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1、第2课时7.1.2全概率公式(-)教学内容全概率公式,贝叶斯公式.(-)教学目标结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,*了解贝叶斯公式.(三)教学重点和难点重点：全概率公式及其应用.难点：运用全概率公式求概率.(四)教学过程设计1 .知识回顾条件概率计算公式和概率的乘法公式.2 .情境引入思考：从有。个红球和8个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为一.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？师生活动：先由学生独立思考，侧重直观感知概率的值，师生互动交流.因为抽签的公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是一J.对于这个结果，学生是疑惑的，
2、因为第2次摸球的结果显然受第1次的结果的影响.教师鼓励学生用所学知识进行探究.追问1：如何将“第2次取到红球”这个事件对应的情况进行细化分解？师生活动：学生自主探究，教师利用图1引导学生思考、交流，与学生合作对摸球过程进行演练，以及在此过程中的事件概率进行计算，然后教师给出事件概率的求解.RlRzRlR2JB2RlB?fj81R?F-BlBz用Rj表示事件“第j次摸到红球”，与表示事件“第i次摸到蓝球，i=l,2.事件&可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并,即&=NRzUAR2.利用概率的加法公式和乘法公式，得P(K)=P(RlR2)+P(B1R2)=P(R)P(R21
3、凡)+P(BJP(R?IBJaa-baa=FX=a+ba+b-1a+ba+b-a+h教师归纳：上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解，从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.追问2：如果将问题一般化，将复杂事件B表示为若干个互斥事件的并，你能得出什么结论？师生活动：通过上述证明过程的一般化推广，教师归纳可将一个复杂事件分解成若干个互斥事件的并，从而利用概率的加法和乘法公式进行计算，学生上黑板给出事件B
4、概率的推导过程，并得出全概率公式.教师板书并指出此公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.引导学生小组讨论全概率公式成立的条件，即4,A2,4满足的条件，从而得到全概率公式的完整表达并将全概率公式归纳成由因求果:一般地，设A，4A”是一组两两互斥的事件，AU4UUAZI=c,且MA)0，/=1,2,，则对任意的事件BqC,有P(B)=力P(A)P(Bl4)./=1设计意图：通过具体的实例，并且结合集合的知识，推理得出全概率公式,培养了学生逻辑推理，数学抽象等学科素养.在此需要指出，对于全概率公式，我们并没有进行严格的证明，只是将发现的规律进行了推广，但是以后也可以直接应用该公式
5、解决问题.3 .例题剖析例1某学校有A,8两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去4餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.师生活动：教师提示学生本题中的0.6,0.8这两个概率分别对应的是哪个事件的概率，从而引导学生利用全概率公式求解.教师给出规范的解题过程，再引导学生总结出全概率公式的解题步骤(设事件一写概率一代公式).第一步，用符号表示随机事件：设A=第1天去A餐厅用餐”，用=第1天去3餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”.第二步，划分样本空间：Q=AUq,且A与4互斥.
6、第三步，分别计算P(A)=P(BJ=O.5,P(2A)=06(4IBJ=O.8.第四步，由全概率公式求出概率：-4)=P(A)p(a2Ia)+p(BJP(41q)=0.7即王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.设计意图：通过典例剖析，让学生体会全概率公式的应用，掌握全概率公式求概率的一般步骤，感受数学模型在数学应用中的价值.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.例2有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它
7、是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=l,2，3)台车床加工的概师生活动：关于第1小题，请学生自主合作分析概率模型，解决问题，直接根据学生回答给出解题过程；关于第2小题，教师请学生上黑板解题，并给出点评.设计意图：通过本例的第1小题，巩固全概率公式的应用，增强学生对于全概率公式应用情境的熟练；第2小题为引出贝叶斯公式做准备.追问h在上述例题的解答中，概率P(A),M4I8)的实际意义是什么？师生活动：由于贝叶斯公式是选学内容,理解难度较大,教师直接解释MAj为先验概率，P(AIB)是后验概率，即出现次品后操作员需要承担责任的份额.追问2：在本例第2小题的求解过程中，我们应
8、用到了哪些公式？可以推广得到一般性结论吗？师生活动:教师引导,在本例第2小题的求解过程中，我们用到了条件概率、全概率以及概率的乘法公式，并将其一般化，得到贝叶斯公式：设A,A2A”是一组两两互斥的事件，A1UA2U-UA,l=C,且P(d)O,，则对任意的事件BGC,有P(Aj)P(814)PP(A)P(814)Jp(A)P(BIA)Jt=I/= 1,2,n.教师指出，类比全概率公式，贝叶斯公式可归纳为执果寻因，公式描述了两个条件概率的关系，在人工智能中有着广泛的应用，我们可以通过阅读材料进行了解，但是此公式为选学内容，不作考试要求.例3在数字通信中，信号是由数字。和1组成的序列.由于随机因素
9、的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为09和0.1；发送信号1时，接收为1和O的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号O和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为O和1的概率；(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.师生活动：教师引导学生先用集合的语言表示例3中的事件，再由学生利用所学概率思想，将复杂事件分解成几个简单事件的并，然后利用全概率公式，贝叶斯公式求解.设A=发送的信号为0，B=接收的信号为0，则N=发送的信号为1”,B=接收的信号为1”.由题意，P(A)=P(A)=0.5,P(BH)=O.9,P(BlA)=0.1,
10、尸(BlA)=O.05,P(BlA)=O.95(1)P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.50.9+0.50.05=0.475P(B)=1-P(B)=I-0.475=0.525.(2)P(AIa =P()P()05x0,05_1P(B)0.47519设计意图：通过本例，再次巩固加深全概率公式及其应用.培养学生逻辑推理、数学抽象等核心素养.4 .课外作业：某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2.请设计两个问题，使得求解过程中分别用到全概率公式和贝叶斯公式
11、.设计意图：通过设置课外作业，鼓励学生对所学问题进行设计，考查学生对本节课所学概率公式的掌握及应用情况.5 .总结提升(1)全概率公式，以及用其解决问题的一般步骤；(2) 了解贝叶斯公式.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力和自6 .布置作业教科书52页练习及习题7.1第5题.设计意图：巩固学生对全概率公式，贝叶斯公式的理解和应用.（五）目标检测设计某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则一个被保险人在一年内出事故的概率是.设计意图：考查学生对全概率公式的了解及应用.
