得出结果。现在再加一些条件进行计算：阻力与速度的一次方成正比，阻力系数为，再将问题实际化，西风的力F为气体和时间的函数。这样就与实际问题接近，还是一个受到力的逻辑问题，基本规律还是基础的，没有变化，还要进行讨论。如果数学问题不会算，可以找数学的人算，也可找学过数理方程的人计算。 这样，方程就变得复杂了，两个方程组就不能用纸和笔进行求解，只能用计算机进行求解。例2：氧枪喷溅出液体，液体在单位时间内带出的热量？这是一个比较复杂的问题，它有泡沫区、高温区、二次燃烧

30、区、烟气的燃烧、还有二次氧孔的位置，二次氧孔放出的烟气如何燃烧，如何充分利用。我们在考虑的时候，对在高温区，认为主要有辐射传热，但是进行严格的计算后发现，废钢溶不了。但是，实际上废钢溶化了，我们怀疑是计算错了，再一次进行了计算，并且采用很高的燃烧温度，但是，发现还是不能溶化废钢。不行，那就是在考虑问题对问题进行人为假设的不当，再次考虑气态的对流传热进行计算，还是不行。这样，我们认识到我们没有考虑清楚传热的基础。考虑到以下的情况：液体产生是随机的、大小是随机的、产生的位置也是随机的，产生的速度也是随机的。设置几个随机函数，使随机问题变成了决对问题。知道以上的几点，使得问题就变成了气体带动下的抛体

31、运动。对样本抽样进行计算，最后计算结果是正确的。抓住主要问题进行计算。这个别问题就是用随机论的基础、决定论（气流下的抛体运动）、传热和大量的统计问题。例3：烟囱的问题。经典解释 抽气太大了，不合适，太小了，不有起到应用的作用，也不合适。抽力如何来？底下有一燃烧口，燃烧不均匀，一般。这个压力差为。这个问题有两大块，一块是数学模型，一块是数值计算。烟气是由于密度差引起的压力差，实际上是一个流体流动现象，是一个基本规律。自然界的本原是绝对正确的，一些人为的假定的所得到的结果要进行验证。能量守恒定律是自然界美学中时间平移的不变形，质量守恒定律是自然界美学中空间平移的不变形。牛顿动力定律，这时的要讲内部

32、的变形力，这个变形力带来了基础规律和基本假设。基本假设是：液体是不是牛顿液体，是不是变形的问题，是不是能够应用本构方程。它是变形和变形力之间的关系，由，再进行简化理想液体（），退化为非稳态下的欧拉方程（它是一个过程方程），沿流线进行积分，成为了伯努力方程（终态方程）。如果计算的结果过了问题，在那人地方找问题？这是人为做的假设，流体是不是牛顿流体，如果是牛顿液体，那么，假设为理想液体（）带来的误差有多大？是否？如果不是，带来的误差有多大？在基本规律中不断地加人为的东西，人为的东西引入是否合理？上式中： 表示位能； 表示定压能； 表示动能； 表示完全动能； 表示其它能量损失。 自己建立自己的本构方

33、程，如塑料的燃烧，它是介于弹性力学和流体力学之间；但它的基础是力学。自然界的本原是简单的，是可以认识的，但自然界表现形式却是复杂的，它体现着自然界的美。 在上在的例子中，是一个非定态的、非常量的、可变密度的流体运动。作业：每一个人找一个自然界或工程领域内的问题，找出现象，找出它的规律，并列出代数方程，最后进行求解，解的意义是什么？ 3微分方程模型怎样从自然观出发，进行科学研究，最后找到一种方法论，这门课非常的重要。我们以前学过代数方程模型，通过对自然现象进行分析，列出方程，可以直接求解。微分方程是很重要，它的核心是微分和方程。方程实质上是一个等式，是一个不知道的量随已知量变化的一个等式，在变化

34、中同什么因素影响，怎样影响。代数方程中如果不含有微分，那方程纯粹是一个等量关系。在微分方程中，二次方程对应二个因变量，三次方程就对应三个因变量。微分方程是人类发现的相互影响、相互联系，应用最广的数学。对人类影响最大的数学有几何，它是描述事物的形貌、外貌的科学；还有代数，知道未知量，能够列出等式求解。近代数学影响最大的是微分方程和随机与统计。只要没有超时、超距的作用，描述因果关系最好的就是微分方程。，微分是变化的无限小，是变化的极限。目前有许多的科学家在研究随机过程中的现象，比如硬币向上抛落地是正面还是反而，在初始力的作用下，有可能是正面，表现出随机论，但是大量的现象表现出决定论，它的因果关系人

35、们研究的不是很清楚。量子力学也是随机的过程。现在人们认为随机论和决定论是自然界的基础。这节课将要讲微分方程在那些情况下可算，那些只能借助于工具进行计算。3.1微分方程数学模型的完备什么是微分方程数学模型的完备形式？它包括两个方面，泛定方程和定解条件，只要这两 泛定方程微分方程数学模型的完备形式 初值条件 定解条件 边值条件个方面确实了，确定的泛定方程就是完备。在定解条件中，比如铸锭的加热，要想知道某一时刻的温度，必须要知道前一时刻的温度。在定解条件中，还有一类，叫边值条件，比如，一个铁棒在一端加热，另一端热量将会传来，这就是边值条件。泛定方程，针对自然界现象来录找规律；定解条件，针对问题提出条

36、件，不同问题找不同问题的定解条件。 在目前，微分方程应用最成熟的领域是传输问题和电磁作用的问题。传输问题，也可以说是力学的延伸，电磁作用现象，也可以说是动量传输。3.2传输问题的通用输运方程模型3.2.1最基本的一类自然与工程现象传输现象传输现象是指有意义的物理量从一个时空点传到另一个时空点的连续过程。是自然界与工程技术中普遍存在的一类现象，如大气的流动、河流中水的流动、烟囱排出的烟气流动；物料的加热和熔化、金属的凝固与冷却等等。传输现象包括动量传输、热量传输、质量传输。3.2.2最基本规律对传输现象的应用如何对传输现象进行定量的描述？人们经过长期的实践、探索后发现不管这些现象多么复杂，它总是

37、满足质量、动量与能量的守恒规律。把这些规律针对不同的传输现象进行具体展开，就会得出满足这些传输现象的基本方程。研究该类现象首先构成一个场研究的区域由连续分布的连续介质构成。2.2.1 质量守恒定律对流场的具体化2.2.2 动量守恒定律对流场的具体化2.2.2.1 动量守恒方程首先考虑流场中存在什么类型的动量？下面以X方向为例进行具体说明：由于外力作用而产生的动量，即冲量；流体本身流动由于速度而产生的动量，即：式中（1）项表示x方向速度在单位时间、单位长度引起x方向的动量变化； （2）项表示y方向速度在单位时间、单位长度引起x方向的动量变化； （3）项表示z方向速度在单位时间、单位长度引起x方向

38、的动量变化。流体内部压力作用产生的动量；由于粘性力而产生的粘性动量通量；如上图所示，速度较快的流层中的分子做不规则热运动，会由一些分子进入速度较慢的流层中去，与较慢层中的分子相碰撞而使慢层分子加速，同样较慢层中的分子也会有一些分子进入较快层中，与较快层中的分子相碰撞而使快层分子减速，这种层与层之间分子的动量交换过程使得在反速度剃度的方向上产生动量传输，即流体所具有的沿x方向的动量会沿y方向做层层传递。从宏观上看，它的结果是较快层流体受到较慢层流体的向后拖力，而较慢层流体受到了较快层流体的向前带动力，这两个力是一对作用力与反作用力，它就是流体的粘性力。引入粘性动量通量：式中，为运动粘性系数，又称

39、动量扩散系数，为单位体积的流体的动量剃度。上式表明，粘性动量通量与在y方向上的动量剃度成正比，负号指动量通量的方向与动量浓度剃度的方向相反，即从动量高处传向动量低处。值得强调的是：粘性动量传输的方向与流体动量的方向一般是不相同的。如上面的讨论中流体动量方向为x方向而动量传输方向则为y方向，记为的物理意义是：前一个角标是指动量传输的方向，后一个角标是指动量方向。粘性动量传输的方向与动量浓度剃度的方向相反，所以上式中的负号是必须的。因此x方向的粘性动量为：式中项表示由x方向流动行为的变化而导致的沿x方向的粘性动量的净输出量； 项表示由y方向流动行为的变化而导致的沿x方向的粘性动量的净输出量； 项表

40、示由z方向流动行为的变化而导致的沿x方向的粘性动量的净输出量。显然，粘性动量已无法用矢量进行清晰的描述；从而引入张量的概念，上述x方向的粘性动量用张量可表示为：。动量积累项。综述上面的讨论，可得x方向的动量守恒方程为：2.2.2.2 N-S方程为了使方程具体化，斯托克斯做了如下三条假设把牛顿粘性定律推广到一般情况，给出了一般情况下的粘性力（或粘性动量通量）与流体变形之间的关系。流体是连续的，它的应力张量与变形率张量成线形关系，与流体的平移与旋转无关；流体是各项同性的，应力与变形率的关系与坐标系的位置无关；流体静止时变形率为零，流体中的应力就是流体的静压力。把凡符合上述三条假设的流体叫牛顿流体。

41、在上述三条假设下，经过推导可得出应力张量与变形率张量之间的关系式：上式称为广义牛顿粘性定律。这里的为变形张量，为狄拉克符号。将代入前面讨论得到的x方向的动量守恒方程，可得一般情况下流体流动过程中的动量守恒方程：对于不可压缩流体，并且密度与粘性为常量时，上式可简化为：从而得到了常密度、常物性下不可压缩流体运动的动量守恒方程，也即Navier-Stokes方程，简化为N-S方程。2.2.3 能量守恒定律对流场的具体化式中（1）项表示积累项；（2）项表示对流项；（3）项表示扩散项；（4）表示源项。其中， 。3.2.3微分方程 微分方程是指表示、 等物理量在时空中的联系与影响变化的关系式。 数学模型即

42、定解问题是指泛定方程和定解条件，如2.2中讨论的质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程就属于泛定方程，定解条件是指边界条件和初始条件。 初始条件：t=0 边界条件： 给定场量再边界上的分布； 给定场量在边界区的变化情况； 给定场量与变化率的关系。3.2.4数学模型的特例2.4.1 理想流体2.4.1.1 欧拉方程所谓理想流体是指这样一类流体，它的内摩擦力为零，或者说理想流体不存在内摩擦力。对于实际问题，内摩擦力又始终与流体的粘性联系在一起，所以人们把无粘性流体叫理想流体。即。因此对于理想流体，就可把我们前面讨论的N-S方程简化为：这就是理想流体运动方程，该方程1755年由欧拉首先提出，故称为

43、欧拉方程。2.4.1.2 伯努利方程将欧拉方程在稳态下沿流线积分，就可得到伯努利方程，即：2.4.2 导热问题当流速时，先前讨论的能量方程就转化为导热方程，即：对于温度计可看作是零维问题，此时；对于稳态问题，时间积累项为零，则有。2.4.3 边界层理论流体在绕过固体壁面流动时紧靠固体壁面形成速度剃度较大的流体薄层称为边界层。边界层理论的重要意义在于将流场划分为主流区和边界层区分别进行讨论。在主流区：由于大部分流动区域流体的速度剃度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将无粘性力存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程就可求解。在边界层区：由于速度剃度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界

44、层很薄的特点，把控制方程在边界层内简化后再去求解。3传输现象的数值计算 传输现象复杂、方程复杂，以致数理方程有解的问题很少；N-S方程没有解析解，因此人们借助于计算机来求数值解，但数值解绝不如解析解精确，是解析解的近似。3.1区域离散化区域离散化是用一些网格把要求解的区域划分开。即用一组有限个离散的点来代替原来的连续空间。网格划分技术是一门大学科，最早的网格是在飞机机翼上采用的；在数值计算过程中会遇到许多复杂形状下网格的划分；划分网格可以采用数学法、也可采用其他方法；网格划分会人为地引入误差。只有在对区域进行离散化之后，才有方程的离散化。3.2偏微分方程、微分方程的代数化3.2.1微分方程与代

45、数方程是两个性质不同的方程微分方程是指一些变量在空间、时间传递的因果关系；而代数方程是指量与量的等式。在微分方程中最难求解的是非线性、高阶、偏微分方程组，将微分方程划分为代数方程是一大进步，使许多无法用解析法求解的方程可以用数值法对其进行求解。微分方程化为代数方程的步骤是：先将偏微分方程化为常微分方程，再将常微分方程化为代数方程；或微分方程直接化为近似等价的代数方程。3.2.2微分方程代数化的方法微分方程代数化的方法有三种：即差分法、有限元法、有限体积法。差分法：主要用于计算传热和流体流动；非常常用的方法是用差商去代替微商，例如：有限元法：主要应用于应力和应变的计算，最适合于三角形状的计算。有

46、限体积法：有限分析法是正在发展的一种方法，是差分法的改进。3.3具体的几个问题3.3.1常微分方程的初值问题3.3.1.1问题的描述以0维非稳态导热问题为例：其定解问题为任一时刻解的形式为：但是一般情况下，是一个比较复杂的函数，无法直接积分给出解析解，需要进行数值计算。在所研究的时间区域内，取步长为，将连续的时间区域划为一系列离散的时刻、，其中，所以当已求出时刻的解后，时刻的解就可以写成： i=0,1,2,如与都已知，只要反复应用上式，即可算得任意时刻的值。常微分方程的数值解就是围绕对上式如何进行数值积分展开的。3.3.1.2常微分方程的数值积分法欧拉法欧拉法是实现上述数值积分最简单的一种计算方法，其公式为： i=0,1,2,即用代替，这种方法显然是用矩形面积来代替曲边梯形的面积，从而导致有较大的误差，但计算起来非常简便。改进的欧拉法改进的