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1、第二篇 数学物理方程,第七章 数学物理方程的定解问题,7.1 数学物理方程的导出,一、基本思路,1.目标：建立描述物理过程的微分方程。,2.操作：物理过程由物理量的变化描述选取物理量，物理量的微分表示它的变化；物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定律等）建立微分方程。,二、几种基本的方程,1.均匀弦的微小横振动,变化,A.弦的横振动,B.无穷小的一段弦 B,C.受力分析和运动方程,弦的原长,现长,弦长的变化产生回到原位置的张力,沿x-方向，这一段弦不出现平移,弦长，质量密度，B段的质量为。,沿垂直于x-轴方向,小振动：,波动方程。,波速,D.受迫振动,在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外
2、力为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运动为受迫振动。,设单位长度上弦受力，则 dx 受力为。,最后得受迫振动方程,2.均匀杆的纵振动,A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律,Y：杨氏模量，单位面积上的应力。,B.运动方程,杆中选 L=dx 长一段,时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一端位移 u+du。,杆的伸长,当取更长的dx，两端的相对伸长和应力将不同，杆受力,又，牛顿定律：,即,为波速,补充,连续性方程,连续分布的某种物理量，如介质：建立座标,密度：单位容积中物理量的多少,流强度：单位时间通过单位面积的该物理量（v 为流速）,单位时间沿 x-方向净流入量,单位时间净流入量等于由
3、密度增加的量,二者相等得连续性方程,表示物质的总量守恒,3.流体力学与声学方程,A.连续介质性质：,当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此的密度，速度 v 和压强 P。振动引起密度的疏密变化。,例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有压强 和密度。当振动出现时，介质中各处有介质的振动速度 v，振动的传播速度声速；显然，v声速，并且设密度的相对变化 s 为,B.拉普拉斯假定,欧拉方程（流体动力学方程）,连续性方程,物态方程,声传播为绝热过程：,过程方程,C.方程,s,v 小量,f=0,4.真空电磁波方程,电磁学的麦克斯韦方程（
4、微分形式）,真空时：,5.扩散方程,A.扩散现象,系统的浓度 u(x)不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。,B.菲克定律,浓度梯度：,扩散流强度：单位时间通过单位面积的物质的量,C.扩散方程,D 均匀,三维,连续性方程,带入菲克定律,6.热传导方程,热传导:热量从温度高的地方到温度低的地方转移。,热力学问题。,热力学第一定律：,热力学过程交换的热量,热力学过程外界对系统做的功,系统的内能,热传导过程 dW=0，,系统传导的热量就是内能的改变。,能量守恒，满足连续性方程,系统的温度,热流强度：单位时间通过单位面积的热量。,傅立叶定律：,热传导系数,建立热传导与扩散间的对比,浓
5、度温度,扩散流强度热流强度,斐克定律傅立叶定律,连续性方程热传导方程,一维：,三维,它们形式完全相同，通称为扩散方程。,7.稳定分布,扩散方程,的解一般含时,不含时的解满足方程,此为拉普拉斯方程。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足拉普拉斯方程。,8.真空静电场,高斯定理,真空还有,又,最后：,9.薛定谔方程,扩散类方程,7.2 定解条件,一、常微分方程定解问题回顾,对于某个未知函数，它的微分方程是它的导数满足的代数方程。解这个代数方程，得导数。由积分，从导数得出原函数。常微分方程求解就是积分。,积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。,通常通过未知函数在自变量的一
6、个特定值的值，如初值（u(t=0)）确定积分常数。从而定解。,二、数学物理方程的定解问题,积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。,1.初始条件,类似于常微分方程定解过程的初值。,偏微分方程，对每个自变量的每次积分都出现一个积分常数。复杂！,t0:初始条件。,x,y,z0，l:边界条件,自变量特定值：,初始“位移”,初始“速度”,T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程还需要初始速度。,注：和 是空间座标的函数，在系统的任何位置都是确定的！,例如,t=0:,2.边界条件,以一维情况为例,特定的时间，变化的空间。,特定的空间，变化的时间。,边界划分系统和外界。系统和外界之
7、间的不同的关系，决定了不同的边界条件。定解所需要的是自变量特定值的函数与函数的导数两项。不同的边界条件决定了这两项的不同的组合，故可能出现几类边界条件。,A.第一类边界条件,只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。,如：a.两端固定的弦振动,和,如上图,b.细杆热传导,或随时间变化的温度,恒温,c.扩散,恒定浓度，或随时间变化的浓度。,B.第二类边界条件,第一类边界条件的基本形式：,速度确定。,a.细杆的纵振动。当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：,b.细杆热传导。端点绝热，热流强度为零：由傅立叶定律：,C.第三类边界条件,位移和速度的组合,a.细杆热传导。端点“
8、自由”冷却。,牛顿冷却定律：,T 为环境温度。,根据傅立叶定律，在x=l 处：,负x方向,正x方向,在x=0 处,b.细杆纵振动。端点与固定点弹性连接。应力为弹性力,胡克定律：,弹性力：,则在端点,一般表达式：,这些是最常见的，线性的边界条件。还要其它形式，需根据具体情况制定之。,3.衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点跃变点。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。,衔接条件更加依赖于具体的物理情况。,例,横向力 作用于 点。,弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。,又，横向力应与张力平衡：,这两个等式就是衔接条件。,
