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1、1 二阶与三阶行列式,一、二阶行列式,二、三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行(row)、竖排称列(column)的数表,1.定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,2.二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,3.则当系数行列式,例1,解,二、三阶行列式,1.定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,对角线法则,2.三阶行列式的计算,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,例2,解,(1)方
2、程左端,2 全排列及其逆序数,一、概念的引入,二、全排列,三、排列逆序数,一、全排列,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,同理,如：12345，54321，43512均为5级排列,1.由1,2,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。,如：12345，54321，43512均为5级排列,2.123(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。,二、排列的逆序数,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）,2.定义 一个排列中所有逆序的总数称为此
3、排列的逆序数.,例如 排列 32514 中，,3.排列的奇偶性,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,4.计算排列逆序数的方法,则其逆序数为,例1 求排列 32514 的逆序数.,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.,3 n 阶行列式的定义,一、三阶行列式的结构,二、n 阶行列式的定义,一、三阶行列式的结构,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 6 项，即 3!项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n 阶行列
4、式的定义,1.定义,解:,例计算行列式,例4 证明,(2),(1)对角行列式,例5 计算上三角行列式,解,例6,同理可得下三角行列式,注意,上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,5 行列式的性质,一、定义,二、行列式的性质,三、应用举例,一、定义,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,二、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变,例如,三、应用举例,计算行列式常用方法 利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例1,例2,例3 计算阶行列式,解,例5,证明,证明,
